Градиент

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Градиент, представленный синими стрелками, обозначает направление наибольшего изменения скалярной функции. Значения функции представлены в оттенках серого и увеличиваются по значению от белого (низкий) до темного (высокий).

В векторном исчислении , то градиент из скалярной дифференцируемой функции F от нескольких переменных является векторным полем (или вектор-функции ) , значение которой в точке является вектором ^[а] , компоненты которого являются частными производными от по . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} То есть, его градиент определяется в точке , в н-${\ displaystyle \ nabla f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle \nabla f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle p=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$мерное пространство как вектор: ^[b]

${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$

Символ набла , записанный в виде перевернутого треугольника и произносится как «дель», обозначает векторный дифференциальный оператор .${\displaystyle \nabla }$

Градиент двойственен полной производной : значение градиента в точке - это касательный вектор - вектор в каждой точке; в то время как значение производной в точке является ко касательным вектором - линейной функцией векторов. ^[c] Они связаны тем, что скалярное произведение градиента f в точке p с другим касательным вектором v равно производной по направлению f в точке p функции вдоль v ; то есть . ${\displaystyle df}$${\displaystyle \nabla f(p)\cdot \mathrm {v} ={\tfrac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{\mathrm {v} }(p)}$

Вектор градиента можно интерпретировать как «направление и скорость наиболее быстрого увеличения». Если градиент функции отличен от нуля в точке p , направление градиента - это направление, в котором функция увеличивается наиболее быстро от p , а величина градиента - это скорость увеличения в этом направлении. ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]} Кроме того, градиент является нулевым вектором в точке тогда и только тогда, когда это стационарная точка (где производная обращается в нуль). Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теории оптимизации , где он используется для максимизации функции путем подъема градиента..

Градиент допускает множественные обобщения на более общие функции на многообразиях ; см. § Обобщения .

Мотивация [ править ]

Рассмотрим комнату , где температура задается скалярным полем , Т , так что в каждой точке ( х , у , г ) температура Т ( х , у , г ) , не зависит от времени. В каждой точке комнаты градиент T в этой точке покажет направление, в котором температура повышается быстрее всего, удаляясь от ( x , y , z ) . Величина градиента будет определять, насколько быстро температура повышается в этом направлении.

Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке ( x , y ) равна H ( x , y ) . Градиент H в точке представляет собой плоскость , вектор , указывающий в направлении крутого склона или класса в этой точке. Крутизна наклона в этой точке определяется величиной вектора градиента.

Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, путем вычисления скалярного произведения . Предположим, что самый крутой уклон холма составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, огибающая холм под углом, будет иметь более пологий уклон. Например, если дорога находится под углом 60 ° к направлению подъема (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет скалярным произведением между вектором градиента и единичным вектором вдоль дороги. , а именно 40% от косинуса 60 °, или 20%.

В более общем смысле , если холм функция высоты Н является дифференцируемой , то градиент H пунктир с единичным вектором дает наклон холма в направлении вектора, в производной по направлению от Н вдоль единичного вектора.

Обозначение [ править ]

Градиент функции в точке обычно записывается как . Он также может обозначаться любым из следующих:${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}$

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f(\mathbf {a} )}$ : для усиления векторного характера результата.
• град f
• ${\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {a} }}$: обратите внимание, что это обозначение может противоречить обозначению производной по направлению .
• ${\displaystyle \partial _{i}f}$и  : обозначения Эйнштейна .${\displaystyle f_{i}}$

Определение [ править ]

Градиент (или векторное поле градиента) скалярной функции f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , ..., x _n ) обозначается ∇ f или ∇ → f, где ∇ ( nabla ) обозначает векторный дифференциальный оператор , del . Обозначение grad f также обычно используется для представления градиента. Градиент f определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором v в каждой точкеx - производная функции f по направлению v . То есть,

${\displaystyle {\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x).}$

Формально градиент двойственен производной; увидеть связь с производной .

Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).

Величина и направление вектора градиента не зависят от конкретного координатного представления . ^{[17] [18]}

Декартовы координаты [ править ]

В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается следующим образом:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$

где i , j , k - стандартные единичные векторы в направлениях координат x , y и z соответственно. Например, градиент функции

${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$

является

${\displaystyle \nabla f=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$

В некоторых приложениях принято представлять градиент как вектор-строку или вектор-столбец его компонентов в прямоугольной системе координат; в этой статье принято, что градиент является вектором-столбцом, а производная - вектором-строкой.

Цилиндрические и сферические координаты [ править ]

В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом: ^[19]

${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$

где ρ - осевое расстояние, φ - азимутальный или азимутальный угол, z - осевая координата, а e _ρ , e _φ и e _z - единичные векторы, указывающие вдоль координатных направлений.

В сферических координатах градиент определяется как: ^[19]

${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },}$

где r - радиальное расстояние, φ - азимутальный угол, θ - полярный угол, а e _r , e _θ и e _φ снова являются локальными единичными векторами, указывающими в направлениях координат (то есть нормированным ковариантным базисом ).

Для градиента в других ортогональных системах координат см. Ортогональные координаты (Дифференциальные операторы в трех измерениях) .

Общие координаты [ править ]

Мы рассматриваем общие координаты , которые мы записываем как x ¹ , ..., x ⁱ , ..., x ⁿ , где n - количество измерений области. Здесь верхний индекс относится к позиции в списке координаты или компонента, поэтому x ² относится ко второму компоненту, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i относится к произвольному элементу x ⁱ . Используя обозначения Эйнштейна , градиент можно записать как:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$ (Обратите внимание , что его двойное это ),${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$

где и относятся к ненормализованному локальному ковариантному и контравариантному базисам соответственно, - это обратный метрический тензор , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает суммирование по i и j . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$${\displaystyle g^{ij}}$

Если координаты ортогональны, мы можем легко выразить градиент (и дифференциал ) в терминах нормализованных базисов, которые мы называем и , используя масштабные коэффициенты (также известные как коэффициенты Ламе )  :${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert =1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\,\rVert }$

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$ (и ),${\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$

где нельзя использовать обозначения Эйнштейна, поскольку невозможно избежать повторения более двух индексов. Несмотря на использование верхних и нижних индексов, , и не являются ни контравариантен , ни ковариантны.${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$${\displaystyle h_{i}}$

Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.

Градиент и производная или дифференциал[ редактировать ]

Градиент тесно связан с (полной) производной ( (полным) дифференциалом ) : они транспонированы ( двойственны ) друг другу. Используя соглашение, согласно которому векторы в представлены векторами-столбцами , а ковекторы (линейные карты ) представлены векторами-строками , ^[a] градиент и производная выражаются как вектор-столбец и вектор-строка, соответственно, с теми же компонентами, но транспонировать друг друга:${\displaystyle df}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle df}$

${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}}$;

${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\cdots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}}$.

Хотя оба они имеют одинаковые компоненты, они различаются типом математического объекта, который они представляют: в каждой точке производная представляет собой котангенс-вектор , линейную форму ( ковектор ), которая выражает, насколько (скалярный) результат изменяется для данного бесконечно малого изменение входного (вектора), в то время как в каждой точке градиент является касательным вектором , который представляет бесконечно малое изменение входного (векторного). В символах, градиент является элементом касательного пространства в точке, , в то время как производная отображение из касательного пространства к действительным числам, . Касательные пространства в каждой точке можно «естественным образом» отождествить ^[d] с векторным пространством${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$само по себе, и аналогично котангенсное пространство в каждой точке можно естественным образом отождествить с двойственным векторным пространством ковекторов; таким образом, значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в оригинале , а не только как касательный вектор.${\displaystyle (\mathbf {R} ^{n})^{*}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

С вычислительной точки зрения, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом:

${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\cdots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$

Дифференциальная или (внешняя) производная [ править ]

Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции

${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$

в точке х в R ^п является линейное отображение из R ^п к R , который часто обозначается ф.р. _х или Df ( х ) и называется дифференциальной или ( общее ) производной от F по х . Функция DF , которая отображает й в ДФ _х , называется (всего) дифференциальным или внешняя производной от F и является примеромдифференциальная 1-форма .

Подобно тому , как производная функции одного переменный представляет собой наклон от касательной к графику функции, ^[20] производная по направлению функции несколько переменных представляет собой наклон касательной гиперплоскости в направлении вектора.

Градиент связан с дифференциалом формулой

${\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)}$

для любого v ∈ R ⁿ , где - скалярное произведение : взятие скалярного произведения вектора с градиентом аналогично взятию производной по направлению вдоль вектора.${\displaystyle \cdot }$

Если R ⁿ рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n ) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),}$

так что df _x ( v ) задается умножением матриц . Если принять стандартную евклидову метрику на R ⁿ , тогда градиент будет соответствующим вектором-столбцом, то есть

${\displaystyle (\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.}$

Линейное приближение к функции [ править ]

Наилучшее линейное приближение к функции может быть выражено через градиент, а не через производную. Градиент функции f из евклидова пространства R ⁿ в R в любой конкретной точке x ₀ в R ⁿ характеризует наилучшее линейное приближение к f в точке x ₀ . Приближение выглядит следующим образом:

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}$

для x, близкого к x ₀ , где (∇ f  ) _{x 0} - градиент f, вычисленный в x ₀ , а точка обозначает скалярное произведение на R ⁿ . Это уравнение эквивалентно первых двух слагаемых в многофакторном ряд Тейлора расширения F при х ₀ .

Градиент как «производная» [ править ]

Пусть U - открытое множество в R ⁿ . Если функция F  : U → R является дифференцируемой , то дифференциал F является (Фреше) производная F . Таким образом, ∇ f - функция из U в пространство R ⁿ такая, что

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$

где · - скалярное произведение.

Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:

Линейность [ править ]

Градиент является линейным в том смысле, что если f и g - две действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ R ⁿ , а α и β - две константы, то αf + βg дифференцируем в точке a , и, более того,

${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$

Правило продукта [ править ]

Если f и g - действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ R ⁿ , то правило произведения утверждает, что произведение fg дифференцируемо в точке a , и

${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$

Цепное правило [ править ]

Предположим, что f  : A → R - вещественнозначная функция, определенная на подмножестве A в R ⁿ , и что f дифференцируема в точке a . Есть две формы цепного правила, применяемого к градиенту. Сначала предположим, что функция g - параметрическая кривая ; то есть функция g  : I → R ⁿ отображает подмножество I ⊂ R в R ⁿ . Если g дифференцируема в точке c ∈ Iтакое, что g ( c ) = a , то

${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$

где ∘ - оператор композиции : (  f  ∘  g ) ( x ) = f ( g ( x )) .

В более общем смысле, если вместо этого I ⊂ R ^k , то имеет место следующее:

${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$

где ( Dg ) ^T обозначает транспонированную матрицу Якоби .

Во второй форме правило цепи, предположим , что час  : Я → R является действительная функция на подмножестве I в R , и что ч дифференцируема в точке F ( ) ∈ I . потом

${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$

Другие свойства и приложения [ править ]

Наборы уровней [ править ]

Поверхность уровня или изоповерхность - это набор всех точек, в которых некоторая функция имеет заданное значение.

Если f дифференцируема, то скалярное произведение (∇ f  ) _x ⋅ v градиента в точке x с вектором v дает производную f по направлению в точке x в направлении v . Из этого следует , что в этом случае градиент F является ортогональным к множествам уровня из F . Например, поверхность уровня в трехмерном пространстве определяется уравнением вида F ( x , y , z ) = c. Тогда градиент F нормален к поверхности.

В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равно нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.

Точно так же аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определена уравнением F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , где F - многочлен. Градиент F равен нулю в особой точке гиперповерхности (это определение особой точки). В неособой точке это ненулевой нормальный вектор.

Консервативные векторные поля и градиентная теорема [ править ]

Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.

Обобщения [ править ]

Якобиан [ править ]

Матрица Якоби является обобщением градиента для вектора-функций нескольких переменных и дифференцируемых отображений между евклидовыми пространствами или, в более общем плане , многообразие . ^{[21] [22]} Дальнейшим обобщением функции между банаховыми пространствами является производная Фреше .

Предположим, что f  : ℝ ⁿ → ℝ ^m - такая функция, что каждая из ее частных производных первого порядка существует на ℝ ⁿ . Тогда матрица Якоби f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая просто или . ( Я , J ) й запись . Явно${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{T}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{T}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$

Градиент векторного поля [ править ]

Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением векторов в векторы, это тензорная величина.

В прямоугольных координатах градиент векторного поля f = (  f ¹ , f ² , f ³ ) определяется как:

${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$

(где используется обозначение суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов e _i и e _k является диадическим тензором типа (2,0)). В целом, это выражение равно транспонированной матрице Якоби:

${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$

В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля :

${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$

где g ^jk - компоненты обратного метрического тензора, а e _i - координатные базисные векторы.

Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивиты и метрическим тензором: ^[23]

${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$

где ∇ _c - связь.

Римановы многообразия [ править ]

Для любой гладкой функции F на риманова многообразия ( М , г ) , градиент F векторное поле ∇ F такое , что для любого векторного поля X ,

${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$

то есть,

${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$

где g _x (,) обозначает скалярное произведение касательных векторов в точке x, определяемое метрикой g, а ∂ _X  f - функция, которая переводит любую точку x ∈ M в производную f по направлению в направлении X , вычисленную в x . Другими словами, в координатной карте φ от открытого подмножества M до открытого подмножества R ⁿ , (∂ _X  f  ) ( x ) задается следующим образом:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$

где X ^j обозначает j- й компонент X в этой координатной карте.

Итак, локальная форма градиента принимает вид:

${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$

Обобщая случай M = R ⁿ , градиент функции связан с ее внешней производной, поскольку

${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$

Точнее, градиент ∇ f - это векторное поле, связанное с дифференциальной 1-формой df с помощью музыкального изоморфизма

${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$

(называемые «точными»), определяемые метрикой g . Связь между внешней производной и градиентом функции на R ⁿ является частным случаем этого, в котором метрика является плоской метрикой, заданной скалярным произведением.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с полями градиента .

• Завиток
• Расхождение
• Четыре градиента
• Матрица Гессе
• Наклон градиента

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бахман, Дэвид (2007), Advanced Calculus Demystified , New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-148121-2
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Даунинг, Дуглас, доктор философии. (2010), Исчисление EZ Баррона , Нью-Йорк: Barron's , ISBN 978-0-7641-4461-5
• Дубровин Б.А.; Фоменко АТ; Новиков, СП (1991). Современная геометрия - методы и приложения: Часть I: Геометрия поверхностей, группы преобразований и поля . Тексты для выпускников по математике (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 0-13-487538-9
• Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• "Энциклопедия науки и технологий Макгроу Хилла". Энциклопедия науки и технологий Макгроу-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Мойс, Эдвин Э. (1967), Исчисление: Полное , Чтение: Аддисон-Уэсли
• Protter, Murray H .; Морри-младший, Чарльз Б. (1970), Колледж по исчислению с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Schey, HM (1992). Div, Grad, Curl и все такое (2-е изд.). WW Нортон. ISBN 0-393-96251-2. OCLC  25048561 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Стокер, Дж. Дж. (1969), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-82825-4
• Своковски, Эрл В .; Олиник, Майкл; Пенс, Деннис; Коул, Джеффри А. (1994), Calculus (6-е изд.), Бостон: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5

Дальнейшее чтение [ править ]

• Корн, Тереза ​​М .; Корн, Гранино Артур (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Dover Publications. С. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC  43864234 .

Внешние ссылки [ править ]

Найдите градиент в Викисловаре, бесплатном словаре.

• «Градиент» . Ханская академия .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Градиент» , Энциклопедия математики , EMS Press..
• Вайсштейн, Эрик В. «Градиент» . MathWorld .