Частная производная

В математике , частной производной из функции нескольких переменных является его производной по отношению к одной из этих переменных, с остальными поддерживалась постоянной (в отличие от полной производной , в которой все переменные могут изменяться). Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии .

Частная производная функции по переменной обозначается по-разному:${\ Displaystyle е (х, у, \ точки)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f '_ {x}, f_ {x}, \ partial _ {x} f, \ D_ {x} f, D_ {1} f, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f , {\ text {или}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}.}$

Иногда для частной производной по отношению к обозначается как Поскольку частная производная обычно имеет те же аргументы, что и исходная функция, ее функциональная зависимость иногда явно обозначается обозначениями, например:${\displaystyle z=f(x,y,\ldots ),}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$

${\displaystyle f_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$

Для обозначения частных производных используется символ ∂ . Одно из первых известных применений этого символа в математике было сделано Маркизом де Кондорсе из 1770 года, который использовал его для частичных разностей. Современное обозначение частной производной было создано Адрианом-Мари Лежандром (1786 г.) (хотя позже он отказался от него, Карл Густав Якоб Якоби повторно ввел символ в 1841 г.). ^[1]

Введение [ править ]

Предположим, что f - функция более чем одной переменной. Например,

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

График этой функции определяет поверхность в евклидовом пространстве . К каждой точке на этой поверхности есть бесконечное количество касательных . Частичная дифференциация - это выбор одной из этих линий и определение ее наклона . Обычно наибольший интерес представляют линии, параллельные плоскости -плоскости, и линии , параллельные плоскости-плоскости (которые возникают в результате удержания либо, либо постоянного, соответственно).${\displaystyle xz}$${\displaystyle yz}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Чтобы найти наклон прямой, касательной к функции в и параллельной плоскости, мы рассматриваем ее как константу. График и эта плоскость показаны справа. Ниже мы видим, как функция выглядит на плоскости . Найдя производную уравнения, предполагая, что это константа, мы обнаруживаем, что наклон в точке равен:${\displaystyle P(1,1)}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

Таким образом , при подстановке наклон равен 3. Следовательно,${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

в точку . То есть частная производная по at равна 3, как показано на графике.${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (1,1)}$

Определение [ править ]

Основное определение [ править ]

Функцию f можно переинтерпретировать как семейство функций одной переменной, индексированных другими переменными:

${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Другими словами, каждое значение y определяет функцию, обозначенную f _y , которая является функцией одной переменной x . ^[a] То есть

${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

В этом разделе нижний индекс f _y обозначает функцию, зависящую от фиксированного значения y , а не частной производной.

Как только значение y выбрано, скажем a , тогда f ( x , y ) определяет функцию f _a, которая отслеживает кривую x ² + ax + a ² на плоскости:${\displaystyle xz}$

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$

В этом выражении a - константа , а не переменная , поэтому f _a - функция только одной действительной переменной, то есть x . Следовательно, применяется определение производной функции одной переменной:

${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$

Вышеупомянутая процедура может быть выполнена для любого выбора a . Объединение производных вместе в функцию дает функцию, которая описывает изменение f в направлении x :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$

Это частная производная f по x . Здесь ∂ - округленная буква d, называемая символом частной производной. Чтобы отличить его от буквы d , ∂ иногда произносится как «частичный».

В общем, частная производная n-арной функции f ( x ₁ , ..., x _n ) в направлении x _i в точке ( a ₁ , ..., a _n ) определяется как:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.}$

В приведенном выше коэффициенте разности все переменные, кроме x _i, остаются фиксированными. Этот выбор фиксированных значений определяет функцию одной переменной

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

и по определению

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

Другими словами, различные выборы в индексе семейства функций одной переменной так же , как в приведенном выше примере. Это выражение также показывает, что вычисление частных производных сводится к вычислению производных с одной переменной.

Важным примером функции нескольких переменных является случай скалярной функции f ( x ₁ , ..., x _n ) в области в евклидовом пространстве (например, на или ). В этом случае f имеет частную производную ∂ f / ∂ x _j по каждой переменной x _j . В точке a эти частные производные определяют вектор${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$

Этот вектор называется градиентом от F на . Если f дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент является векторной функцией ∇ f, которая переводит точку a в вектор ∇ f ( a ). Следовательно, градиент создает векторное поле .

Распространенным злоупотреблением обозначениями является определение оператора del (∇) следующим образом в трехмерном евклидовом пространстве с единичными векторами :${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$

Или, в более общем смысле, для n -мерного евклидова пространства с координатами и единичными векторами :${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\ldots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

Формальное определение [ править ]

Как и обычные производные, частная производная определяется как предел . Пусть U быть открытое подмножество в и функции. Частная производная f в точке по i -й переменной x _i определяется как${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +he_{i})-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}}$

Даже если все частные производные ∂ f / ∂ x _i ( a ) существуют в данной точке a , функция не обязательно должна быть там непрерывной . Однако, если существуют все частные производные в окрестностях из и непрерывны там, то F является полностью дифференцируемым в этом районе и полная производная непрерывна. В этом случае говорят, что f является функцией класса C ¹ . Это можно использовать для обобщения векторных функций, осторожно используя компонентный аргумент.${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m},}$

Частную производную можно рассматривать как другую функцию, определенную на U, и снова ее можно частично дифференцировать. Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или на множестве), f называется функцией C ² в этой точке (или на этом множестве); в этом случае частные производные можно поменять местами по теореме Клеро :${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$

Примеры [ править ]

Геометрия [ править ]

Объем V из конуса зависит от конуса высоты ч и его радиус г по формуле

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$

Частная производная V по r равна

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$

который представляет скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус изменяется, а его высота остается постоянной. Частная производная по отношению к equals, которая представляет скорость, с которой изменяется объем, если его высота изменяется, а его радиус остается постоянным.${\displaystyle h}$${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{3}},}$

В противоположность этому , общая производная от V по отношению к т и ч соответственно

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}}$

и

${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}}$

Разница между полной и частной производной заключается в устранении косвенных зависимостей между переменными в частных производных.

Если (по какой-то произвольной причине) пропорции конуса должны оставаться прежними, а высота и радиус находятся в фиксированном соотношении k ,

${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}$

Это дает полную производную по r :

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k}$

что упрощает:

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2}}$

Точно так же полная производная по h равна:

${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}}$

Полная производная по отношению к как г и ч объема предназначена в качестве скалярной функции этих двух переменных задается градиент вектор

${\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right)}$.

Оптимизация [ править ]

Частные производные появляются в любой задаче оптимизации, основанной на исчислении, с более чем одной переменной выбора. Например, в экономике фирма может пожелать максимизировать прибыль π ( x , y ) в зависимости от выбора величин x и y двух различных типов выпуска. Условия первого порядка для этой оптимизации: π _x = 0 = π _y . Поскольку обе частные производные π _x и π _y , как правило, сами являются функциями обоих аргументов x и y , эти два условия первого порядка образуютсистема двух уравнений с двумя неизвестными .

Термодинамика, квантовая механика и математическая физика [ править ]

Частные производные появляются в термодинамических уравнениях, таких как уравнение Гиббса-Дюгема , в квантовой механике как волновое уравнение Шредингера, а также в других уравнениях математической физики . Здесь переменные, которые остаются постоянными в частных производных, могут быть отношением простых переменных, таких как мольные доли x _i в следующем примере, включающем энергии Гиббса в системе тройной смеси:

${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$

Выразите мольные доли компонента как функции от мольных долей других компонентов и бинарных мольных соотношений:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}}$

Дифференциальные коэффициенты могут быть сформированы при постоянных отношениях, подобных указанным выше:

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}}$

Соотношения X, Y, Z мольных долей можно записать для тройных и многокомпонентных систем:

${\displaystyle X={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}$

которые можно использовать для решения уравнений в частных производных, например:

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$

Это равенство можно изменить так, чтобы с одной стороны было дифференциальное отношение мольных долей.

Изменение размера изображения [ править ]

Частные производные являются ключом к целевым алгоритмам изменения размера изображения. Эти алгоритмы, широко известные как вырезание швов , требуют, чтобы каждому пикселю в изображении была присвоена числовая «энергия», чтобы описать их несходство с ортогональными соседними пикселями. Затем алгоритм постепенно удаляет строки или столбцы с наименьшей энергией. Формула, установленная для определения энергии пикселя (величины градиента в пикселе), сильно зависит от конструкций частных производных.

Экономика [ править ]

Частные производные играют важную роль в экономике , в которой большинство функций, описывающих экономическое поведение, постулируют, что поведение зависит от более чем одной переменной. Например, функция общественного потребления может описывать сумму, потраченную на потребительские товары, как зависящую как от дохода, так и от богатства; предельная склонность к потреблению тогда частной производной функции потребления по отношению к доходам.

Обозначение [ править ]

Для следующих примеров позвольте быть функцией в и .${\displaystyle f}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$

Частные производные первого порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Частные производные второго порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$

Смешанные производные второго порядка :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$

Частные и смешанные производные высшего порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$

При работе с функциями нескольких переменных некоторые из этих переменных могут быть связаны друг с другом, поэтому может потребоваться явно указать, какие переменные остаются постоянными, чтобы избежать двусмысленности. В таких областях, как статистическая механика , частная производная по отношению к , удерживая и постоянная, часто выражаются как${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$

Обычно для ясности и простоты обозначений функция частной производной и значение функции в определенной точке объединяются путем включения аргументов функции, когда используется символ частной производной (обозначение Лейбница). Таким образом, выражение вроде

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$

используется для функции, а

${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$

может использоваться для значения функции в точке . Однако это соглашение нарушается, когда мы хотим оценить частную производную в такой точке, как . В таком случае оценка функции должна быть выражена громоздко как ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$

или же

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$

чтобы использовать обозначение Лейбница. Таким образом, в этих случаях может быть предпочтительнее использовать обозначение дифференциального оператора Эйлера с символом частной производной по i- й переменной. Например, можно написать для примера, описанного выше, в то время как выражение представляет функцию частной производной по 1-й переменной. ^[2]${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$${\displaystyle D_{1}f}$

Для частных производных более высокого порядка обозначается частная производная (функция) по j- й переменной . То есть, так, чтобы переменные перечислялись в том порядке, в котором берутся производные, и, следовательно, в порядке, обратном тому, как обычно записывается композиция операторов. Конечно, из теоремы Клеро следует, что до тех пор, пока выполняются сравнительно мягкие условия регулярности на f .${\displaystyle D_{i}f}$${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$

Первообразный аналог [ править ]

Существует концепция частных производных, аналогичная первообразным для регулярных производных. Учитывая частную производную, он позволяет частичное восстановление исходной функции.

Рассмотрим на примере

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

«Частичный» интеграл можно взять относительно x (рассматривая y как постоянный, аналогично частичному дифференцированию):

${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)}$

Здесь «константа» интегрирования больше не является константой, а является функцией всех переменных исходной функции, кроме x . Причина этого в том, что все другие переменные рассматриваются как постоянные при взятии частной производной, поэтому любая функция, которая не включает в себя , исчезнет при взятии частной производной, и мы должны учитывать это, когда берем первообразную. Самый общий способ представить это - представить «константу» неизвестной функцией всех других переменных.${\displaystyle x}$

Таким образом, набор функций , где g - любая функция с одним аргументом, представляет весь набор функций от переменных x , y, которые могли бы произвести x -частную производную .${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$${\displaystyle 2x+y}$

Если все частные производные функции известны (например, с градиентом ), тогда первообразные могут быть сопоставлены с помощью описанного выше процесса для восстановления исходной функции с точностью до константы. Однако, в отличие от случая с одной переменной, не каждый набор функций может быть набором всех (первых) частных производных одной функции. Другими словами, не все векторные поля консервативны .

Частные производные высшего порядка [ править ]

Частные производные второго и более высокого порядка определяются аналогично производным высшего порядка функций одной переменной. Для функции «собственная» вторая частная производная по x - это просто частная производная от частной производной (обе по x ): ^{[3] : 316–318}${\displaystyle f(x,y,...)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$

Перекрестная частная производная по x и y получается путем взятия частной производной от f по x , а затем взятия частной производной результата по y , чтобы получить

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$

Теорема Шварца утверждает, что если вторые производные непрерывны, выражение для перекрестной частной производной не зависит от того, какая переменная берется частной производной относительно первой, а какая - второй. То есть,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$

или эквивалентно ${\displaystyle f_{xy}=f_{yx}.}$

Собственные и перекрестные частные производные появляются в матрице Гессе, которая используется в условиях второго порядка в задачах оптимизации .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Частная производная" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Частные производные в MathWorld