Del

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дель оператор,
представленный
в наб

Дель или набла , является оператором используется в математике, в частности , в векторном исчислении , как вектор дифференциального оператора , как правило , представленного набла ∇ . Применительно к функции, определенной в одномерной области, она обозначает ее стандартную производную, как определено в исчислении . При применении к полю (функции, определенной в многомерной области), он может обозначать градиент (локально самый крутой наклон) скалярного поля (или иногда векторного поля , как вУравнения Навье – Стокса ), расходимость векторного поля или ротор (вращение) векторного поля в зависимости от способа его применения.

Строго говоря, del - это не конкретный оператор, а, скорее, удобная математическая запись для этих трех операторов, которая упрощает написание и запоминание многих уравнений . Символ del можно интерпретировать как вектор операторов частной производной , и его три возможных значения - градиент, дивергенция и завиток - можно формально рассматривать как произведение со скаляром, скалярным произведением и перекрестным произведением соответственно дель "оператор" с полем. Эти официальные продукты не обязательно переключаются с другими операторами или продуктами. Эти три использования, подробно описанные ниже, резюмируются как:

• Градиент: ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f = \ nabla f}$
• Расхождение: ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$
• Завиток: ${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Определение [ править ]

В декартовой системе координат R ⁿ с координатами и стандартным базисом del определяется в терминах операторов частной производной как${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

В трехмерной декартовой системе координат R ³ с координатами и стандартным базисом или единичными векторами осей del записывается как${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \{{\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\}}$

${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{x}{\partial \over \partial x}+{\vec {e}}_{y}{\partial \over \partial y}+{\vec {e}}_{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Del также может быть выражено в других системах координат, см. Например del в цилиндрических и сферических координатах .

Обозначения [ править ]

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего он используется для упрощения выражений градиента , дивергенции , ротации , производной по направлению и лапласиана .

Градиент [ править ]

Векторная производная скалярного поля называется градиентом и может быть представлена ​​как:${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\vec {e}}_{x}+{\partial f \over \partial y}{\vec {e}}_{y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}=\nabla f}$

Он всегда указывает в направлении наибольшего увеличения и имеет величину, равную максимальной скорости увеличения в данной точке - точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определяется как функция высоты над плоскостью , градиент в заданном месте будет вектором в плоскости xy (визуализируемым в виде стрелки на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина уклона - это величина самого крутого наклона.${\displaystyle f}$${\displaystyle h(x,y)}$

В частности, это обозначение является мощным, потому что правило градиентного произведения очень похоже на случай 1d-производной:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Однако правила для скалярных произведений не могут быть простыми, о чем свидетельствует:

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

Дивергенция [ править ]

Расходимости из векторного поля является скалярной функцией , которая может быть представлена в виде:${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$

Расхождение - это примерно мера увеличения векторного поля в направлении, которое оно указывает; но точнее, это мера тенденции этого поля сходиться или отклоняться от точки.

Сила обозначения del демонстрируется следующим правилом произведения:

${\displaystyle \nabla \cdot (f{\vec {v}})=(\nabla f)\cdot {\vec {v}}+f(\nabla \cdot {\vec {v}})}$

Формула векторного произведения немного менее интуитивно понятна, потому что это произведение не коммутативно:

${\displaystyle \nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\nabla \times {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

Curl [ править ]

Ротор векторного поля является векторной функцией , которая может быть представлена в виде:${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\vec {e}}_{x}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\vec {e}}_{y}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\vec {e}}_{z}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Изгиб в точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была отцентрирована в этой точке.

Операции векторного произведения можно представить в виде псевдо- детерминанта :

${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

Снова сила обозначений демонстрируется правилом произведения:

${\displaystyle \nabla \times (f{\vec {v}})=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})}$

К сожалению, правило для векторного произведения не оказывается простым:

${\displaystyle \nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}}$

Производная по направлению [ править ]

Производная по направлению скалярного поля по направлению определяется как:${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}={\vec {a}}\cdot (\nabla f)}$

Это дает скорость изменения поля в направлении . В обозначениях операторов элемент в скобках можно рассматривать как единую связную единицу; гидродинамика использует эту конвенцию широко, именуя его в конвективную производную -The «перемещение» производной от жидкости.${\displaystyle f}$${\displaystyle {\vec {a}}}$

Обратите внимание, что это оператор, переводящий скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, отдельно работая с каждым из его компонентов.${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot \nabla )}$

Лапласиан [ править ]

Оператор Лапласа - это скалярный оператор, который может применяться как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

а определение более общих систем координат дается в векторном лапласиане .

Лапласиан повсеместно по всей современной математической физике , возникающий, например , в уравнении Лапласа , уравнение Пуассона , то уравнение теплопроводности , то волновое уравнение и уравнение Шредингера .

Матрица Гессе [ править ]

Хотя обычно представляет собой лапласиан , иногда также представляет собой матрицу Гессе . Первый относится к внутреннему продукту , а второй - к диадическому продукту :${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Таким образом, относится ли это к матрице лапласиана или гессе, зависит от контекста.${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Тензорная производная [ править ]

Del также может применяться к векторному полю, в результате чего получается тензор . Тензор производная векторного поля (в трех измерениях) представляет собой 9-термин тензора второго ранга - то есть матрица 3 × 3 - но можно обозначить просто как , где представляет собой двоичный продукт . Эта величина эквивалентна транспонированию матрицы Якоби векторного поля по пространству. Тогда расхождение векторного поля может быть выражено как след этой матрицы.${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle \nabla \otimes {\vec {v}}}$${\displaystyle \otimes }$

При небольшом смещении изменение векторного поля определяется выражением:${\displaystyle \delta {\vec {r}}}$

${\displaystyle \delta {\vec {v}}=(\nabla \otimes {\vec {v}})^{T}\cdot \delta {\vec {r}}}$

Правила продукта [ править ]

Для векторного исчисления :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&={\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}\\\nabla \cdot (f{\vec {v}})&=f(\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {u}})-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times (f{\vec {v}})&=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Для матричного исчисления (для которого можно написать ):${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {u}}^{\text{T}}{\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}{\vec {u}}&=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}{\vec {u}}\right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right){\vec {u}}\end{aligned}}}$

Другое интересное соотношение (см., Например, уравнения Эйлера ) следующее, где - тензор внешнего произведения :${\displaystyle {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})=(\nabla \cdot {\vec {u}}){\vec {v}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\end{aligned}}}$

Вторые производные [ править ]

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скаляр, точка, крест) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиент (скалярное произведение), дивергенция (скалярное произведение) и curl (перекрестное произведение). Применение этих трех типов производных снова друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля f или векторного поля v ; использование скалярного лапласиана и векторного лапласиана дает еще два:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {v}})&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta {\vec {v}}&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции хорошо работают ^{[ требуется пояснение ]} , две из них всегда равны нулю:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0\end{aligned}}}$

Два из них всегда равны:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Остальные 3 производные вектора связаны уравнением:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {v}}\right)=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

И один из них может быть даже выражен тензорным произведением, если функции выполнены правильно:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}$

Меры предосторожности [ править ]

Большинство вышеперечисленных векторных свойств (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del - например, правила произведения) полагаются только на перестановку символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть значения, которое необходимо получить при обозначении этого оператора в виде вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не всегда надежно, потому что del, как правило, не коммутирует.

Контрпример, основанный на том, что Дель не смог поехать на работу:

${\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})f&\equiv ({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})f\\(\nabla \cdot {\vec {v}})f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\({\vec {v}}\cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {v}})f&\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах Дела:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=({\vec {e}}_{x}\cdot 1+{\vec {e}}_{y}\cdot 0+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\times ({\vec {e}}_{x}\cdot 0+{\vec {e}}_{y}\cdot 1+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\\&={\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{y}\\&={\vec {e}}_{z}\\({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)&=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})\\&=xy{\vec {0}}\\&={\vec {0}}\end{aligned}}}$

Центральным в этих различиях является тот факт, что del - это не просто вектор; это векторный оператор . В то время как вектор - это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не будет работать с функцией.

По этой причине тождества, включающие del, должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и тождества дифференциации, такие как правило продукта.

См. Также [ править ]

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначения для дифференцирования
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье – Стокса
• Таблица математических символов
• Оператор Quabla

Ссылки [ править ]

• Уиллард Гиббс и Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ , Издательство Йельского университета , 1960: Dover Publications .
• Шей, HM (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст о векторном исчислении . Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-96997-5.
• Миллер, Джефф. «Раннее использование символов исчисления» .
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы» . Дайджест НС, том 98, выпуск 03. netlib.org.

Внешние ссылки [ править ]

• Обзор неправильного использования в векторном анализе (1994) Тай, Чен