Оператор (математика)

В математике , оператор обычно является отображение или функция , которая действует на элементах пространства для создания элементов другого пространства (возможно и то же пространство, иногда требуется , чтобы быть таким же пространством). Нет общего определения оператора , но этот термин часто используется вместо функции, когда домен представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область действия оператора часто трудно описать явно (например, в случае интегрального оператора ), и ее можно расширить на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может также действовать надифференциальные уравнения , функции которых являются решениями). См. Другие примеры в разделе Оператор (физика) .

Самые основные операторы (в некотором смысле) - это линейные карты , которые действуют в векторных пространствах . Однако, используя «линейный оператор» вместо «линейного отображения», математики часто имеют в виду действия над векторными пространствами функций , которые также сохраняют другие свойства, такие как непрерывность . Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, построенные на их основе, называются дифференциальными операторами , интегральными операторами или интегро-дифференциальными операторами .

Оператор также используется для обозначения символа математической операции . Это связано со значением слова «оператор» в компьютерном программировании , см. Оператор (компьютерное программирование) .

Линейные операторы [ править ]

Чаще всего встречаются линейные операторы . Пусть U и V векторные пространства над полем K . Отображение : U → V является линейным , если

${\ Displaystyle А (\ альфа \ mathbf {х} + \ бета \ mathbf {y}) = \ альфа А \ mathbf {x} + \ бета А \ mathbf {y}}$

для всех х , у в U и для всех а, р в К . Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы - это морфизмы между векторными пространствами.

В конечномерном случае линейные операторы могут быть представлены матрицами следующим образом. Пусть будет поле, и быть конечномерных векторных пространств над . Выберем основу в и в . Тогда пусть будет произвольным вектором в (при условии соглашения Эйнштейна ) и будет линейным оператором. потом${\ displaystyle K}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {u} _ {n}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {m}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbf {х} = х ^ {я} \ mathbf {и} _ {я}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A: U \ to V}$

${\ displaystyle A \ mathbf {x} = x ^ {i} A \ mathbf {u} _ {i} = x ^ {i} (A \ mathbf {u} _ {i}) ^ {j} \ mathbf { v} _ {j}}$.

Тогда - матрица оператора в фиксированных базисах. не зависит от выбора , а если . Таким образом, в фиксированных базисах матрицы размера n на m взаимно однозначно соответствуют линейным операторам от до .${\ displaystyle a_ {i} ^ {j}: = (A \ mathbf {u} _ {i}) ^ {j} \ in K}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {i} ^ {j}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {y} }$${\displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются понятия ранга , определителя , обратного оператора и собственного подпространства .

Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).

Пространство последовательностей действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве, сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей . Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей .

Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.

Ограниченные операторы [ править ]

Пусть U и V - два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например, ), и они снабжены нормами . Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным, если существует C > 0 такое, что${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}}$

для всех х в U .

Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :

${\displaystyle \|A\|=\inf\{C:\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}\}}$.

В случае операторов из U в себя можно показать, что

${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|}$.

Любая унитальная нормированная алгебра с этим свойством называется банаховой алгеброй . На такие алгебры можно обобщить спектральную теорию . C * -алгебры , которые являются банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике .

Примеры [ править ]

Геометрия [ править ]

В геометрии иногда изучаются дополнительные структуры на векторных пространствах . Операторы, отображающие такие векторные пространства на себя биективно, очень полезны в этих исследованиях, они естественным образом образуют группы по композиции.

Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, - это в точности обратимые линейные операторы . По композиции они образуют общую линейную группу . Они не образуют векторное пространство при добавлении операторов, например, id и -id обратимы (биективны), а их сумма 0 - нет.

Операторы, сохраняющие евклидову метрику на таком пространстве, образуют группу изометрий , а операторы , фиксирующие начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа . Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу или группу поворотов.

Теория вероятностей [ править ]

Операторы также участвуют в теории вероятностей, такой как математическое ожидание , дисперсия и ковариация . Действительно, каждая ковариация - это, по сути, точечный продукт; каждая дисперсия является скалярным произведением вектора на самого себя и, таким образом, является квадратичной нормой; каждое стандартное отклонение - это норма (квадратный корень из квадратичной нормы); соответствующий косинус этого скалярного произведения является коэффициентом корреляции Пирсона ; Ожидаемое значение - это в основном интегральный оператор (используемый для измерения взвешенных фигур в пространстве).

Исчисление [ править ]

С точки зрения функционального анализа , исчисление - это исследование двух линейных операторов: дифференциального оператора и оператора Вольтерра .${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}}$

Ряды Фурье и преобразование Фурье [ править ]

Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен в основном потому, что он преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области таким образом, чтобы она была эффективно обратима . Никакая информация не теряется, так как есть оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить как сумму серии синусоидальных и косинусоидальных волн:

${\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}$

Набор (a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , ...) на самом деле является элементом бесконечномерного векторного пространства ℓ 2 , и поэтому ряд Фурье является линейным оператором.

При работе с общей функцией R → C преобразование принимает интегральный вид:

${\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}$

Преобразование Лапласа [ править ]

Преобразование Лапласа - еще один интегральный оператор, упрощающий процесс решения дифференциальных уравнений.

Для f = f ( s ) он определяется следующим образом:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях [ править ]

Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :

• Град ( градиент ) (с символом оператора ) назначает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и чья норма измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения. ∇ {\displaystyle \nabla }
• Div ( дивергенция ) (с символом оператора ) - это векторный оператор, который измеряет расхождение или сходимость векторного поля к данной точке. ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
• Curl (с символом оператора ) - это векторный оператор, который измеряет тенденцию скручивания (наматывания, вращения) векторного поля вокруг данной точки. ∇ × {\displaystyle \nabla \times }

Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы Grad, Div и Curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением. ^[1]

См. Также [ править ]

• Функция
• Операторная алгебра
• Список операторов

Ссылки [ править ]