Операция (математика)

Элементарные арифметические операции:

• +, плюс (сложение)
• -, минус (вычитание)
• ÷, obelus (деление)
• ×, раз (умножение)

В математике , операция является функцией , которая принимает ноль или более входных значений (называемых операнды ) к определенному значению выходного сигнала. ^[1] Количество операндов - это арность операции.

Чаще всего изучаются бинарные операции (т. Е. Операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. Е. Операции арности 1), такие как аддитивная обратная и мультипликативная обратная . Операция с нулевой арностью, или операция с нулевым значением , является константой . ^{[2] [3]} смешанный продукт представляет собой пример операции арности 3, также называемой троичной операции .

Обычно арность считается конечной. Однако иногда рассматриваются бесконечные операции ^{[2], и} в этом случае «обычные» операции конечной арности называются финитарными операциями .

Частичная операция определяется аналогично операции, но с частичной функцией вместо функции.

Типы операций [ править ]

Двоичная операция принимает два аргумента и , и возвращает результат .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\circ y}$

Есть два распространенных типа операций: унарные и двоичные . ^[1] Унарные операции включают только одно значение, например отрицание и тригонометрические функции . ^[4] Бинарные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . ^[5]

Операции могут включать математические объекты, отличные от чисел. Эти логические значения истинные и ложные могут быть объединены с помощью логических операций , таких , как и , или, а не . Векторы можно складывать и вычитать. ^[6] Повороты можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя первое вращение, а затем второе. Операции над множествами включают бинарные операции объединения и пересечения, а также унарную операцию дополнения . ^{[7] [8][9]} Операции с функциями включают композицию и свертку . ^{[10] [11] [12]}

Операции не могут быть определены для всех возможных значений его домена . Например, в действительных числах нельзя делить на ноль ^[13] или извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют набор, называемый ее областью определения или активной областью . Набор, который содержит полученные значения, называется кодоменом , но набор фактических значений, достигнутых операцией, является его кодоменом определения, активным кодоменом, изображением или диапазоном . ^[14]Например, в действительных числах операция возведения в квадрат дает только неотрицательные числа; codomain - это набор действительных чисел, но диапазон - это неотрицательные числа.

В операциях могут использоваться разные объекты: вектор может быть умножен на скаляр, чтобы сформировать другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ), ^[15], а операция внутреннего произведения двух векторов дает скалярную величину. ^{[16] [17]} Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и т. Д. ^[1]

Объединенные значения называются операндами , аргументами или входами , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или больше двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного количества входов ^[2] ).

Оператор похож на операцию в том , что она относится к символу или процесс , используемый для обозначения операции, ^[12] , следовательно , их точка зрения отличается. Например, часто говорят о «операции сложения» или «операции сложения», когда сосредотачиваются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда сосредотачиваются на процессе. или от более символической точки зрения, функция +: Х × Х → Х .

Определение [ править ]

П -ичный операция ω из X ₁ , ..., X _п до Y является функцией ω : X ₁ × ... × X _п → Y . Множество X ₁ ×… × X _n называется областью действия, множество Y называется областью области действия, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции. Таким образом, унарная операцияимеет арность один, а бинарная операция - два. ^[1] Операция арности нуля, называется нульарная операцией, это просто элемент области значений Y . П -ичная операция может также рассматриваться как ( п + 1) -ичные связи , которая является общим на своем п входных доменов и уникальном на своем выходном домене.

П -ичный частичная операция ω из X ₁ , ..., Х _п до Y является частичной функцией ω : X ₁ × ... × Х _п → Y . П -ичная частичная операция может также рассматриваться как ( п + 1) -ичные связи , которая является уникальной на его выходном домене.

Вышеупомянутое описывает то, что обычно называют финитарной операцией , имея в виду конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, в которых арность берется как бесконечный порядковый или кардинальный , ^[2] или даже произвольный набор, индексирующий операнды.

Часто использование термина « операция» подразумевает, что область определения функции включает в себя степень кодомена (т. Е. Декартово произведение одной или нескольких копий кодомена) ^[18], хотя это ни в коем случае не универсально, как в случай скалярного произведения , когда векторы умножаются и в результате получается скаляр. П -ичный операция ω : Х ^п → Х называется внутренние операции . П -ичный операция ω : X ^я × S × Х ^{п - я - 1}→ X , где 0 ≤ я < п называется внешнее управление с помощью скалярного набора или множества оператора S . В частности , для двоичной операции, ω : S × X → X называется лево-внешнее управление с помощью S и ω : X × S → X называется правой кнопкой внешнее управление с помощью S . Пример внутренней операции - сложение векторов, где два вектора складываются и в результате получается вектор. Примером внешней операции является скалярное умножение , когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.

См. Также [ править ]

• Финитарное отношение
• Гипероперация
• Оператор
• Порядок операций

Ссылки [ править ]