Пространство последовательности

В функциональном анализе и смежных областях математики , пространство последовательностей является векторным пространством , элементы которого являются бесконечными последовательностями из реальных или комплексных чисел . Эквивалентно, это функциональное пространство , элементы которого являются функциями от натуральных чисел до поля K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всевозможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство с помощью операцийпоточечное сложение функций и поточечное скалярное умножение. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важные пространства последовательностей в анализе являются л ^р пространством, состоящим из р -Power суммируемых последовательностей, с р -нормом. Это частные случаи L ^p пространств для считающей меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c ₀ , с нормой sup . Любая последовательность пространство также может быть оснащено топологией из точечной сходимости, при котором оно становится особой разновидностью пространства Фреше, называемого FK-пространством .

Определение [ править ]

По определению, последовательность в наборе${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$ - это просто -значная карта , значение которой обозначается вместо обычных скобок.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{\bullet }(n).}$

Пространство всех последовательностей[ редактировать ]

Обозначим через поле действительных или комплексных чисел. Продукт обозначает множество всех последовательностей скаляров в этом наборе может становится векторным пространством , называемого пространством всех последовательностей , когда сложение векторов определяются${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }{\stackrel {\rm {def}}{=}}\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

а скалярное умножение определяется как

${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }{\stackrel {\rm {def}}{=}}\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Пространство последовательностей любое линейное подпространство из${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$ Пространство всех действительных последовательностей - это пространство всех последовательностей со значениями в${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Если не указано иное, пространство наделяется топологией продукта , хотя, что важно, его линейные подпространства, такие как, например, обычно наделены топологиями, которые отличаются от топологии подпространства, индуцированной топологией продукта. Пространство всех последовательностей (с топологией произведения) является пространством Фреше , что означает, что оно является полным метризуемым локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS). Там не существует никакого хаусдорфову локально выпуклой топологии на том , что является строго грубее , чем этот продукт топологии. ^[1] Место не${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$нормируемый , что означает, что его топология не может быть определена какой-либо нормой . ^[1] Кроме того, не существует никакой непрерывной нормы на. Фактически, как показывает следующая теорема, всякий раз, когда существует пространство Фреше, на котором не существует никакой непрерывной нормы, это полностью связано с присутствием в качестве подпространства. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

ℓ ^p пробелов [ править ]

For является подпространством, состоящим из всех последовательностей, удовлетворяющих${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$

Если тогда действительная операция, определенная${\displaystyle p\geq 1,}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$

определяет норму на Фактически, является полным метрическим пространством относительно этой нормы и, следовательно, является банаховым пространством .${\displaystyle \ell ^{p}.}$${\displaystyle \ell ^{p}}$

Если then не несет норму, а скорее метрика, определяемая${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle \ell ^{p}}$

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,}$

Если тогда определяется как пространство всех ограниченных последовательностей, наделенное нормой${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|,}$

${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ также является банаховым пространством.

c , c ₀ и c ₀₀ [ править ]

Пространство сходящихся последовательностей c - это пространство последовательностей. Он состоит из всего такого, что существует lim _{n → ∞} x _n . Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена, c является линейным подпространством в . Более того, это замкнутое подпространство по отношению к норме бесконечности, а значит, само по себе банахово пространство.${\displaystyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Подпространство нулевых последовательностей c ₀ состоит из всех последовательностей, предел которых равен нулю. Это замкнутое подпространство в c , а значит, снова банахово пространство.

Подпространство окончательно нулевых последовательностей c ₀₀ состоит из всех последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов. Это не замкнутое подпространство и, следовательно, не банахово пространство относительно бесконечной нормы. Например, последовательность, где для первых элементов (для ) и везде ноль (т.е. ) является Коши относительно нормы бесконечности, но не сходится (к последовательности в c ₀₀ ).${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{nk}=1/k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)}$

Пространство ℝ ^∞ конечных последовательностей[ редактировать ]

Позволять

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to 0}}\right\},\end{alignedat}}}$

обозначает пространство всех конечных действительных последовательностей, где обозначает пространство всех действительных последовательностей. Пространство всех конечных комплексных последовательностей определяется идентично, и хотя в этом разделе основное внимание будет уделено всем определениям, и результаты, описанные ниже, справедливы в той же степени, что и для Действительно, если рассматривать его как реальное векторное пространство, то существует реальное TVS- изоморфизм между и .${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty },}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

Для каждого натурального числа , пусть обозначают обычное евклидово пространство , наделенное евклидовой топологией , и пусть обозначим каноническое вложение определяется так , чтобы его изображение является${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

и следовательно,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Надел набор с окончательной топологией , индуцированного семейством всех канонических включений, который по определению представляет собой лучшую топологию на таким образом, что все карты в непрерывны. С этой топологией становится полным хаусдорфовым локально выпуклым секвенциальным топологическим векторным пространством , которое не является пространством Фреше – Урысона . Топологии являются строго тоньше , чем топология подпространства , индуцированной на с помощью которых наделен своей обычной топологией произведения . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:n\in \mathbb {N} \;\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Надел изображение с фактор - топологией , индуцированной на ней с помощью биекции , что он наделен евклидовой топологией , переданной ему из с помощью этой топологии равно топологии подпространства , индуцированной на него Подмножество открыты (соотва. Закрытое) в том и только если для каждого множества является открытым (соответственно замкнутое) подмножество The топологии , таким образом , когерентное с семейством подпространств это делает в LB-пространстве . Следовательно, если и - последовательность в, то в${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right):n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$тогда и только тогда, когда существует такое, что оба и содержатся в и в${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Часто, для каждого каноническое включение используется для идентификации с его изображением в явном виде, элементы и определены вместе. При таком отождествлении становится прямым пределом прямой системы, где для каждого отображения есть каноническое включение, определяемое тем, где есть конечные нули.${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$${\displaystyle m\leq n,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$${\displaystyle n-m}$

Другие пробелы последовательности [ править ]

Пространство ограниченных серий , обозначенное bs , - это пространство последовательностей, для которых${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .}$

Это пространство, когда оно оборудовано нормой

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,}$

банахово пространство изометрически изоморфно через линейное отображение${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Подпространство cs, состоящее из всех сходящихся рядов, является подпространством, которое переходит в пространство c при этом изоморфизме.

Пространство Φ или определяется как пространство всех бесконечных последовательностей только с конечным числом ненулевых членов (последовательности с конечным носителем ). Это множество плотно во многих пространствах последовательностей.${\displaystyle c_{00}}$

Свойства ℓ ^p пространств и пространства c ₀ [ править ]

Пространство ² - единственное ^p пространство, которое является гильбертовым пространством , поскольку любая норма, индуцированная скалярным произведением, должна удовлетворять закону параллелограмма

${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$

Подстановка двух различных единичных векторов вместо x и y напрямую показывает, что тождество неверно, если p  = 2.

Каждое ^p различно в том смысле, что ^p является строгим подмножеством ℓ ^s, если p  <  s ; более того, ^p не линейно изоморфно ℓ ^s, когда  p  ≠  s . На самом деле, по теореме Питта ( Pitt 1936 ), каждый линейный ограниченный оператор из ℓ ^s к л ^р является компактным , когда р  <  s . Такой оператор не может быть изоморфизмом; и, кроме того, он не может быть изоморфизмом ни на каком бесконечномерном подпространстве ℓ ^s, и поэтому называется строго сингулярным .

Если 1 <  р  <∞, то (непрерывное) сопряженное пространство из л ^р изометрически изоморфно л ^д , где д является Гельдеровский конъюгатом из р : 1 / р  + 1 / Q  = 1. Конкретный изоморфизм сопоставляет элементу x от ℓ ^q функционал

${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$

для y в ℓ ^p . Из неравенства Гёльдера следует, что L _x - линейный ограниченный функционал на ℓ ^p , и на самом деле

${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$

так что норма оператора удовлетворяет

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$

Фактически, взяв y за элемент из ^p с

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\rm {{if}\ x_{n}=0}}\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\rm {{if}\ x_{n}\not =0}}\end{cases}}}$

дает L _x ( y ) = || х || _q , так что на самом деле

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$

Наоборот, для ограниченного линейного функционала L на ^p последовательность, определяемая формулой x _n  = L ( e _n ), лежит в ^q . Таким образом, отображение дает изометрию${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$

${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$

Карта

${\displaystyle \ell ^{q}{\xrightarrow {\kappa _{q}}}(\ell ^{p})^{*}{\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}}}$

полученный составляя К _р с обратным его транспонированным совпадает с канонической инъекцией в л ^д в его двойном двойном . Как следствие, ℓ ^q - рефлексивное пространство . При превышении обозначений , это характерно для идентификации л ^д с сопряженным л ^р : (ℓ ^р ) ^*  = ℓ ^кв . Тогда под рефлексивностью понимается последовательность отождествлений (ℓ ^p ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^p .

Пространство c ₀ определяется как пространство всех последовательностей, сходящихся к нулю, с нормой, идентичной || х || _∞ . Это замкнутое подпространство в ℓ ^∞ , следовательно, банахово пространство. Двойной из C ₀ является ℓ ¹ ; двойственное к ℓ ¹ есть ^∞ . В случае натуральных чисел множества индексов, то ℓ ^р и с ₀ являются разъемные , с единственным исключением л ^∞ . Двойственное к ℓ ^∞ - это ба-пространство .

Пространства c ₀ и ℓ ^p (при 1 ≤ p  <∞) имеют канонический безусловный базис Шаудера { e _i  | i  = 1, 2, ...}, где e _i - это последовательность, которая равна нулю, но для 1 в i- ^й записи.

Пространство ℓ ¹ обладает свойством Шура : в ¹ любая слабо сходящаяся последовательность также сильно сходится ( Schur 1921 ). Однако, так как слабая топология на бесконечных пространствах строго слабее сильной топологии , есть сетки в л ¹ , которые являются слабыми , но не сходятся сильными сходящимся.

Пространства ℓ ^p можно вложить во многие банаховы пространства . Вопрос о том, содержит ли каждый бесконечномерным банахово пространство в isomorph некоторого л ^р и о с ₀ , ответили отрицательно BS Цирельсоном строительства «s из Цирельсоном пространства в 1974 г. двойственное утверждение, что каждое сепарабельное банахово пространство линейно изометрично фактор - пространство из л ¹ , ответило утвердительно Банах и Мазур (1933) . То есть для любого сепарабельного банахова пространства X существует фактор-отображение , так что X${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$изоморфен . Вообще говоря, ker Q не дополняется в ¹ , то есть не существует подпространства Y в ¹ такого, что . Фактически, ¹ имеет несчетное количество незавершенных подпространств, которые не изоморфны друг другу (например, возьмем ; поскольку существует несчетное количество таких X и поскольку никакое ℓ ^p не изоморфно любому другому, то существует несчетное количество ker Q ).${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$${\displaystyle X=\ell ^{p}}$

За исключением тривиального конечномерного случая, необычной особенностью ℓ ^p является то, что он не является полиномиально рефлексивным .

ℓ ^p пробелов увеличивается в p [ править ]

При пространства возрастают по , причем оператор включения непрерывен: при , один имеет .${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$${\displaystyle \|f\|_{q}\leq \|f\|_{p}}$

Это следует из определения для и отметки этого для всех , что, как можно показать, подразумевает .${\displaystyle F:={\frac {f}{\|f\|_{p}}}}$${\displaystyle f\in \ell ^{p}}$${\displaystyle |F(m)|\leq 1}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \|F\|_{q}^{q}\leq 1}$

Свойства пробелов spaces ¹ [ править ]

Последовательность элементов из ¹ сходится в пространстве комплексных последовательностей ¹ тогда и только тогда, когда она сходится слабо в этом пространстве. ^[2] Если K является подмножеством этого пространства, то следующие утверждения эквивалентны: ^[2]

1. K компактный;
2. K слабо компактный;
3. K ограничен, замкнут и равнодоступен на бесконечности.

Здесь K , равносильный на бесконечности, означает, что для каждого существует такое натуральное число , что для всех .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n_{\epsilon }\geq 0}$${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\epsilon }$${\displaystyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

См. Также [ править ]

• L p пространство
• Пространство Цирельсона
• бета-дуальное пространство
• Пространство последовательности Орлича

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Банах, Стефан; Мазур, С. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100–112.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Pitt, HR (1936), «Заметка о билинейных формах», J. London Math. Soc. , 11 (3): 174-180, DOI : 10.1112 / jlms / s1-11.3.174.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79–111, doi : 10.1515 / crll.1921.151.79.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .