Топологическое векторное пространство

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в следующем: выделение слишком жирным шрифтом, диаграмма недоступна для читателей, слепых от красно-зеленого цвета. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Март 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А топологическое векторное пространство (также называется линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или телевизоры ) является одним из основных структур , исследованных в функциональном анализе . Топологическое векторное пространство - это векторное пространство ( алгебраическая структура), которое также является топологическим пространством , это означает, что операции в векторном пространстве являются непрерывными функциями . В частности, его топологическое пространство имеет однородную топологическую структуру , что позволяет использовать понятие равномерной сходимости .

Элементами топологических векторных пространств обычно являются функции или линейные операторы, действующие в топологических векторных пространствах, и топология часто определяется так, чтобы уловить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.

Банаховы пространства , гильбертовы пространства и пространства Соболева являются хорошо известными примерами.

Если не указано иное, предполагается, что базовым полем топологического векторного пространства являются комплексные или действительные числа .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Мотивация [ править ]

Нормированные пространства

Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику, а метрика индуцирует топологию. Это топологическое векторное пространство, потому что:

1. Сложение векторов +: X × X → X совместно непрерывно относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенства треугольника, которому подчиняется норма.
2. Скалярное умножение, где - лежащее в основе скалярное поле X , совместно непрерывно. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.${\ Displaystyle \ cdot: \ mathbb {K} \ times X \ rightarrow X,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

Таким образом, все банаховы пространства и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.

Ненормированные пространства

Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но все еще представляет интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций , пространства Шварца , пространства пробных функций и пространства распределений на них. Все это примеры пространств Монтель . Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не нормируемо. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .

Топологическое поле является топологическим векторным пространством над каждым из своих подполей .

Определение [ править ]

Топологическое векторное пространство ( TVS ) X представляет собой векторное пространство над топологическим полем (чаще всего реальные или сложные номера с их стандартными топологий) , который наделенное топологией таким образом, что сложение векторов +: X × X → X и скалярное умножение являются непрерывные функции (где области определения этих функций снабжены топологиями продукта ). Такая топология называется векторной топологией или топологией TVS на X.${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\rightarrow X}$.

Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой относительно сложения.

Предположение Хаусдорфа

Некоторые авторы (например, Вальтер Рудин ) требуют, чтобы топология на X была T 1 ; из этого следует, что это пространство хаусдорфово и даже тихоновское . Топологическое векторное пространство называется разделенным, если оно хаусдорфово; что важно, «отделенный» не означает отделимый . Топологические и линейные алгебраические структуры могут быть связаны друг с другом еще более тесно с помощью дополнительных предположений, наиболее общие из которых перечислены ниже .

Категория и морфизмы

Категории топологических векторных пространств над топологическим полем обычно обозначаются TVS или TVect . Эти объектами являются топологическими векторными пространствами над и морфизмами являются непрерывными -линейными картами от одного объекта к другому.${\displaystyle \mathbb {K} }$_{${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$}${\displaystyle \mathbb {K} }$ K {\displaystyle \mathbb {K} }

TVS гомоморфизм или топологическое гомоморфизм ^{[1] [2]} является непрерывной линейной карте ¯u  : X → Y топологических векторных пространств (TVSS) таким образом, что индуцированное отображение у  : X → Im U представляет собой открытое отображение , когда Im U , которое является диапазон или изображение U , дается топология подпространства , индуцированное Y .

ТВС вложения или топологическое -мономорфизм является инъективно топологическим гомоморфизм. Эквивалентно TVS-вложение - это линейное отображение, которое также является топологическим вложением . ^[1]

TVS изоморфизм или изоморфизм в категории TVSS биективный линейный гомеоморфизм . Эквивалентно, это сюръективное вложение TVS ^[1]

Многие изучаемые свойства TVS, такие как локальная выпуклость , метризуемость , полнота и нормируемость , инвариантны относительно изоморфизмов TVS.

Необходимое условие векторной топологии

Коллекция 𝒩 подмножеств векторного пространства называется аддитивным ^[3] , если для каждого N ∈ 𝒩 , существует некоторая U ∈ 𝒩 таким образом, что U + U ⊆ N .

Следовательно, все вышеперечисленные условия необходимы для формирования топологии векторной топологии.

Определение топологий с использованием окрестностей источника [ править ]

Поскольку любая векторная топология инвариантна относительно сдвига (т.е. для всех x ₀ ∈ X отображение X → X, определенное как x ↦ x ₀ + x, является гомеоморфизмом ), для определения векторной топологии достаточно определить базис окрестности (или подбазис) для него в происхождении.

В общем, множество всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базис окрестностей в начале координат для любой векторной топологии. ^[3]

Определение топологий с использованием строк [ править ]

Пусть X - векторное пространство и U _• = ( U _i )^∞
_{я = 1}последовательность подмножеств X . Каждый набор в последовательности U _• называется узел из U _• и для каждого индекса я , U _я называется я - ^й узел из U _• . Множество U ₁ называется начало из U _• . Последовательность U _• есть / есть: ^{[5] [6] [7]}

• Суммативно, если U _{i +1} + U _{i +1} ⊆ U _i для каждого индекса i .
• Сбалансированное (соотва. Поглощая , закрыто , ^{[примечание 1]} выпуклый , открытым , симметричный , ствол , абсолютно выпуклый / disked и т.д.)если это верноотношении каждого U _я .
• Строка, если U _• суммативная, поглощающая и сбалансированная.
• Топологическая строка или строка окрестностей в TVS X , если U _• является строкой и каждый из его знает окрестность нуля в X .

Если U представляет собой абсорбирующий диск в векторном пространстве X , то последовательность определяется U _я ≝ 2 ^{1 - я} U формирует строку , начинающуюся с U ₁ = U . Это называется естественной строкой U ^[5]. Более того, если векторное пространство X имеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку.

Суммативные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные вещественнозначные субаддитивные функции. Затем эти функции можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.

Если U _• = ( U _i ) _{i ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} и V _• = ( V _i ) _{i ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$} - два набора подмножеств векторного пространства X и если s - скаляр, то по определению: ^[5]

• V _• содержит U _• : U _• ⊆ V _• тогда и только тогда, когда U _i ⊆ V _i для каждого индекса i . 
• Набор узлов : Узлы ( U _• ) ≝ { U _i  : i ∈ } .  ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Ядро : ker U _• ≝  ∩i ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ U _i .
• Скалярное кратное : s U _• ≝ ( s U _i ) _{i ∈} .  _{${\displaystyle \mathbb {N} }$}
• Сумма : U _• + V _• ≝ ( U _i + V _i ) _{i ∈} .  _{${\displaystyle \mathbb {N} }$}
• Пересечение : U _• ∩ V _• ≝ ( U _i ∩ V _i ) _{i ∈} .  _{${\displaystyle \mathbb {N} }$}

Если является набором последовательностей подмножеств X , то называется направленным ( вниз ) относительно включения или просто направленным, если не пусто и для всех U _• , V _• ∈ существует некоторый W _• ∈ такой, что W _• ⊆ U _• и W _• ⊆ V _• (иначе говоря, если и только если является предварительным фильтром по отношению к сдерживанию ⊆${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$ определено выше).

Обозначение : Пусть Knots ( ) ≝${\displaystyle \mathbb {S} }$∪U _• ∈${\displaystyle \mathbb {S} }$Узлы ( U _• ) - совокупность всех узлов всех ниток в .${\displaystyle \mathbb {S} }$

Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.

Если - множество всех топологических цепочек в TVS ( X , 𝜏), то ^[5] Хаусдорфова TVS метризуема тогда и только тогда, когда ее топология может быть индуцирована одной топологической цепочкой. ^[8]${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

Топологическая структура [ править ]

Векторное пространство - это абелева группа по отношению к операции сложения, а в топологическом векторном пространстве обратная операция всегда непрерывна (так как это то же самое, что и умножение на -1). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой . Каждый TVS полностью исправен, но TVS не обязательно должен быть нормальным . ^[9]

Пусть X - топологическое векторное пространство. Для подпространства M ⊂ X фактор-пространство X / M с обычной фактор-топологией является хаусдорфовым топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда M замкнуто. ^{[примечание 2]} Это позволяет следующую конструкцию: заданное топологическое векторное пространство X (которое, вероятно, не является хаусдорфовым), сформировать фактор-пространство X / M, где M - замыкание {0}. X / M тогда является хаусдорфовым топологическим векторным пространством, которое можно изучать вместо X.

Инвариантность векторных топологий [ править ]

Одним из наиболее часто используемых свойств векторных топологий является то, что каждая векторная топология инвариантна к трансляции :

для всех x ₀ ∈ X отображение X → X, определенное как x ↦ x ₀ + x, является гомеоморфизмом , но если x ₀ ≠ 0, то оно не линейно и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом.

Скалярное умножение на ненулевой скаляр - это TVS-изоморфизм. Это означает, что если s ≠ 0, то линейное отображение X → X, определенное формулой x ↦ s x, является гомеоморфизмом. Использование s = −1 дает отображение отрицания X → X, определяемое x ↦ - x , которое, следовательно, является линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом.

Если x ∈ X и любое подмножество S ⊆ X , то cl ( x + S ) = x + cl ( S ) ^[4] и, более того, если 0 ∈ S, то x + S - окрестность (соответственно открытая окрестность, замкнутая окрестность ) x в X тогда и только тогда, когда то же самое верно для S в начале координат.

Местные представления [ править ]

Подмножество E векторного пространства X называется

• поглощающий (в X ): если для любого x ∈ X существует вещественное r > 0 такое, что c x ∈ E для любого скаляра c, удовлетворяющего | c | ≤ r .
• сбалансированный или обведенный : если tE ⊆ E для каждого скаляра | т | ≤ 1 .
• выпуклый : если tE + (1− t ) E ⊆ E для любого действительного 0 ≤ t ≤ 1 .
• диск или абсолютно выпукло : если Е выпукло и сбалансировано.
• симметрична : если - E ⊆ E , илиэквивалентно, если - Е = Е .

Каждая окрестность 0 является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность 0 ^[4], поэтому каждое топологическое векторное пространство имеет локальную базу поглощающих и сбалансированных множеств . Начало координат даже имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых уравновешенных окрестностей 0; если пространство локально выпукло, то оно также имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля.

Ограниченные подмножества

Подмножество Е топологического векторного пространства X является ограниченным ^[10] , если для любой окрестности V от 0 , то Е ⊆ тВ , когда т достаточно велико.

Определение ограниченности можно немного ослабить; E ограничено тогда и только тогда, когда каждое его счетное подмножество ограничено. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая из его подпоследовательностей является ограниченным множеством. ^[11] Кроме того, E ограничено тогда и только тогда, когда для каждой сбалансированной окрестности V точки 0 существует t такое, что E ⊆ tV . Кроме того, когда Х является локально выпуклым, ограниченность можно охарактеризовать полунормами : подмножество Е ограничен тогда и только тогда , когда каждая непрерывная полунорма р ограничена на Е .

Всякое вполне ограниченное множество ограничено. ^[11] Если М является векторным подпространством TVS X , то подмножество М ограничена в М тогда и только тогда , когда оно ограничено в X . ^[11]

Метризуемость [ править ]

TVS псевдометризуема тогда и только тогда, когда у нее есть счетный базис окрестностей в начале координат, или эквивалентно тогда и только тогда, когда ее топология порождается F -полунормой . TVS метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Более строго: топологическое векторное пространство называется нормируемым, если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и имеет выпуклую ограниченную окрестность нуля . ^[13]

Позвольте быть недискретным локально компактным топологическим полем, например действительными или комплексными числами. Хаусдорфа топологическое векторное пространство над локально компактно тогда и только тогда , когда оно конечномерно , то есть изоморфна для некоторого натурального числа п .${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$

Полнота и единообразие структуры [ править ]

Каноническая однородность ^[14] на TVS ( X , т) является единственным трансляционно инвариантной равномерности , что индуцирует топологию τ на X .

Предполагается, что каждая TVS наделена канонической однородностью, которая превращает все TVS в однородные пространства . Это позволяет ^{[ требуется пояснение ]} о связанных понятиях, таких как полнота , равномерная сходимость , сети Коши и равномерная непрерывность . и т. д., которые всегда предполагаются в отношении этого единообразия (если не указано иное). Отсюда следует, что всякое хаусдорфово топологическое векторное пространство тихоновское . ^[15] Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено (для TVS Хаусдорфа вполне ограниченное множество эквивалентно тому, что оно являетсяпрекомпактный ). Но если TVS не хаусдорфова, то существуют незамкнутые компактные подмножества. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфовой TVS снова компактно (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).

В отношении этой однородности, в сети (или последовательности) х _• = ( х _я ) _{я ∈ I} является Коши тогда и только тогда , когда для любой окрестности V от 0 , существует некоторый индекс я , такие , что х _м - х _п ∈ V когда это j ≥ i и k ≥ i .

Каждая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши не могут быть ограниченными. Топологическое векторное пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно полным ; в общем, он может быть неполным (в том смысле, что все фильтры Коши сходятся).

Операция сложения в векторном пространстве является равномерно непрерывной и открытой картой . Скалярное умножение непрерывно по Коши, но в целом оно почти никогда не бывает равномерно непрерывным. Из - за этого, каждое топологическое векторное пространство может быть завершено , и, таким образом, плотное линейное подпространство из полного топологического векторного пространства .

• Каждая TVS имеет завершение, и каждая TVS Хаусдорфа имеет завершение Хаусдорфа. ^[4] Каждая TVS (даже если она хаусдорфова и / или полна) имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
• Компактное подмножество TVS (не обязательно по Хаусдорфу) полно. ^[16] Полное подмножество Хаусдорфовой TVS замкнуто. ^[16]
• Если C является полным подмножеством TVS, то любое подмножество C , замкнутое в C, является полным. ^[16]
• Последовательность Коши в Хаусдорфовой ТВП X не обязательно относительно компактна (т. Е. Ее замыкание в X не обязательно компактно).
• Если фильтр Коши в TVS имеет точку накопления x, то он сходится к x .
• Если серия ∑^∞
  _{я = 1} х _I сходится ^{[примечание 5]} в ТВС X , то х _I → 0 в X . ^[17]

Примеры [ править ]

Самая точная и грубая векторная топология [ править ]

Пусть X - вещественное или комплексное векторное пространство.

Тривиальная топология

Тривиальная топология или антидискретная топология { X , ∅} всегда топология TVS на любом векторном пространстве X , и это грубейшие TVS топология возможно. Важным следствием этого является то, что пересечение любого набора топологий TVS на X всегда содержит топологию TVS. Любое векторное пространство (в том числе бесконечномерное) с тривиальной топологией является компактным (и, следовательно, локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклым топологическим векторным пространством. Оно хаусдорфово тогда и только тогда, когда dim X = 0.

Лучшая векторная топология

Существует TVS-топология τ _f на X , более тонкая, чем любая другая TVS-топология на X (т.е. любая TVS-топология на X обязательно является подмножеством 𝜏 _f ). ^{[18] [19]} Любое линейное отображение из ( X , τ _f ) в другую TVS обязательно непрерывно. Если X имеет несчетный базис Гамеля, то 𝜏 _f не является локально выпуклым и не метризуемым . ^[19]

Векторные пространства продукта [ править ]

Декартово произведение семейства топологических векторных пространств, когда наделенное топологией произведения , является топологическим векторным пространством. Рассмотрим, например, множество X всех функций, где есть его обычная евклидова топология . Это множество X является вещественным векторным пространством (где сложение и скалярное умножение, как обычно, определяются поточечно), которое можно отождествить с декартовым произведением (и действительно, часто оно определяется как) декартово произведение , которое несет топологию естественного произведения . С этой топологией произведения X ≝ становится топологическим векторным пространством, топология которого называется топологией${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$поточечная сходимость по${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Причина этого названия заключается в следующем: если ( f _n ) является последовательностью (или, в более общем смысле, сетью ) элементов в X, и если f ∈ X, то f _n сходится к f в X тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа x , f _n ( x ) сходится к f ( x ) in. Эта TVS завершена , Хаусдорф , и${\displaystyle \mathbb {R} }$локально выпуклый, но не метризуемый и, следовательно, не нормируемый ; действительно, каждая окрестность начала координат в топологии продукта содержит прямые (т. е. одномерные векторные подпространства, которые являются подмножествами вида f ≝ { r f  : r ∈ } с f 0 ).${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Конечномерные пространства [ править ]

Обозначим через или и снабдим его обычной хаусдорфовой нормированной евклидовой топологией . Пусть X - векторное пространство над конечной размерностью n = dim X и так, чтобы X было векторным пространством, изоморфным (явно это означает, что существует линейный изоморфизм между векторными пространствами X и ). Это конечномерное векторное пространство X всегда имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа , что делает его TVS-изоморфным пространству , где наделено обычной евклидовой топологией (которая совпадает с топологией${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$топология продукта ). Эта векторная топология Хаусдорфа также (единственный) лучших векторная топология на X . X имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда dim X = 0 . Если dim X ≠ 0, то, хотя X не имеет уникальной векторной топологии, он имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа .

• Если dim X = 0, то X = {0} имеет ровно одну векторную топологию: тривиальную топологию , которая в этом случае (и только в этом случае) хаусдорфова . Тривиальная топология векторного пространства хаусдорфова тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность 0 .
• Если dim X = 1, то X имеет две векторные топологии: обычную евклидову топологию и (не хаусдорфову) тривиальную топологию.
  • Поскольку само поле является одномерным топологическим векторным пространством и поскольку оно играет важную роль в определении топологических векторных пространств, эта дихотомия играет важную роль в определении поглощающего множества и имеет последствия, которые отражаются во всем функциональном анализе .${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

• Если dim X = n ≥ 2, то X имеет бесконечно много различных векторных топологий:
  • Теперь описаны некоторые из этих топологий: Каждый линейный функционал f на X , который является векторным пространством, изоморфным ему , индуцирует полунорму | f | : X → определяется по | f | ( x ) = | f ( x ) | где ker f = ker | f | . Каждая полунорма индуцирует ( псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на X, а полунормы с различными ядрами индуцируют различные топологии, так что, в частности, полунормы на X${\displaystyle \mathbb {F} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ которые индуцируются линейными функционалами с отчетливым ядром индуцирует различные векторные топологии на X .
  • Тем не менее, в то время как существует бесконечное множество векторных топологий на X , когда тусклый Х ≥ 2 , есть, до ТВС-изоморфизма только 1 + тусклый Х вектор топологий на X . Например, если n ≝ dim X = 2, то векторные топологии на X состоят из тривиальной топологии, евклидовой топологии Хаусдорфа, и тогда бесконечное число оставшихся нетривиальных неевклидовых векторных топологий на X все TVS-изоморфны одной еще один.

Невекторные топологии [ править ]

Дискретные и конфинитные топологии

Если X - нетривиальное векторное пространство (т.е. ненулевой размерности), то дискретная топология на X (которая всегда метризуема ) не является топологией TVS, потому что, несмотря на непрерывность сложения и отрицания (что превращает ее в топологическую группу под сложение), это не может сделать скалярное умножение непрерывным. Коконечна топология на X (где подмножество открыто тогда и только тогда , когда его дополнение конечно) также не является топология TVS на X .

Линейные карты [ править ]

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен во всей области. Более того, линейный оператор f является непрерывным, если f ( X ) ограничен (как определено ниже) для некоторой окрестности X точки 0.

Гиперплоскость на топологическом векторном пространстве X является либо плотным или закрытым. Линейный функционал F на топологическом векторном пространстве X имеет либо плотное или замкнутое ядро. Кроме того, F непрерывна тогда и только тогда , когда его ядро будет закрыто .

Типы [ править ]

В зависимости от приложения обычно накладываются дополнительные ограничения на топологическую структуру пространства. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа не верны в целом для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике, теорема об открытом отображении и тот факт, что двойственное пространство пространства разделяет точки в пространстве.

Ниже приведены некоторые общие топологические векторные пространства, примерно упорядоченные по их удобству .

• F-пространства - это полные топологические векторные пространства с трансляционно-инвариантной метрикой. К ним относятся L p пространств для всех p> 0 .
• Локально выпуклые топологические векторные пространства : здесь каждая точка имеет локальную базу, состоящую из выпуклых множеств . С помощью техники, известной как функционалы Минковского, можно показать, что пространство является локально выпуклым тогда и только тогда, когда его топология может быть определена семейством полунорм. Локальная выпуклость - это минимальное требование для «геометрических» аргументов, подобных теореме Хана – Банаха . Пространства L ^p являются локально выпуклыми (фактически, банаховыми пространствами) для всех p ≥ 1 , но не для 0 < p <1 .
• Бочкообразные пространства : локально выпуклые пространства, в которых верна теорема Банаха – Штейнгауза .
• Борнологическое пространство : локально выпуклое пространство, в котором непрерывные линейные операторы для любого локально выпуклого пространства являются в точности ограниченными линейными операторами .
• Пространство стереотипов : локально выпуклое пространство, удовлетворяющее варианту условия рефлексивности , где двойственное пространство наделено топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах .
• Монтелевские : бочечное пространство , где каждый замкнутый и ограниченный набор является компактным
• Пространства Фреше : это полные локально выпуклые пространства, топология которых исходит из трансляционно-инвариантной метрики или, что эквивалентно: из счетного семейства полунорм. В этот класс попадает много интересных пространств функций. Локально выпуклое F-пространство - это пространство Фреше.
• LF-пространства являются ограничения по Фреше . Пространства ILH являются обратными пределами гильбертовых пространств.
• Ядерные пространства : это локально выпуклые пространства, обладающие тем свойством, что любое ограниченное отображение ядерного пространства в произвольное банахово пространство является ядерным оператором .
• Нормированные пространства и полунормированные пространства : локально выпуклые пространства, в которых топология может быть описана одной нормой или полунормой . В нормированных пространствах линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
• Банаховы пространства : полные нормированные векторные пространства . Большая часть функционального анализа сформулирована для банаховых пространств.
• Рефлексивные банаховы пространства : банаховы пространства, естественно, изоморфные своему двойному двойному (см. Ниже), что гарантирует, что некоторые геометрические аргументы могут быть выполнены. Важным примером, который не является рефлексивным, является L 1 , двойственный к L ^∞, но строго содержащийся в двойственном к L ^∞ .
• Гильбертовы пространства : у них есть внутренний продукт ; хотя эти пространства могут быть бесконечномерными, большинство геометрических рассуждений, знакомых по конечным измерениям, можно проводить в них. К ним относятся пространства L ² .
• Евклидовы пространства : или с топологией, индуцированной стандартным внутренним произведением. Как указывалось в предыдущем разделе, для данного конечного n существует только одно n- мерное топологическое векторное пространство с точностью до изоморфизма. Отсюда следует, что любое конечномерное подпространство ТВП замкнуто. Характеризация конечномерности состоит в том, что Хаусдорфова TVS локально компактна тогда и только тогда, когда она конечномерна (следовательно, изоморфна некоторому евклидову пространству).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Двойной пробел [ править ]

Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство - множество X * всех непрерывных линейных функционалов, т. Е. Непрерывных линейных отображений из пространства в базовое поле . Топология на двойном может быть определена как самая грубая топология, такая, что двойное объединение каждой точки оценки является непрерывным. Это превращает двойственное в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется слабой * топологией . Возможно, это не единственная естественная топология двойственного пространства; например, двойственное к нормированному пространству имеет определенную естественную норму. Однако он очень важен для приложений из-за его свойств компактности (см. Теорему Банаха – Алаоглу ). Внимание: всякий раз, когда${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X*\rightarrow \mathbb {K} }$X - ненормируемое локально выпуклое пространство, тогда отображение спаривания никогда не будет непрерывным, независимо от того, какую топологию векторного пространства выбрать на V * .${\displaystyle X*\times X\rightarrow \mathbb {K} }$

Свойства [ править ]

Для любого S ⊆ X в виде TVS X , то выпуклая (соотв. Сбалансировано , disked , замкнутое выпуклое, замкнутое сбалансирован, замкнутое disked ) Корпус из S является наименьшим подмножество X , который обладает этим свойством и содержит S .

Замыкание (соответственно внутренняя выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка, дисковая оболочка) множества S иногда обозначается cl S (соответственно Int S , co S , bal S , cobal S ).

Окрестности и открытые множества [ править ]

Свойства окрестностей и открытых множеств

• Открытые выпуклые подмножества ТВП X (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклые) - это в точности те, которые имеют вид z + { x ∈ X  : p ( x ) <1} = { x ∈ X  : p ( x - z ) <1} для некоторого г ∈ X и некоторого положительного непрерывных сублинейного функционала р на X . ^[20]
• Если S ⊆ X и U представляет собой открытое подмножество X , то S + U открытое множество в X . ^[4]
• Если S ⊆ X имеет непустую внутренность, то S - S - окрестность 0. ^[4]
• Если K - поглощающий диск в TVS X и если p ≝ p _K - функционал Минковского для K, то ^[21]

  Int K   ⊆  { x ∈ X  : p ( x ) <1}  ⊆ K ⊆ { x ∈ X  : p ( x ) ≤ 1} ⊆ cl K      

  • Это было не предположить , что K имел никаких топологических свойств ни того, что р был непрерывным (что происходит тогда и только тогда , когда K окрестность 0).
• Каждый TVS подключен ^[4] и подключен локально . ^[22] Любое связное открытое подмножество TVS линейно связно .
• Пусть τ и v , два векторных топологий на X . Тогда 𝜏 ⊆ 𝜐 тогда и только тогда, когда всякий раз, когда сеть x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} в X сходится к 0 в ( X , 𝜐), то x _• → 0 в ( X , 𝜏) . ^[23]
• Пусть 𝒩 окрестность базис нуля в X , пусть S ⊆ X , и пусть х ∈ X . Тогда х ∈ Cl S тогда и только тогда , когда существует сеть сек _• = ( s _N ) _{N ∈ 𝒩} в S (проиндексированы 𝒩 ) таким образом, что с _• → х в Х . ^{[24] [примечание 6]}

Интерьер

• Если S имеет непустую внутренность, то Int S = Int (cl S ) и cl S = cl (Int S ) .
• Если R , S ⊆ X и S имеет непустую внутренность, то Int ( R ) + Int ( S ) ⊆ R + Int ( S ) ⊆ Int ( R + S ) .
• Если S является диск в X , который имеет непустое интерьер , то 0 принадлежит внутренности S . ^[25]
  • Однако замкнутое сбалансированное подмножество X с непустой внутренней частью может не содержать 0 внутри себя. ^[25]
• Если S - сбалансированное подмножество X с непустой внутренней частью, то {0} ∪ Int S сбалансировано; в частности, если внутренность сбалансированного множества содержит начало координат, то Int S сбалансирован. ^{[4] [примечание 7]}
• Если x принадлежит внутренности выпуклого множества S ⊆ X и y ∈ cl _X S , то полуоткрытый отрезок [ x , y ) ≝ { tx + (1 - t ) y  : 0 < t ≤ 1} ⊆ Int S . ^[26] Если N - сбалансированная окрестность 0 в X, то, рассматривая пересечения вида N ∩ x${\displaystyle \mathbb {R} }$ (которые являются выпуклыми симметричными окрестностями 0в реальном TVS x ) следует, что:${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • Int N = [0, 1) Int N = [0, 1) N = (−1, 1) N = B ₁ N , где B ₁ ≝ { a ∈  : | а | <1${\displaystyle \mathbb {K} }$ .
  • если x ∈ Int N и r ≝ sup { r > 0: [0, r ) x ⊆ Int N }, то r > 1 , [0, r ) x ⊆ Int N , и если r ≠ ∞, то r x ∈ cl N ∖ Int N .
• Если С выпукла и 0 < т ≤ 1 , то т Int С + (1 - т ) кл С ⊆ Int С . ^[27]

Нехаусдорфовы пространства и замыкание начала координат [ править ]

• X отделимо тогда и только тогда , когда {0} замкнуто в X .
• cl _X {0} =∩N ∈ 𝒩 (0) N, поэтому каждая окрестность начала координат содержит замыкание {0} .
• cl _X {0} - векторное подпространство в X, и его топология подпространства является тривиальной топологией (что делает cl _X {0} компактным).
• Каждое подмножество cl _X {0} компактно и, следовательно, полно (см. Сноску для доказательства). ^{[доказательство 2]} В частности, если X не хаусдорфово, то существуют компактные полные подмножества, которые не замкнуты. ^[28]
• S + Cl- _Х {0} ⊆ сл _X S для каждого подмножества S ⊆ Х . ^{[доказательство 3]}
  • Итак, если S ⊆ X открыто или замкнуто в X, то S + cl _X {0} = S (так что S - «трубка» с вертикальной стороной cl _X {0} ).
  • Факторное отображение д  : Х → Х / мл _Х {0} является замкнутым отображением на хаусдорфовом ТВС. ^[29]
• Подмножество S из TVS X является вполне ограничено тогда и только тогда , когда S + Cl- _Х {0} вполне ограничено, ^[30] тогда и только тогда , когда сл _Х S вполне ограничено, ^{[31] [32]} тогда и только тогда , когда ее образ при каноническом фактор-отображении X → X / cl _X ({0}) вполне ограничен. ^[30]
• Если S ⊆ X компактно, то cl _X S = S + cl _X {0} и это множество компактно. Таким образом, замыкание компакта компактно ^{[примечание 8]} (т. Е. Все компакты относительно компактны ). ^[33]
• Векторное подпространство TVS ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в замыкании {0} . ^[11]
• Если М является векторным подпространством TVS X , то Х / М отделимо тогда и только тогда , когда М замкнуто в X .
• Каждое векторное подпространство в X, которое является алгебраическим дополнением к cl _X {0}, является топологическим дополнением к cl _X {0} . Таким образом, если H является алгебраическим дополнением cl _X {0} в X, то отображение сложения H × cl _X {0} → X , определенное формулой ( h , n ) ↦ h + n, является TVS-изоморфизмом, где H хаусдорфово а cl _X {0} имеетнедискретная топология . ^[34] Кроме того, если С является хаусдорфовым пополнение из Н , то С × сл _Х {0} является завершение Х ≅ Н × сл _Х {0} . ^[30]

Замкнутые и компактные множества [ править ]

Компактные и вполне ограниченные множества

• Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . ^[28]
  • Таким образом, в полной TVS замкнутое и вполне ограниченное подмножество компактно. ^[28]
• Подмножество S из TVS X является вполне ограничено тогда и только тогда , когда сл _Х S вполне ограничено, ^{[31] [32]} тогда и только тогда , когда ее образ при канонической карте фактор Х → Х / мл _Х ({0}) является полностью ограничен. ^[30]
• Каждый относительно компактный набор вполне ограничен. ^[28] Замыкание вполне ограниченного множества вполне ограничено. ^[28]
• Образ вполне ограниченного множества при равномерно непрерывном отображении (например, непрерывном линейном отображении) вполне ограничен. ^[28]
• Если К является компактным подмножеством TVS X и U представляет собой открытое подмножество X , содержащее K , то существует окрестность N точки 0, что K + N ⊆ U . ^[35]
• Если S - подмножество TVS X такое, что каждая последовательность в S имеет точку кластера в S, то S полностью ограничена. ^[30]

Закрытие и закрытый комплект

• Если S ⊆ X и a - скаляр, то a cl ( S ) ⊆ cl ( aS ) ; если X хаусдорфово, a 0 или S = ∅, то имеет место равенство cl ( aS ) = a cl ( S ) .
  • В частности, каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества замкнуто.
• Если S ⊆ X и S + S ⊆ 2 cl S, то cl S выпукло. ^[36]
• Если R , S ⊆ X, то cl ( R ) + cl ( S ) ⊆ cl ( R + S ) и cl [cl ( R ) + cl ( S )] = cl ( R + S ) . ^[4] Таким образом, если R + S замкнуто, то замкнуто и cl ( R ) + cl ( S ) . ^[36]
• Если S ⊆ X и R - такой набор скаляров, что ни cl S, ни cl R не содержат нуля, то (cl R ) (cl S ) = cl ( RS ) . ^[36]
• Замыкание векторного подпространства TVS - это векторное подпространство.
• Если S ⊆ X, то cl S =∩N ∈ 𝒩( S + N ) , где 𝒩 любая окрестность базис в нуле для X . ^[37]
  • Однако cl S  ⊇  ∩ { U  : S ⊆ U , U открываются в X }, и это может быть правильным ^[38] (например, если и S - рациональные числа).${\displaystyle X=\mathbb {R} }$
  • Отсюда следует , что сл U ⊆ U + U для любой окрестности U начала координат в X . ^[39]
• Если X - действительная TVS и S ⊆ X , то∩г > 1 rS ⊆ cl S (заметим, что левая часть не зависит от топологии на X ); если S - выпуклая окрестность начала координат, то равенство выполняется.
• Сумма компакта и замкнутого множества замкнута. Однако сумма двух замкнутых подмножеств может не быть замкнутой ^[4] (см. Эту сноску ^{[примечание 9]} для примеров).
• Если М является векторным подпространством X и N представляет собой замкнутую окрестность 0 в X таким образом, что U ∩ N замкнуто в X , то М замкнуто в X . ^[35]
• Каждое конечномерное векторное подпространство Хаусдорфовой ТВП замкнуто. Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута. ^[4]

Закрытые корпуса

• В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это не относится к TVS в целом. ^[11]
• Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замыканию выпуклой оболочки этого множества (то есть cl (co ( S )) ). ^[4]
• Замкнутая сбалансированная оболочка набора равна замыканию сбалансированной оболочки этого набора (то есть cl (bal ( S )) ). ^[4]
• Замкнутая дисковая оболочка набора равна замыканию дисковой оболочки этого набора (то есть cl (cobal ( S )) ). ^[4]
• Если R , S ⊆ X и замкнутая выпуклая оболочка одного из множеств S или R компактна, то cl (co ( R )) + cl (co ( S )) = cl (co ( R + S )) . ^[4]
• Если R , S ⊆ X имеют замкнутую выпуклую оболочку, которая компактна ( т. Е. Cl (co ( R )) и cl (co ( S )) компактны), то cl (co ( R ∪ S )) = co [cl ( co ( R )) ∪ cl (co ( S ))] .

Корпуса и компактность

• В общем TVS замкнутая выпуклая оболочка компакта может не быть компактной.
• Уравновешенная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) множества обладает тем же свойством. ^[4]
• Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова компактна и выпукла. ^[4]

Другие свойства [ править ]

Скудный, нигде не плотный, и Бэр

• Диск в ТВС не является нигде не плотным тогда и только тогда , когда его замыкание есть окрестность начала координат. ^[7]
• Векторное подпространство ТВП, которое закрыто, но не открыто, нигде не плотно . ^[7]
• Предположим, что X - TVS, не несущая недискретной топологии . Тогда X - пространство Бэра тогда и только тогда, когда X не имеет сбалансированного поглощающего нигде не плотного подмножества. ^[7]
• TVS X является пространством Бэра тогда и только тогда, когда X не является ограниченным , что происходит тогда и только тогда, когда не существует нигде не плотного множества D такого, что X =∪n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ nD . ^[7]
  • Каждый нетощее локально выпуклое TVS является бочечным пространством . ^[7]

Важные алгебраические факты и распространенные заблуждения

• Если S ⊆ X, то 2 S ⊆ S + S ; если S выпуклая, то равенство выполняется.
  • Для примера, где равенство не выполняется, пусть x будет отличным от нуля и положим S = {- x , x } ; S = { x , 2 x } также работает.
• Подмножество C выпукло тогда и только тогда, когда ( s + t ) C = sC + tC для всех положительных вещественных s и t . ^[40]
• Дисковая оболочка множества S ⊆ X равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки S (то есть co (bal ( S )) ).
  • Однако в общем случае co (bal ( S )) ≠ bal (co ( S )) .
• Если R , S ⊆ X и является скаляром , то со ( R + S ) = со R + со С и со ( AS ) = а совместное S . ^[4]
• Если R , S ⊆ X - выпуклые непустые непересекающиеся множества и x ∉ R ∪ S , то S ∩ co ( R ∪ { x }) = ∅ или R ∩ co ( S ∪ { x }) = ∅ .
• В любом нетривиальной векторном пространстве X , существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножеств, объединение которых X .

Прочие свойства

• Каждая TVS топология может быть порождена семьей из F -seminorms. ^[41]

Свойства сохраняются операторами набора [ править ]

• Уравновешенная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного и открытого) множества обладает тем же свойством. ^[4]
• Сумма (Минковского) двух компактных (соответственно ограниченных, сбалансированных, выпуклых) множеств обладает тем же свойством. ^[4] Но сумма двух замкнутых множеств не должна быть замкнутой.
• Выпуклая оболочка сбалансированного (соответственно открытого) множества сбалансирована (соответственно открыта). Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не должна быть замкнутой. ^[4] И выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно должна быть ограниченной.

В следующей таблице цвет каждой ячейки указывает, сохраняется ли данное свойство подмножеств X (обозначенное именем столбца, например, «выпуклый») под оператором набора (указанным именем строки, например, «закрытие»). Если в каждой TVS свойство сохраняется под указанным оператором множества, тогда эта ячейка будет окрашена в зеленый цвет; в противном случае он будет окрашен в красный цвет.

Так, например, поскольку объединение двух поглощающих наборов снова является поглощающим, ячейка в строке « R ∪ S » и столбце «Поглощение» окрашена в зеленый цвет. Но поскольку произвольное пересечение поглощающих множеств не обязательно должно быть поглощающим, ячейка в строке «Произвольные пересечения (не менее 1 набора)» и столбце «Поглощающие» окрашена в красный цвет. Если ячейка не окрашена, то эта информация еще не заполнена.

См. Также [ править ]

• Банахово пространство  - полное нормированное векторное пространство
• Гильбертово пространство  - математическое обобщение до бесконечности понятия евклидова пространства
• Нормированное пространство
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Топологическая группа  - группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Векторное пространство  - Базовая алгебраическая структура линейной алгебры

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). Введение в локально выпуклые индуктивные пределы . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek. С. 35–133. Руководство по ремонту  0046004 . Проверено 20 сентября 2020 года .
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика . 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряд Аддисона-Уэсли по математике. 1 . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-642-64990-5.
• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Робертсон, AP; Робертсон, WJ (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. 53 . Издательство Кембриджского университета .
• Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вальдивия, Мануэль (1982). Начбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . 67 . Амстердам Нью-Йорк, Нью-Йорк: научный паб Elsevier . Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC  316568534 .
• Войт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с топологическими векторными пространствами на Викискладе?