Соболевское пространство

В математике , А пространство Соболева является векторное пространство функций оснащен нормой , которая является комбинацией L ^р -нормы функции вместе со своими производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле, чтобы сделать пространство полным , т. Е. Банаховым пространством . Интуитивно пространство Соболева - это пространство функций, обладающих достаточным количеством производных для некоторой области применения, например уравнений в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Пространства Соболева названы в честь русского математика Сергея Соболева . Их важность проистекает из того факта, что слабые решения некоторых важных дифференциальных уравнений в частных производных существуют в подходящих пространствах Соболева, даже если нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными, понимаемыми в классическом смысле.

Мотивация [ править ]

В этом разделе и на протяжении всей статьи является открытым подмножеством из${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Есть много критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть преемственность . Более сильное понятие гладкости - это дифференцируемость (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильное понятие гладкости состоит в том, что производная также является непрерывной (эти функции называются классическими - см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство (или${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{2}}$и т. д.) было не совсем подходящим местом для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств, в которых можно искать решения уравнений в частных производных.

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются в терминах интегральных норм, а не единой нормы . Типичный пример - измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью -нормы. Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования функций пространства Лебега .${\displaystyle L^{2}}$

Формула интегрирования по частям дает, что для каждого , где - натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,}$

где - мультииндекс порядка, и мы используем обозначение:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |=k}$

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предполагаем, что она локально интегрируема . Если существует локально интегрируемая функция такая, что${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }v\,\varphi \;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

то мы называем на слабом ие частные производные от . Если существует слабая -я частная производная от , то она определяется почти всюду однозначно и, таким образом, однозначно определяется как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если , то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если - слабая -я частная производная от , мы можем обозначать ее через .${\displaystyle v}$ α {\displaystyle \alpha } ${\displaystyle u}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u}$${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u}$${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$

Например, функция

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

не непрерывна в нуле и не дифференцируема в -1, 0 или 1. Однако функция

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

удовлетворяет определению как слабая производная, которая затем квалифицируется как находящаяся в пространстве Соболева (для любых разрешенных см. определение ниже).${\displaystyle u(x),}$${\displaystyle W^{1,p}}$${\displaystyle p}$

Пространства Соболева объединяют понятия слабой дифференцируемости и норм Лебега .${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

Соболевские пространства с целым числом k [ править ]

Одномерный случай [ править ]

В одномерном случае пространство Соболева для определяется как подмножество функций в таких, что и его слабые производные до порядка имеют конечную норму L p . Как упоминалось выше, необходимо проявлять осторожность при определении производных в правильном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что -я производная дифференцируема почти всюду и почти всюду равна интегралу Лебега от своей производной (это исключает нерелевантные примеры, такие как функция Кантора ).${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle f}$ L p ( R ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k{-}1)}$${\displaystyle f^{(k-1)}}$

При таком определении пространства Соболева допускают естественную норму :

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Это можно распространить на случай , при этом норма определяется с помощью существенной супремума формулой${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Оборудованный нормой становится банаховым пространством . Оказывается, достаточно взять только первое и последнее в последовательности, т. Е. Норму, определяемую${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

эквивалентно указанной выше норме (т. е. индуцированные топологии норм одинаковы).

Случай p = 2 [ править ]

Пространства Соболева с p = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

Пространство можно естественным образом определить в терминах ряда Фурье , коэффициенты которого убывают достаточно быстро, а именно:${\displaystyle H^{k}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty \right\}}$

где - ряд Фурье и обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на in .

Кроме того, пространство допускает внутренний продукт , как и пространство. Фактически, внутренний продукт определяется в терминах внутреннего продукта:${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

Пространство становится гильбертовым пространством с этим внутренним продуктом.${\displaystyle H^{k}}$

Другие примеры [ править ]

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, это пространство абсолютно непрерывных функций на (0, 1) (или , точнее, классы эквивалентности функций, равных почти везде такие), в то время как это пространство функций Липшица на I , для каждого интервала I . Однако эти свойства потеряны или не так просты для функций более чем одной переменной.${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$

Все пространства являются (нормированной) алгеброй , то есть произведение двух элементов еще раз функция этого пространства Соболева, которая не относится к (например, функции ведут себя как | х | ^-1/3 в начале координат в но произведения двух таких функций нет в ).${\displaystyle W^{k,\infty }}$${\displaystyle p<\infty .}$${\displaystyle L^{2},}$${\displaystyle L^{2}}$

Многомерный случай [ править ]

Переход к множественным измерениям приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование быть интегралом от не является обобщением, и самое простое решение - рассматривать производные в смысле теории распределения .${\displaystyle f^{(k-1)}}$${\displaystyle f^{(k)}}$

Теперь следует формальное определение. Пусть пространство Соболева определяется как множество всех функций на таких, что для каждого мультииндекса со смешанной частной производной${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

существует в слабом смысле и находится в ie${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

То есть пространство Соболева определяется как${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

Натуральное число называется порядком пространства Соболева${\displaystyle k}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Существует несколько вариантов нормы для следующих двух норм являются общими и эквивалентными в смысле эквивалентности норм :${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

Относительно любой из этих норм - банахово пространство. Ибо - это тоже отделимое пространство . Обычно обозначают через, поскольку это гильбертово пространство с нормой . ^[1]${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$

Аппроксимация гладкими функциями [ править ]

Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерса и Серрина функция может быть приближена гладкими функциями . Этот факт часто позволяет нам переводить свойства гладких функций в функции Соболева. Если конечно и открыто, то для любой аппроксимирующей последовательности функций существует такая, что:${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

Если имеет липшицеву границу , мы можем даже предполагать, что это ограничение гладких функций с компактным носителем на всех из ^[2]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Примеры [ править ]

В более высоких измерениях уже неверно, например, что он содержит только непрерывные функции. Например, где находится единичный шар в трех измерениях. При k > n / p пространство будет содержать только непрерывные функции, но для которых k это уже верно, зависит как от p, так и от размерности. Например, как легко проверить, используя сферические полярные координаты для функции, определенной на n- мерном шаре, мы имеем:${\displaystyle W^{1,1}}$${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

Интуитивно понятно, что раздутие f при 0 «считается меньшим», когда n велико, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.

Абсолютно непрерывная по линиям (ACL) характеристика соболевских функций [ править ]

Пусть если функция находится внутри, то, возможно, после изменения функции на множестве нулевой меры, ограничение на почти каждую линию, параллельную координатным направлениям в, является абсолютно непрерывным ; более того, классическая производная вдоль линий, которые параллельны координатных направлений в Наоборот, если ограничение на почти каждую линию , параллельные координатных направления абсолютно непрерывно, то градиент точечно существует почти всюду , и в предусмотренном In в частности, в этом случае слабые частные производные и поточечные частные производные${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$согласен почти везде. ACL-характеризация пространств Соболева была установлена Отто М. Никодимом ( 1933 ); см. ( Мазья 1985 , §1.1.3) . harv error: no target: CITEREFMaz'ya1985 (help)

Более сильный результат имеет место, когда функция в после модификации на множестве нулевой меры является непрерывной по Гёльдеру экспоненты по неравенству Морри . В частности, если функция липшицева .${\displaystyle p>n.}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$${\displaystyle p=\infty ,}$

Функции, исчезающие на границе [ править ]

Пространство Соболева также обозначается как Это гильбертово пространство с важным подпространством, определяемым как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в в . Норма Соболева, определенная выше, здесь сводится к${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

Когда имеет регулярную границу, может быть описано как пространство функций, которые обращаются в нуль на границе в смысле следов ( см. Ниже ). Когда если - ограниченный интервал, то состоит из непрерывных функций на вида${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle \Omega =(a,b)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

где обобщенная производная равна нулю и имеет интеграл 0, так что${\displaystyle f'}$${\displaystyle L^{2}(a,b)}$${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

Когда ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует такая константа , что:${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C=C(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Когда ограничена, впрыскивание из к является компактным . Этот факт играет важную роль в изучении задачи Дирихле , а в том , что существует ортонормированный базис в состоящий из собственных векторов оператора Лапласа (с граничными условиями Дирихле ).${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Следы [ править ]

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Важно учитывать граничные значения соболевских функций. Если эти граничные значения описываются ограничением . Однако неясно, как описывать значения на границе для , поскольку n- мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема ^[2] решает проблему:${\displaystyle u\in C(\Omega )}$${\displaystyle u|_{\partial \Omega }}$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$

Теорема о следе. Предположим, что Ω ограничена с липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор такой, что${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}}$

Ту называется следом u . Грубо говоря, эта теорема распространяет оператор ограничения на пространство Соболева для корректного Ω. Отметим, что оператор следа T, вообще говоря, не сюръективен, но при 1 < p <∞ он непрерывно отображается на пространство Соболева-Слободецкого${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

Интуитивно понятно, что взятие трассировки стоит 1 / p производной. Функции u из W ^{1, p} (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu  = 0, можно охарактеризовать равенством

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

куда

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

Другими словами, для Ω, ограниченной с липшицевой границей, функции с нулевым следом в in могут быть аппроксимированы гладкими функциями с компактным носителем.${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Соболевские пространства с нецелым k [ править ]

Потенциальные пространства Бесселя [ править ]

Для натурального числа k и 1 < p <∞ можно показать (используя множители Фурье ^{[3] [4]} ), что пространство может быть эквивалентно определено как${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[(1+|\xi |^{2})^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\},}$

с нормой

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}\left[\left(1+|\xi |^{2}\right)^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым действительным числом s . Полученные пространства

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[\left(1+|\xi |^{2}\right)^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

называются потенциальными пространствами Бесселя ^[5] (названы в честь Фридриха Бесселя ). Это банаховы пространства в общем и гильбертовы пространства в частном случае p = 2.

For - множество ограничений функций из в Ω, снабженное нормой${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}}$.

Снова H ^{s, p} (Ω) - банахово пространство, а в случае p = 2 - гильбертово пространство.

Используя теоремы о расширении для пространств Соболева, можно показать, что W ^{k, p} (Ω) = H ^{k, p} (Ω) также выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω - область с равномерной C ^k- границей, k - естественная число и 1 <p <∞ . По вложениям

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

потенциальные пространства Бесселя образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя возникают как комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т. е. в смысле эквивалентных норм выполняется${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

куда:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Пространства Соболева – Слободецкого [ править ]

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка основан на идее обобщения условия Гёльдера на L ^p -множество. ^[6] Для получения и полнормы Slobodeckij (примерно аналогично полунорме гёльдерового) определяются${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Пусть s > 0 не целое и положено . Используя ту же идею, что и для пространств гёльдеровых , то Соболев-Slobodeckij пространство ^[7] , определяется как${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Это банахово пространство для нормы

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Если является подходящим образом регулярным в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то также пространства Соболева – Слободецкого образуют шкалу банаховых пространств, т. Е. Имеют непрерывные инъекции или вложения${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Существуют примеры нерегулярной Ω такой, что не является даже векторным подпространством для 0 < s <1. ^{[ необходима цитата ]} ((см. Пример 9.1 в путеводителе автостопом.))${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

С абстрактной точки зрения эти пространства совпадают с вещественными интерполяционными пространствами соболевских пространств, т.е. в смысле эквивалентных норм имеет место следующее:${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor }$.

Пространства Соболева – Слободецкого играют важную роль в изучении следов соболевских функций. Это частные случаи пространств Бесова . ^[4]

Операторы расширения [ править ]

Если это область , граница которой ведет себя не слишком плохо (например, если ее граница является многообразием или удовлетворяет более разрешающему « условию конуса »), то существует оператор A, отображающий функции от на такие функции , что:${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в и${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$непрерывна для любых 1 ≤ p ≤ ∞ и целого k .

Такой оператор A назовем оператором расширения для${\displaystyle \Omega .}$

Случай p = 2 [ править ]

Операторы расширения - наиболее естественный способ определения для нецелых s (мы не можем работать напрямую, поскольку преобразование Фурье является глобальной операцией). Мы определяем , говоря, что тогда и только тогда , когда Эквивалентно, сложная интерполяция дает те же пробелы, пока есть оператор расширения. Если нет оператора расширения, сложная интерполяция - единственный способ получить пробелы.${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

В результате интерполяционное неравенство сохраняется.

Продление на ноль [ править ]

Как и выше , мы определяем замыкание в пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Учитывая определение следа, приведенное выше, мы можем сформулировать следующее:${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Теорема. Пусть равномерно C ^м регулярные, м ≥ сек и пусть P линейное отображение , переводящее U в к${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

${\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}$

где d / dn - производная, нормальная к G , а k - наибольшее целое число, меньшее s . Тогда именно ядро Р .${\displaystyle H_{0}^{s}}$

Если мы можем определить его продолжение нулем естественным образом, а именно${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Теорема. Пусть Карта является непрерывной в том и только в том случае, если s не имеет формы для целого числа n .${\displaystyle s>{\tfrac {1}{2}}.}$${\displaystyle u\mapsto {\tilde {u}}}$${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}}}$

Для f  ∈  L ^p (Ω) его продолжение нулем

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

является элементом Кроме того,${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

В случае пространства Соболева W ^{1, p} (Ω) для 1 ≤ p ≤ ∞ продолжение функции u нулем не обязательно даст элемент из But, если Ω ограничено липшицевой границей (например, ∂Ω - это C ¹ ) , то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т. е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор ^[2]${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

такая, что для каждого п.в. на Ω Eu имеет компактный носитель внутри O, и существует постоянная C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая что${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Мы называем Eu продолжением u до${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Соболевские вложения [ править ]

Возникает естественный вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточно много слабых производных (т. Е. Больших k ) приводят к классической производной. Эта идея обобщается и уточняется в теореме вложения Соболева .

Напишите для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом и 1 ≤  p  ≤ ∞. (При p  = ∞ пространство Соболева определяется как пространство Гельдера C ^{n , α,} где k  =  n  + α и 0 <α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если и тогда${\displaystyle W^{k,p}}$${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

и вложение непрерывно. Более того, если и тогда вложение вполне непрерывно (это иногда называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха-Кондрахова ). Функции в имеют все производные порядка меньше m непрерывными, поэтому, в частности, это дает условия на пространства Соболева для непрерывности различных производных. Неформально эти вложения говорят, что преобразование оценки L ^{p в} оценку ограниченности стоит 1 / p производных на измерение.${\displaystyle k>m}$${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$${\displaystyle W^{m,\infty }}$

Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, например ( Stein 1970 ). Некомпактные вложения Соболева часто обладают родственным, но более слабым свойством кокомпактности .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамс, Роберт А .; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Соболевские пространства . Чистая и прикладная математика. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-044143-3..
• Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ на многообразиях. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 252 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5734-9 , ISBN 978-0-387-90704-8, MR  0681859.
• Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223 , Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN 978-7-5062-6011-4, Руководство по ремонту  0482275 , Zbl  0344.46071
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения с частными производными . Аспирантура по математике . 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• Леони, Джованни (2009). Первый курс в пространствах Соболева . Аспирантура по математике . 105 . Американское математическое общество. С. xvi + 607. ISBN 978-0-8218-4768-8. Руководство по ремонту  2527916 . Zbl  1180.46001 .
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , ряды Спрингера в советской математике, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xix + 486, doi : 10.1007 / 978-3-662-09922-3 , ISBN 0-387-13589-8, Руководство по ремонту  0817985 , Zbl  0692.46023
• Мазья Владимир Григорьевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. Xx + 481, ISBN 981-02-2767-1, Руководство по ремонту  1643072 , Zbl  0918.46033.
• Мазья, Владимир Г. (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям с частными производными , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. Xxviii + 866, doi : 10.1007 / 978-3-642-15564 -2 , ISBN 978-3-642-15563-5, Руководство по ремонту  2777530 , Zbl  1217.46002.
• Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах , Базель: Birkhäuser Verlag.
• Никодим, Отто (1933), "Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet" , Fund. Математика. , 21 : 129-150, DOI : 10,4064 / FM-21-1-129-150.
• Никольский С.М. (2001) [1994], "Теоремы вложения" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Никольский С.М. (2001) [1994], "Пространство Соболева" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Соболев, С.Л. (1963), "Об одной теореме функционального анализа", Пер. Амер. Математика. Soc. , Американского математического общества Перевод: Серия 2, 34 (2): 39-68, DOI : 10,1090 / trans2 / 034/02 , ISBN 9780821817346; перевод мат. Сб., 4 (1938) с. 471–497.
• Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике // Амер. Математика. Soc..
• Стейн Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN 0-691-08079-8.
• Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы , Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт.
• Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции , Graduate Texts in Mathematics, 120 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1015-3 , hdl : 10338.dmlcz / 143849 , ISBN 978-0-387-97017-2, Руководство по ремонту  1014685.

Внешние ссылки [ править ]

• Элеонора Ди Незза, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».