Слабое решение

В математике , А слабый раствор (называемый также обобщенное решением ) к обычному или дифференциальному уравнению в частных является функцией , для которой производные могут не все , существует , но , тем не менее , который считается удовлетворяет уравнение в некотором точно определенном смысле. Существует множество различных определений слабого решения, подходящих для разных классов уравнений. Один из самых важных основан на понятии распределений .

Избегая языка распределений, мы начинаем с дифференциального уравнения и переписываем его таким образом, чтобы не отображались производные от решения уравнения (новая форма называется слабой формулировкой , а ее решения - слабыми решениями ) . Несколько удивительно, дифференциальное уравнение может иметь решения , которые не дифференцируемы ; а слабая формулировка позволяет находить такие решения.

Слабые решения важны, потому что очень многие дифференциальные уравнения, встречающиеся при моделировании реальных явлений, не допускают достаточно гладких решений, и единственный способ решения таких уравнений - использовать слабую формулировку. Даже в ситуациях, когда уравнение действительно имеет дифференцируемые решения, часто бывает удобно сначала доказать существование слабых решений, а уже потом показать, что эти решения на самом деле достаточно гладкие.

Конкретный пример [ править ]

В качестве иллюстрации концепции рассмотрим волновое уравнение первого порядка :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0 \ quad \ quad (1)}$

где u = u ( t , x ) - функция двух действительных переменных. Для того, чтобы косвенно исследовать свойства возможного решения ˙U , интегрировании ее против произвольной гладкой функции от финитных , известный как тест - функции, принимая ${\ Displaystyle \ varphi \, \!}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t, x) \, \ varphi (t, x) \, dx \, dt }$

Например, если это гладкое распределение вероятностей, сосредоточенное около точки , интеграл будет приближенным . Обратите внимание, что, хотя интегралы идут от к , они по существу находятся над конечным ящиком, где не равно нулю. ${\ displaystyle \ varphi \!}$${\ Displaystyle (т, х) = (т _ {\ circ}, x _ {\ circ})}$${\ Displaystyle и (т _ {\ circ}, х _ {\ circ})}$${\ displaystyle - \ infty \, \!}$${\ displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle \ varphi \, \!}$

Таким образом, предположим , решение у является непрерывно дифференцируемой на евклидовом пространстве R ² , умножить уравнение (1) с помощью тест - функции (гладкая финитной), и интегрировать:${\ Displaystyle \ varphi \, \!}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

Используя теорему Фубини, которая позволяет менять порядок интегрирования, а также интегрирование по частям (по t для первого члена и по x для второго члена), это уравнение принимает следующий вид:

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.\quad \quad (2)}$

(Граничные члены обращаются в нуль, поскольку он равен нулю вне конечного блока.) Мы показали, что уравнение (1) влечет уравнение (2), если u непрерывно дифференцируемо. ${\displaystyle \varphi \,\!}$

Ключ к концепции слабого решения состоит в том, что существуют функции u, которые удовлетворяют уравнению (2) для любого , но такие u могут не быть дифференцируемыми и, следовательно, не могут удовлетворять уравнению (1). Пример: u ( t , x ) = | t - x |, что можно проверить, разделив интегралы по областям x ≥ t и x ≤ t, где u является гладким , и изменив приведенное выше вычисление на противоположное, используя интегрирование по частям. Слабое решение уравнения (1) означает , что любое решение U${\displaystyle \varphi \,\!}$уравнения (2) по всем тестовым функциям .${\displaystyle \varphi \,\!}$

Общий случай [ править ]

Общая идея, которая следует из этого примера, состоит в том, что, решая дифференциальное уравнение относительно u , можно переписать его, используя тестовую функцию , так что какие бы производные от u ни появлялись в уравнении, они «переносились» посредством интегрирования по частям в , что приводит к уравнению без производных от u . Это новое уравнение обобщает исходное уравнение, чтобы включить решения, которые не обязательно дифференцируемы.${\displaystyle \varphi \,\!}$${\displaystyle \varphi \,\!}$

Проиллюстрированный выше подход работает в большинстве случаев. Действительно, рассмотрим линейный дифференциальный оператор в открытом множестве W в R ^n:

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),}$

где мультииндекс ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) изменяется на некотором конечном множестве в N ^n, а коэффициенты являются достаточно гладкими функциями x в R ⁿ .${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}$

Дифференциальное уравнение P ( x , ∂) u ( x ) = 0 после умножения на гладкую пробную функцию с компактным носителем в W и интегрирования по частям можно записать как${\displaystyle \varphi \,\!}$

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

где дифференциальный оператор Q ( x , ∂) задается формулой

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$

Номер

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$

показываю вверх , потому что нужно & alpha ; ₁ + α ₂ + ... + α _п интегрирования по частям , чтобы перевести все частные производные от функции и к в каждом члене дифференциального уравнения, и каждое интегрирование по частям влечет за собой умножение на -1.${\displaystyle \varphi \,\!}$

Дифференциальный оператор Q ( x , ∂) является формальным сопряженным к P ( x , ∂) (ср. Сопряженным оператором ).

Таким образом, если исходная (сильная) проблема заключалась в том, чтобы найти | α | -кратно дифференцируемая функция u, определенная на открытом множестве W такая, что

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W}$

(так называемое сильное решение ), то интегрируемая функция u будет называться слабым решением, если

${\displaystyle \int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

для любой гладкой функции с компактным носителем в W .${\displaystyle \varphi \,\!}$

Другие виды слабых решений [ править ]

Понятие слабого решения, основанного на распределениях, иногда бывает неадекватным. В случае гиперболических систем понятие слабого решения, основанного на распределениях, не гарантирует единственности, и его необходимо дополнить энтропийными условиями или каким-либо другим критерием выбора. В полностью нелинейных УЧП, таких как уравнение Гамильтона – Якоби , есть совсем другое определение слабого решения, называемого вязкостным решением .

Ссылки [ править ]

• Эванс, LC (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.