Гиперболическое уравнение в частных производных

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А гиперболические уравнения порядка является парциальное дифференциальное уравнение (ФДЭ) , что, грубо говоря, имеет корректную начальную задачу для первых производных. Точнее, задача Коши может быть решена локально для произвольных начальных данных вдоль любой нехарактерной гиперповерхности . Многие уравнения механики являются гиперболическими, поэтому изучение гиперболических уравнений представляет значительный интерес для современников. Модельное гиперболическое уравнение - это волновое уравнение . В одном пространственном измерении это${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2 }}}}$

Уравнение обладает тем свойством, что если u и его первая производная по времени являются произвольно заданными начальными данными на прямой t = 0 (с достаточными свойствами гладкости), то существует решение для всего времени t .

Решения гиперболических уравнений «волнообразны». Если в исходные данные гиперболического дифференциального уравнения вносится возмущение, то не каждая точка пространства сразу ощущает возмущение. Относительно фиксированной координаты времени возмущения имеют конечную скорость распространения . Они перемещаются по характеристикам уравнения. Эта особенность качественно отличает гиперболические уравнения от эллиптических уравнений в частных производных и параболических уравнений в частных производных . Возмущение начальных (или граничных) данных эллиптического или параболического уравнения ощущается сразу практически во всех точках области.

Хотя определение гиперболичности в основном является качественным, существуют точные критерии, которые зависят от конкретного вида рассматриваемого дифференциального уравнения. Существует хорошо развитая теория линейных дифференциальных операторов , в связи с Ларсом Гордингом , в контексте микролокального анализа . Нелинейные дифференциальные уравнения являются гиперболическими, если их линеаризации гиперболичны по Гордингу. Для систем уравнений первого порядка, исходящих из систем законов сохранения, существует несколько иная теория .

Определение

Уравнение в частных производных является гиперболическим в точке при условии, что задача Коши однозначно разрешима в окрестности для любых начальных данных, заданных на нехарактерной гиперповерхности, через которую проходит . ^[1] Здесь заданные начальные данные состоят из всех (поперечных) производных функции на поверхности до единицы меньше порядка дифференциального уравнения.${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

Примеры

Линейной заменой переменных любое уравнение вида

${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$

с участием

${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

может быть преобразовано в волновое уравнение , за исключением членов более низкого порядка, которые не являются существенными для качественного понимания уравнения. ^{[2] : 400} Это определение аналогично определению плоской гиперболы .

Одномерное волновое уравнение :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

является примером гиперболического уравнения. Двумерные и трехмерные волновые уравнения также попадают в категорию гиперболических уравнений в частных производных. Этот тип гиперболического уравнения в частных производных второго порядка может быть преобразован в гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка. ^{[2] : 402}

Гиперболическая система дифференциальных уравнений в частных производных

Ниже представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для неизвестных функций , , где :${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0,}$

( * )

где - некогда непрерывно дифференцируемые функции, вообще говоря , нелинейные .${\displaystyle {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$

Затем для каждого определим матрицу Якоби${\displaystyle {\vec {f^{j}}}}$${\displaystyle s\times s}$

${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$

Система ( ∗ ) является гиперболической, если для всех матрица имеет только действительные собственные значения и диагонализуема .${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Если матрица имеет s различных действительных собственных значений, значит, она диагонализуема. В этом случае система ( ∗ ) называется строго гиперболической .${\displaystyle A}$

Если матрица симметрична, значит, она диагонализуема и собственные значения действительны. В этом случае система ( ∗ ) называется симметричной гиперболической .${\displaystyle A}$

Гиперболическая система и законы сохранения

Есть связь между гиперболической системой и законом сохранения . Рассмотрим гиперболическую систему одного уравнения в частных производных для одной неизвестной функции . Тогда система ( ∗ ) имеет вид${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}$

( ∗∗ )

Здесь, можно интерпретировать как величину, которая перемещается в соответствии с потоком, задаваемым . Чтобы убедиться, что величина сохраняется, проинтегрируем ( ∗∗ ) по области${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$

Если и - достаточно гладкие функции, мы можем использовать теорему о расходимости и изменить порядок интегрирования и получить закон сохранения для величины в общем виде${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}}$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$

что означает, что скорость изменения во времени в области равна чистому потоку через ее границу . Поскольку это равенство, можно сделать вывод, что сохраняется внутри .${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

Смотрите также

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гипоэллиптический оператор
• Параболическое уравнение в частных производных

использованная литература

дальнейшее чтение

• А.Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 

внешние ссылки

• "Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.