В математике , то метод характеристик представляет собой метод для решения дифференциальных уравнений . Обычно он применяется к уравнениям первого порядка , хотя в более общем плане метод характеристик применим для любого гиперболического уравнения в частных производных . Метод состоит в том, чтобы свести уравнение в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений, по которым решение может быть интегрировано из некоторых начальных данных, заданных на подходящей гиперповерхности .
СОДЕРЖАНИЕ
1 Характеристики дифференциального уравнения в частных производных первого порядка
1.1 Линейный и квазилинейный случаи
1.1.1 Доказательство для квазилинейного случая
1.2 Полностью нелинейный случай
2 Пример
3 Характеристики линейных дифференциальных операторов
4 Качественный анализ характеристик
5 См. Также
6 Примечания
7 ссылки
8 Внешние ссылки
Характеристики дифференциального уравнения в частных производных первого порядка [ править ]
Для PDE первого порядка ( уравнения в частных производных ) метод характеристик обнаруживает кривые (называемые характеристическими кривыми или просто характеристиками), вдоль которых PDE становится обыкновенным дифференциальным уравнением (ODE). Как только ОДУ найдено, его можно решить по характеристическим кривым и преобразовать в решение для исходного УЧП.
Для простоты мы пока ограничимся случаем функции двух независимых переменных x и y . Рассмотрим квазилинейное уравнение в частных производных[1] формы
( 1 )
Предположим, что решение z известно, и рассмотрим поверхностный граф z = z ( x , y ) в R 3 . Вектор нормали к этой поверхности задается
В результате [2] уравнение ( 1 ) эквивалентно геометрическому утверждению, что векторное поле
касается поверхности z = z ( x , y ) в каждой точке, так как скалярное произведение этого векторного поля с указанным выше вектором нормали равно нулю. Другими словами, график решения должен быть объединением интегральных кривых этого векторного поля. Эти интегральные кривые называются характеристическими кривыми исходного уравнения в частных производных и задаются уравнениями Лагранжа – Шарпита [3]
Параметризационно-инвариантная форма уравнений Лагранжа – Чарпита [3] :
Линейные и квазилинейные случаи [ править ]
Рассмотрим теперь PDE вида
Для того чтобы это УЧП было линейным , коэффициенты a i могут быть функциями только пространственных переменных и не зависеть от u . Чтобы он был квазилинейным, [1] a i может также зависеть от значения функции, но не от каких-либо производных. Различие между этими двумя случаями несущественно для обсуждения здесь.
Для линейного или квазилинейного УЧП характеристические кривые задаются параметрически как
такая, что выполняется следующая система ОДУ
( 2 )
( 3 )
Уравнения ( 2 ) и ( 3 ) дают характеристики PDE.
Доказательство для квазилинейного случая [ править ]
В квазилинейном случае использование метода характеристик оправдано неравенством Гренвалла . Вышеприведенное уравнение можно записать как
Мы должны различать решения ОДУ и решения УЧП, которые, как мы не знаем, равны априори. Принимая заглавные буквы в качестве решений ОДУ, мы находим
Рассматривая , мы обнаруживаем, дифференцируя, что
который совпадает с
Мы не можем заключить выше 0 , как хотелось бы, поскольку PDE только гарантирует нам , что эта связь выполняется для , и мы еще не знаем , что .
Однако мы видим, что
поскольку в PDE последний член равен 0. Это равно
По неравенству треугольника имеем
По крайней мере , при условии , что мы можем ограничить это на небольшое время. Выберем окрестность вокруг достаточно малым, чтобы являются локально Липшица . По преемственности останется в достаточно малом . Так как у нас также есть это будет достаточно мало по преемственности. Итак, и для . Кроме того, для некоторых за компактностью. Отсюда мы находим, что указанное выше ограничено как
для некоторых . Это непосредственное применение неравенства Гронуолла , чтобы показать , что , поскольку мы так долго , как это имеет место неравенство. У нас есть такой интервал , что в этом интервале. Выберите самый крупный , чтобы это было правдой. Тогда по преемственности . При условии, что ODE все еще имеет решение через некоторый интервал после этого , мы можем повторить приведенный выше аргумент, чтобы найти его в большем интервале. Таким образом, пока у ODE есть решение, оно есть у нас .
Полностью нелинейный случай [ править ]
Рассмотрим уравнение в частных производных
( 4 )
где переменные p i являются сокращением частных производных
Пусть ( x i ( s ), u ( s ), p i ( s )) кривая в R 2n + 1 . Предположим, что u - любое решение и что
Вдоль решения дифференцирование ( 4 ) по s дает
Второе уравнение следует из применения цепного правила к решению u , а третье следует из взятия внешней производной отношения . Манипулирование этими уравнениями дает
где λ - постоянная. Записывая эти уравнения более симметрично, получаем уравнения Лагранжа – Шарпита для характеристики
Геометрически метод характеристик в полностью нелинейном случае можно интерпретировать как требование, чтобы конус Монжа дифференциального уравнения всюду касался графика решения.
Педагогический способ вывода уравнений Лагранжа – Чарпита см. В главе 4 в [1] .
Пример [ править ]
В качестве примера рассмотрим уравнение переноса (этот пример предполагает знакомство с обозначением УЧП и решениями основных ОДУ).
где постоянна и является функцией и . Мы хотим преобразовать это линейное УЧП первого порядка в ОДУ вдоль соответствующей кривой; то есть что-то в форме
,
где - характеристическая линия. Сначала мы находим
по цепному правилу. Теперь, если мы установим и получим
что является левой частью PDE, с которой мы начали. Таким образом
Таким образом, по характеристической линии исходное УЧП становится ОДУ . То есть по характеристикам решение постоянно. Таким образом, где и лежат на одной характеристике. Поэтому для определения общего решения достаточно найти характеристики, решив характеристическую систему ОДУ:
, давая нам знать ,
, давая нам знать ,
, давая нам знать .
В этом случае характеристические линии являются прямыми линиями с наклоном , и значение остается постоянным вдоль любой характеристической линии.
Характеристики линейных дифференциальных операторов [ править ]
Пусть X - дифференцируемое многообразие, а P - линейный дифференциальный оператор.
порядка k . В локальной системе координат x i ,
в котором α обозначает мультииндекс . Главный символ из Р , обозначается σ P , является функцией на котангенсе расслоения Т * Х определенно в этих локальных координатах
где ξ i - координаты слоев кокасательного расслоения, индуцированные координатными дифференциалами d x i . Хотя это определяется с использованием конкретной системы координат, закон преобразования, связывающий ξ i и x i, гарантирует, что σ P является четко определенной функцией на кокасательном расслоении.
Функция σ P является однородной степенью к в переменной g. Нули сг Р , от нулевого сечения Т * X , являются характеристики P . Гиперповерхность X, определяемая уравнением F ( x ) = c , называется характеристической гиперповерхностью в точке x, если
Инвариантно, характерная гиперповерхность является гиперповерхностью, конормальным пучок находится в характерной совокупности P .
Качественный анализ характеристик [ править ]
Характеристики также являются мощным инструментом для получения качественного представления о PDE.
Можно использовать пересечения характеристик, чтобы найти ударные волны для потенциального течения в сжимаемой жидкости. Интуитивно мы можем думать о каждой характеристической линии, предполагающей решение самой себя. Таким образом, когда две характеристики пересекаются, функция становится многозначной, что приводит к нефизическому решению. Физически это противоречие устраняется образованием ударной волны, тангенциального разрыва или слабого разрыва и может привести к непотенциальному потоку, нарушающему исходные предположения.
Характеристики могут не покрывать часть домена PDE. Это называется разрежением и указывает на то, что решение обычно существует только в слабом смысле , то есть в смысле интегрального уравнения .
Направление характеристических линий указывает поток значений через решение, как показано в приведенном выше примере. Такие знания полезны при численном решении УЧП, поскольку они могут указать, какая конечно-разностная схема лучше всего подходит для задачи.
См. Также [ править ]
Метод квантовых характеристик
Заметки [ править ]
^ a b https://reference.wolfram.com/language/tutorial/DSolveLinearAndQuasiLinearFirstOrderPDEs.html
^ Джон 1991
^ a b Дельгадо 1997
Ссылки [ править ]
Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II , Wiley-Interscience
Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2
Джон, Фриц (1991), Уравнения в частных производных (4-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
Полянин А.Д .; Зайцев, В.Ф .; Муссио, А. (2002), Справочник по уравнениям с частными производными первого порядка , Лондон: Тейлор и Фрэнсис, ISBN 0-415-27267-X
Полянин, А.Д. (2002), Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых , Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Сарра, Скотт (2003), "Метод характеристик с приложениями к законам сохранения" , Журнал онлайн-математики и ее приложений.
Стритер, ВЛ; Уайли, Е.Б. (1998), Механика жидкости (Международное 9-е пересмотренное издание), Высшее образование Макгроу-Хилла.
Внешние ссылки [ править ]
Учебное пособие профессора Скотта Сарры по методу характеристик
Учебное пособие профессора Алана Гуда по методу характеристик
vтеЧисленные методы для уравнений в частных производных