| Дифференциальные уравнения |
|---|
 |
| Классификация |
| Решение |
В теории динамической системы , A фазовое пространство является пространством , в котором все возможные состояния системы представлены, с каждым возможным состояние , соответствующее одной единственной точке в фазовом пространстве. Для механических систем фазовое пространство обычно состоит из всех возможных значений переменных положения и импульса . Концепция фазового пространства была разработана в конце 19 века Людвигом Больцманом , Анри Пуанкаре и Джозией Уиллардом Гиббсом . [1]
Введение [ править ]
В фазовом пространстве каждая степень свободы или параметр системы представлена как ось многомерного пространства; Одномерная система называется фазовой линией , а двумерная система называется фазовой плоскостью . Для каждого возможного состояния системы или допустимой комбинации значений параметров системы точка включается в многомерное пространство. Состояние системы, эволюционирующее во времени, отслеживает путь ( траекторию фазового пространства для системы) через многомерное пространство. Траектория фазового пространства представляет собой набор состояний, совместимых с запуском из одного конкретного начального условия, расположенный в полном фазовом пространстве, которое представляет собой набор состояний, совместимых с запуском из любого начального условия. В целом фазовая диаграмма представляет все, чем может быть система, и ее форма может легко прояснить качества системы, которые в противном случае могли бы быть неочевидными. Фазовое пространство может содержать большое количество измерений. Например, газ, содержащий много молекул, может потребовать отдельного измерения для каждой частицы x , y и z.положения и импульсы (6 измерений для идеализированного одноатомного газа), а для более сложных молекулярных систем требуются дополнительные измерения для описания колебательных мод молекулярных связей, а также вращения вокруг трех осей. Фазовые пространства легче использовать при анализе поведения механических систем, ограниченных движением вокруг и вдоль различных осей вращения или перемещения - например, в робототехнике, например, при анализе диапазона движения манипулятора или определения оптимального пути для достижения определенного положения. / импульс результат.
Сопряженные импульсы [ править ]
В классической механике любой выбор обобщенных координат q i для положения (то есть координат в конфигурационном пространстве ) определяет сопряженные обобщенные импульсы p i, которые вместе определяют координаты в фазовом пространстве. Говоря более абстрактно, в классической механике фазовое пространство - это кокасательное расслоение конфигурационного пространства, и в этой интерпретации описанная выше процедура выражает, что выбор локальных координат на конфигурационном пространстве вызывает выбор естественных локальных координат Дарбу для стандартной симплектической структуры на кокасательном пространстве. .
Статистические ансамбли в фазовом пространстве [ править ]
Движение ансамбля систем в этом пространстве изучается классической статистической механикой . Локальная плотность точек в таких системах подчиняется теореме Лиувилля , и поэтому может считаться постоянной. В контексте модельной системы в классической механике координаты фазового пространства системы в любой момент времени состоят из всех динамических переменных системы. Благодаря этому можно вычислить состояние системы в любой момент времени в будущем или прошлом путем интегрирования уравнений движения Гамильтона или Лагранжа.
Примеры [ править ]
Низкие размеры [ править ]
Для простых систем может быть всего одна или две степени свободы. Одна степень свободы возникает, когда у кого-то есть автономное обыкновенное дифференциальное уравнение с одной переменной, в результате чего одномерная система называется фазовой линией , а качественное поведение системы сразу видно с фазовой линии. Простейшими нетривиальными примерами являются модель / спад экспоненциального роста (одно нестабильное / устойчивое равновесие) и модель логистического роста (два состояния равновесия, одно стабильное, одно нестабильное).
Фазовое пространство двумерной системы называется фазовой плоскостью , которая возникает в классической механике для одиночной частицы, движущейся в одном измерении, и где двумя переменными являются положение и скорость. В этом случае, эскиз фазового портрета может дать качественную информацию о динамике системы, например, предельного цикла в Ван - дер - Поля , показанном на диаграмме.
Здесь по горизонтальной оси указано положение, а по вертикальной оси - скорость. По мере развития системы ее состояние следует одной из линий (траекторий) на фазовой диаграмме.
Теория хаоса [ править ]
Классические примеры фазовых диаграмм из теории хаоса :
- аттрактор Лоренца
- рост населения (т.е. логистическая карта )
- плоскость параметров комплексных квадратичных многочленов с множеством Мандельброта .
Фазовый график [ править ]
График изменения положения и импульса как функции времени иногда называют фазовым графиком или фазовой диаграммой . Однако последнее выражение, « фазовая диаграмма », чаще используется в физических науках для диаграммы, показывающей различные области стабильности термодинамических фаз химической системы, которая состоит из давления , температуры и состава.
Квантовая механика [ править ]
В квантовой механике координаты p и q фазового пространства обычно становятся эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве .
Но в качестве альтернативы они могут сохранить свою классическую интерпретацию при условии, что их функции складываются новыми алгебраическими способами (через звездный продукт Гроенвольда 1946 года ). Это согласуется с принципом неопределенности квантовой механики. Каждая квантово-механическая наблюдаемая соответствует уникальной функции или распределению в фазовом пространстве, и наоборот, как указано Германом Вейлем (1927) и дополнено Джоном фон Нейманом (1931); Юджин Вигнер (1932); и, в большом синтезе, Х. Дж. Гроенвольда (1946). С Дж. Э. Мойалом (1949) они завершили основы формулировки фазового пространства.квантовой механики , полная и логически автономная переформулировка квантовой механики. [2] (Его современные абстракции включают квантование деформации и геометрическое квантование .)
Ожидаемые значения при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию операторных наблюдаемых с помощью матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получаются интегралами фазового пространства наблюдаемых, при этом квазивероятностное распределение Вигнера эффективно служит мерой.
Таким образом, путь экспрессии квантовой механики в фазовом пространстве (то же сфера , как и для классической механики), то отображение Вейля облегчает распознавание квантовой механики как деформации (обобщение) классической механики, с деформацией параметр ħ / S , где S представляет собой действие по соответствующий процесс. (Другие известные деформации в физике включают в себя деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую механику с параметром деформации v / c ; [ цитата необходима ] или деформация ньютоновской гравитации в общую теорию относительности, с параметром деформации радиус Шварцшильда / характеристический размер.) [ необходима ссылка ]
Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются с помощью ħ-зависимых квантовых поправок, поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается на некоммутативное умножение звезды, характеризующее квантовую механику и лежащее в основе ее принципа неопределенности.
Термодинамика и статистическая механика [ править ]
В контексте термодинамики и статистической механики термин фазовое пространство имеет два значения: во-первых, он используется в том же смысле, что и в классической механике. Если термодинамическая система состоит из N частиц, то точка в 6 N- мерном фазовом пространстве описывает динамическое состояние каждой частицы в этой системе, поскольку каждая частица связана с трехпозиционными переменными и тремя импульсными переменными. В этом смысле, пока частицы различимы , точка в фазовом пространстве называется микросостоянием системы. (Для неразличимых частиц микросостояние будет состоять из набора N! точек, соответствующих всем возможным обменам N частиц.) N обычно порядка числа Авогадро , поэтому описание системы на микроскопическом уровне часто непрактично. Это приводит к использованию фазового пространства в другом смысле.
Фазовое пространство также может относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. Д. Например, можно рассматривать диаграмму давление-объем или диаграммы энтропии-температуры как описывающие часть этой фазы. Космос. Соответственно, точка в этом фазовом пространстве называется макросостоянием. С одним и тем же макросостоянием легко может быть несколько микросостояний. Например, при фиксированной температуре система может иметь множество динамических конфигураций на микроскопическом уровне. При использовании в этом смысле фаза - это область фазового пространства, в которой рассматриваемая система находится, например, в жидкой фазе или твердой фазе и т. Д.
Поскольку микросостояний намного больше, чем макросостояний, фазовое пространство в первом смысле обычно представляет собой множество гораздо больших размеров, чем во втором. Ясно, что для регистрации каждой детали системы вплоть до молекулярного или атомного масштаба требуется гораздо больше параметров, чем просто указать, скажем, температуру или давление в системе.
Оптика [ править ]
Фазовое пространство широко используется в nonimaging оптики , [3] ветвь оптики посвящена освещению. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике .
Фазовый интеграл [ править ]
В классической статистической механике (непрерывные энергии) концепция фазового пространства представляет собой классический аналог статистической суммы (суммы по состояниям), известной как фазовый интеграл. [4] Вместо суммирования фактора Больцмана по дискретно разнесенным энергетическим состояниям (определяемым соответствующими целыми квантовыми числамидля каждой степени свободы) можно интегрировать по непрерывному фазовому пространству. Такое интегрирование по существу состоит из двух частей: интегрирования импульсной составляющей всех степеней свободы (импульсное пространство) и интегрирования позиционной составляющей всех степеней свободы (конфигурационное пространство). Как только фазовый интеграл известен, его можно связать с классической статистической суммой путем умножения нормировочной константы, представляющей количество состояний квантовой энергии на единицу фазового пространства. Эта нормализационная константа является просто обратной величиной постоянной Планка, возведенной в степень, равную количеству степеней свободы системы. [5]
См. Также [ править ]
- Фазовая линия , одномерный случай
- Фазовая плоскость , двумерный случай
- Фазовый портрет
- Метод фазового пространства
- Пространство параметров
- Сепаратрикс
- Приложения
- Оптическое фазовое пространство
- Пространство состояний (элементы управления) для информации о пространстве состояний (аналогично фазовому состоянию) в технике управления.
- Пространство состояний для информации о пространстве состояний с дискретными состояниями в информатике.
- Молекулярная динамика
- Математика
- Котангенсный пучок
- Динамическая система
- Симплектическое многообразие
- Преобразование Вигнера – Вейля
- Физика
- Классическая механика
- Гамильтонова механика
- Лагранжева механика
- Пространство состояний (физика) для информации о пространстве состояний в физике
- Формулировка квантовой механики в фазовом пространстве
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Nolte, DD (2010). «Запутанная сказка о фазовом пространстве» . Физика сегодня . 63 (4): 33–38. Bibcode : 2010PhT .... 63d..33N . DOI : 10.1063 / 1.3397041 . S2CID 17205307 .
- ^ Кертрайт, TL; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . DOI : 10.1142 / S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
- ^ Чавес, Хулио (2015). Введение в оптику без изображений, второе издание . CRC Press . ISBN 978-1482206739.
- ^ Laurendeau, Нормэнд М. (2005). Статистическая термодинамика: основы и приложения . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-84635-8.
- ^ Vu-Куок, L. (2008). «Интеграл конфигурации» . Архивировано из оригинального 28 апреля 2012 года.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Нолти, ДД (2015). Введение в современную динамику: хаос, сети, пространство и время . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-965703-2.
- Нолти, ДД (2018). Галилей без границ: путь через жизнь, Вселенную и все остальное . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-880584-7.
Внешние ссылки [ править ]
- "Фазовое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
