Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) представляет собой дифференциальное уравнение , содержащее одну или несколько функций одной независимой переменной и производные этих функций. ^[1] Термин « обыкновенный» используется в отличие от термина « уравнение в частных производных», которое может относиться к более чем одной независимой переменной. ^[2]

Дифференциальные уравнения [ править ]

Линейное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , которое определяется линейным полиномом в неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида

${\ displaystyle a_ {0} (x) y + a_ {1} (x) y '+ a_ {2} (x) y' '+ \ cdots + a_ {n} (x) y ^ {(n)} + b (x) = 0,}$

где , ..., и - произвольные дифференцируемые функции, которые не обязательно должны быть линейными, и являются последовательными производными неизвестной функции y от переменной x .${\ Displaystyle а_ {0} (х)}$${\ Displaystyle а_ {п} (х)}$${\ displaystyle b (x)}$${\ Displaystyle у ', \ ldots, у ^ {(п)}}$

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют важную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, которые встречаются в физике и прикладной математике, являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ). Когда физические явления моделируются нелинейными уравнениями, они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями для более простого решения. Несколько нелинейных ОДУ, которые могут быть решены явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., Например, уравнение Риккати ).

Некоторые ОДУ можно явно решить в терминах известных функций и интегралов . Когда это невозможно, может оказаться полезным уравнение для вычисления ряда Тейлора решений. Для прикладных задач численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений могут дать приближение решения.

Фон [ править ]

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики, социальных и естественных наук. Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции связаны посредством уравнений, так что дифференциальное уравнение является результатом, который описывает динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариации. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производные смещения по времени) или градиенты величин, как они входят в дифференциальные уравнения.

Конкретные области математики включают геометрию и аналитическую механику . Научные области включают в себя большую часть физики и астрономии (небесная механика), метеорологии (моделирование погоды), химии (скорости реакции), ^[3] биологии (инфекционные заболевания, генетические вариации), экологии и моделирования популяций (популяционная конкуренция), экономики (тенденции фондовых рынков , процентные ставки и изменения рыночной равновесной цены).

Многие математики изучали дифференциальные уравнения и внесли свой вклад в эту область, включая Ньютона , Лейбница , семью Бернулли , Риккати , Клеро , Даламбера и Эйлера .

Простым примером является второй закон движения Ньютона - связь между смещением x и временем t объекта под действием силы F задается дифференциальным уравнением

${\ Displaystyle м {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F (x (t)) \,}$

который ограничивает движение частицы постоянной массы m . В общем, F является функцией положения x ( t ) частицы в момент времени t . Неизвестная функция x ( t ) появляется по обе стороны дифференциального уравнения и указывается в обозначении F ( x ( t )). ^{[4] [5] [6] [7]}

Определения [ править ]

В дальнейшем, пусть у быть зависимой переменной и х к независимой переменной , а у = е ( х ) является неизвестной функцией х . Обозначения для дифференциации варьирует в зависимости от автора и от которого обозначения наиболее полезны для выполнения этой задачи под руку. В этом контексте обозначение Лейбница (dy/dx, д ² г/dx ²,…, д ^н г/dx ⁿ) более полезен для дифференцирования и интегрирования , тогда как обозначение Лагранжа ( y ′, y ′ ′,…, y ^{( n )} ) более полезно для компактного представления производных любого порядка, а обозначение Ньютона часто используется в физике для представления производных от низкий порядок по времени.${\ displaystyle ({\ dot {y}}, {\ ddot {y}}, {\ overset {...} {y}})}$

Общее определение [ править ]

Дана F , функция от x , y и производные от y . Тогда уравнение вида

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

называется явное обыкновенное дифференциальное уравнение из порядка п . ^{[8] [9]}

В более общем смысле неявное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n принимает вид ^[10]

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

Есть и другие классификации:

Автономный

Дифференциальное уравнение, не зависящее от x , называется автономным .

Линейный

Дифференциальное уравнение называется линейным, если F можно записать как линейную комбинацию производных от y :

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

где a  _i  ( x ) и r  ( x ) - непрерывные функции от x . ^{[8] [11] [12]} Функция r ( x ) называется исходным членом , что приводит к еще двум важным классификациям: ^{[11] [13]}

Однородный

Если r ( x ) = 0, и, следовательно, одно «автоматическое» решение является тривиальным решением , y = 0. Решение линейного однородного уравнения является дополнительной функцией , обозначенной здесь y _c .

Неоднородный (или неоднородный)

Если r ( x ) ≠ 0. Дополнительным решением дополнительной функции является частный интеграл , обозначенный здесь y _p .

Общее решение линейного уравнения можно записать как y = y _c + y _p .

Нелинейный

Дифференциальное уравнение, которое нельзя записать в виде линейной комбинации.

Система ODE [ править ]

Ряд связанных дифференциальных уравнений образуют систему уравнений. Если y - вектор, элементы которого являются функциями; y ( x ) = [ y ₁ ( x ), y ₂ ( x ), ..., y _m ( x )], а F - вектор-функция от y и его производных, то

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

это явная система обыкновенных дифференциальных уравнений с порядка п и размерности т . В векторной форме столбца :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

Они не обязательно линейны. Неявное аналог:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

где 0 = (0, 0, ..., 0) - нулевой вектор . В матричной форме

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

Для системы формы некоторые источники также требуют, чтобы матрица Якоби была невырожденной , чтобы называть это неявным ОДУ [системой]; неявная система ОДУ, удовлетворяющая этому условию неособенности Якоби, может быть преобразована в явную систему ОДУ. В тех же источниках неявные системы ОДУ с сингулярным якобианом называются дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Это различие не просто терминологическое; DAE имеют принципиально разные характеристики и, как правило, требуют большего решения, чем (неособые) системы ODE. ^{[14] [15] [16]} Предположительно для дополнительных производных матрица Гессе${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$и так далее, также предполагается , невырожденную по этой схеме, ^{[ править ]} , хотя отмечают , что любая ОДА порядка , большего , чем один может быть (и обычно является) переписать в виде системы ОДУ первого порядка , ^[17] , который делает Критерий якобианской сингулярности, достаточный для того, чтобы эта таксономия была исчерпывающей на всех порядках.

Поведение системы ОДУ можно визуализировать с помощью фазового портрета .

Решения [ править ]

Учитывая дифференциальное уравнение

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

функция U : Я ⊂ R → R , где I представляет собой интервал, называется решение или интегральной кривой для F , если у является п -кратного дифференцируемых на I и

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Принимая во внимание два решения у : J ⊂ R → R и v : Я ⊂ R → R , U называется расширением из V , если я ⊂ J и

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Решение, не имеющее расширения, называется максимальным решением . Решение, определенное на всем R , называется глобальным решением .

Общее решение из п уравнения го порядка представляет собой раствор , содержащий п произвольные независимые постоянные интегрирования . Частное решение является производным от общего решения путем установки констант в конкретных значений, часто выбирается для выполнения набора " начальных условий или граничных условий . ^[18] сингулярное решение является решением , которое не может быть получено путем присвоения определенных значений в произвольных постоянных в общем решении. ^[19]

В контексте линейного ОДУ терминология частного решения может также относиться к любому решению ОДУ (не обязательно удовлетворяющему начальным условиям), которое затем добавляется к однородному решению (общее решение однородного ОДУ), которое затем образует общее решение оригинального ODE. Это терминология, используемая в разделе о методах угадывания в этой статье, и часто используется при обсуждении метода неопределенных коэффициентов и вариации параметров .

Теории [ править ]

Особые решения [ править ]

Теория сингулярных решений обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных была предметом исследований еще со времен Лейбница, но только с середины XIX века ей стало уделяться особое внимание. Ценная, но малоизвестная работа по этому поводу - это работа Хаутена (1854 г.). Дарбу (с 1873 г.) был лидером в теории, и в геометрической интерпретации этих решений он открыл область, в которой работали различные писатели, особенно Казорати и Кэли . Последним обязана (1872 г.) теория сингулярных решений дифференциальных уравнений первого порядка, принятая около 1900 г.

Приведение к квадратурам [ править ]

Примитивная попытка работы с дифференциальными уравнениями имела в виду редукцию к квадратурам . Как алгебраисты восемнадцатого века надеялись найти метод решения общего уравнения n- й степени, так и аналитики надеялись найти общий метод интегрирования любого дифференциального уравнения. Однако Гаусс (1799) показал, что для сложных дифференциальных уравнений требуются комплексные числа . Таким образом, аналитики начали заменять изучение функций, открывая тем самым новое плодородное поле. Кошибыл первым, кто оценил важность этой точки зрения. После этого реальный вопрос был уже не в том, возможно ли решение с помощью известных функций или их интегралов, а в том, достаточно ли данного дифференциального уравнения для определения функции независимой переменной или переменных, и если да, то каковы характерные свойства.

Фуксова теория [ править ]

Два мемуара Фукса ^[20] вдохновили на новый подход, впоследствии разработанный Томе и Фробениусом . Колле внес значительный вклад, начиная с 1869 года. Его метод интегрирования нелинейной системы был передан Бертрану в 1868 году. Клебш (1873) атаковал теорию в направлении, параллельном его теории абелевых интегралов . Поскольку последние могут быть классифицированы в соответствии со свойствами фундаментальной кривой, которая остается неизменной при рациональном преобразовании, Клебш предложил классифицировать трансцендентные функции, определяемые дифференциальными уравнениями, в соответствии с инвариантными свойствами соответствующих поверхностей f = 0 как рациональные. -один трансформации.

Теория Ли [ править ]

С 1870 года работа Софуса Ли поставила теорию дифференциальных уравнений на более прочную основу. Он показал, что теории интегрирования старых математиков могут быть отнесены к общему источнику , используя группы Ли , и что обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же бесконечно малые преобразования, представляют сопоставимые трудности интегрирования. Он также подчеркнул тему трансформаций контакта .

Групповая теория дифференциальных уравнений Ли была подтверждена, а именно: (1) она объединяет множество специальных методов, известных для решения дифференциальных уравнений, и (2) она предоставляет новые мощные способы поиска решений. Теория имеет приложения как к обыкновенным, так и к дифференциальным уравнениям в частных производных. ^[21]

Общий подход к решению использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Теория непрерывных групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных (частных) дифференциальных уравнений для генерации интегрируемых уравнений, для нахождения ее пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Бэклунда и, наконец, нахождения точных аналитических решений DE .

Методы симметрии применялись к дифференциальным уравнениям, возникающим в математике, физике, технике и других дисциплинах.

Теория Штурма – Лиувилля [ править ]

Теория Штурма – Лиувилля - это теория особого типа линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Их решения основаны на собственных значениях и соответствующих собственных функциях линейных операторов, определенных с помощью однородных линейных уравнений второго порядка . Проблемы идентифицированы как проблемы Штурма-Лиувилля (SLP) и названы в честь Дж. К. Ф. Штурма и Дж. Лиувилля , которые изучали их в середине 1800-х годов. SLP имеют бесконечное количество собственных значений, а соответствующие собственные функции образуют полный ортогональный набор, что делает возможным ортогональное разложение. Это ключевая идея прикладной математики, физики и инженерии. ^[22] SLP также полезны при анализе некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Существование и уникальность решений [ править ]

Существует несколько теорем, которые устанавливают существование и единственность решений начальных задач, включающих ОДУ, как локально, так и глобально. Две основные теоремы:

Теорема	Предположение	Вывод
Теорема существования Пеано	F непрерывный	только местное существование
Теорема Пикара – Линделёфа	F Липшицево непрерывное	локальное существование и уникальность

В своей основной форме обе эти теоремы гарантируют только локальные результаты, хотя последняя может быть расширена, чтобы дать глобальный результат, например, если выполняются условия неравенства Гренвалла .

Кроме того, теоремы единственности, подобные липшицевой, приведенной выше, не применимы к системам DAE , которые могут иметь несколько решений, вытекающих только из их (нелинейной) алгебраической части. ^[23]

Упрощена локальная теорема существования и единственности [ править ]

Теорема может быть сформулирована просто следующим образом. ^[24] Для уравнения и начальной задачи:

${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$

если F и ∂ F / ∂ y непрерывны в замкнутом прямоугольнике

${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$

в ху плоскости, где и Ь являются реальными (символический: а, б ∈ ℝ) и × обозначает декартово произведение , квадратные скобки обозначают замкнутые интервалы , то есть интервал

${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$

в течение некоторого ч ∈ ℝ , где можно найти решение для приведенного выше уравнения и начальной задачи. То есть решение есть, и оно уникальное. Поскольку нет ограничений на линейность F , это применимо к нелинейным уравнениям, которые принимают форму F ( x, y ), а также могут применяться к системам уравнений.

Глобальная уникальность и максимальная область решения [ править ]

Когда условия теоремы Пикара – Линделёфа выполняются, локальное существование и единственность могут быть расширены до глобального результата. Точнее: ^[25]

Для каждого начального условия ( x ₀ , y ₀ ) существует единственный максимальный (возможно, бесконечный) открытый интервал

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

такое, что любое решение, которое удовлетворяет этому начальному условию, является ограничением решения, которое удовлетворяет этому начальному условию с областью .${\displaystyle I_{\max }}$

В этом случае есть ровно две возможности${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$

• взрыв за конечное время: ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• покидает область определения: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

где Ω - открытое множество, в котором определено F , и - его граница.${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$

Обратите внимание, что максимальная область решения

• всегда интервал (чтобы иметь уникальность)
• может быть меньше чем ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• может зависеть от конкретного выбора ( x ₀ , y ₀ ).

Пример.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

Это означает, что F ( x, y ) = y ² , что является C ¹ и, следовательно, локально липшицевым, удовлетворяя теореме Пикара – Линделёфа.

Даже в такой простой обстановке максимальная область решения не может быть полной, поскольку решение${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

с максимальным доменом:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

Это ясно показывает, что максимальный интервал может зависеть от начальных условий. Область y может быть принята как существующая, но это приведет к области, которая не является интервалом, так что сторона, противоположная начальному условию, будет отключена от начального условия и, следовательно, не будет однозначно определена им.${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$

Максимальный домен не потому, что${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

что является одним из двух возможных случаев согласно приведенной выше теореме.

Уменьшение заказа [ править ]

Дифференциальные уравнения обычно решаются легче, если порядок уравнения может быть уменьшен.

Сведение к системе первого порядка [ править ]

Любое явное дифференциальное уравнение порядка n ,

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

можно записать в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка, задав новое семейство неизвестных функций

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

для i = 1, 2, ..., n . Тогда n- мерная система связанных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

компактнее в векторной записи:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

куда

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$

Резюме точных решений [ править ]

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения, которые можно записать в точной и замкнутой форме. Здесь приведены несколько важных классов.

В таблице ниже P ( x ), Q ( x ), P ( y ), Q ( y ) и M ( x , y ), N ( x , y ) - любые интегрируемые функции от x , y и b. и c - действительные заданные константы, а C ₁ , C ₂ , ... - произвольные константы ( комплексныев целом). Дифференциальные уравнения представлены в их эквивалентной и альтернативной формах, которые приводят к решению путем интегрирования.

В интегральных решениях λ и ε - фиктивные переменные интегрирования (континуальные аналоги индексов при суммировании ), а обозначение ∫ ^x F ( λ )  dλ просто означает интегрирование F ( λ ) по λ , а затем после интегрирования замените λ = x , не добавляя константы (явно указано).

Разделимые уравнения [ править ]

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Первый порядок, разделимый по x и y (общий случай, частные случаи см. Ниже) [26] ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}}$	Разделение переменных (разделить на P 2 Q 1 ).	${\displaystyle \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C\,\!}$
Первый порядок, разделимый по x [24] ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}}$	Прямая интеграция.	${\displaystyle y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C\,\!}$
Первого порядка, автономный, сепарабельный по y [24] ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}}$	Разделение переменных (разделить на F ).	${\displaystyle x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C\,\!}$
Первый порядок, разделимый по x и y [24] ${\displaystyle {\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}}$	Интегрируйте повсюду.	${\displaystyle \int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C\,\!}$

Общие уравнения первого порядка [ править ]

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Однородный первого порядка [24] ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\!}$	Установите y = ux , затем решите, разделив переменные в u и x .	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\!}$
Разделимость первого порядка [26] ${\displaystyle {\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}}$	Разделение переменных (разделить на xy ).	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!}$ Если N = M , то решение х = С .
Точный дифференциал первого порядка [24] ${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}}$ куда ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!}$	Интегрируйте повсюду.	${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{y}M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}}$ где Y ( y ) и X ( x ) являются функциями от интегралов, а не постоянных значений, которые устанавливаются так, чтобы конечная функция F ( x, y ) удовлетворяла исходному уравнению.
Неточный дифференциал первого порядка [24] ${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}}$ куда ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!}$	Коэффициент интегрирования μ ( x, y ), удовлетворяющий ${\displaystyle {\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!}$	Если μ ( x , y ) можно найти: ${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}}$

Общие уравнения второго порядка [ править ]

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Автономная второго порядка [27] ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\!}$	Умножьте обе части уравнения на 2 dy / dx , замените , затем проинтегрируйте дважды.${\displaystyle 2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,\!}$	${\displaystyle x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!}$

Линейные уравнениям n- го порядка [ править ]

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Линейные неоднородные функциональные коэффициенты первого порядка [24] ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\!}$	Интегрирующий фактор: ${\displaystyle e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.}$	${\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]}$
Коэффициенты функций второго порядка, линейные, неоднородные ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)}$	Интегрирующий фактор: ${\displaystyle e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }}$	${\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]}$
Линейные неоднородные постоянные коэффициенты второго порядка [28] ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)\,\!}$	Дополнительная функция y c : предположим, что y c = e α x , подставим и решим многочлен от α, чтобы найти линейно независимые функции .${\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}$ Частный интеграл y p : в общем метод изменения параметров , хотя для очень простой проверки r ( x ) может работать. [24]	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$ Если b 2 > 4 c , то ${\displaystyle y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}}$ Если b 2 = 4 c , то ${\displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}}$ Если b 2 <4 c , то ${\displaystyle y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]}$
линейные неоднородные постоянные коэффициенты n- го порядка [28] ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\!}$	Дополнительная функция y c : предположим, что y c = e α x , подставим и решим многочлен от α, чтобы найти линейно независимые функции .${\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}$ Частный интеграл y p : в общем метод изменения параметров , хотя для очень простой проверки r ( x ) может работать. [24]	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$ Так как & alpha ; J являются решениями полинома от степени п : , то:${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0\,\!}$ для α j все разные, ${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!}$ для каждого корня α j повторяется k j раз, ${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!}$ для некоторого комплекса α j , то полагая α = χ j + iγ j и используя формулу Эйлера, можно записать некоторые члены из предыдущих результатов в виде ${\displaystyle C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})\,\!}$ где ϕ j - произвольная постоянная (фазовый сдвиг).

Метод угадывания [ править ]

Когда все другие методы решения ODE терпят неудачу или в тех случаях, когда у нас есть некоторая интуиция относительно того, как может выглядеть решение DE, иногда можно решить DE, просто угадав решение и проверив его правильность. Чтобы использовать этот метод, мы просто угадываем решение дифференциального уравнения, а затем подставляем решение в дифференциальное уравнение, чтобы проверить, удовлетворяет ли оно уравнению. Если это так, то у нас есть конкретное решение для DE, в противном случае мы начинаем заново и пробуем другое предположение. Например, мы могли догадаться, что решение для DE имеет форму: поскольку это очень распространенное решение, которое физически ведет себя синусоидальным образом.${\displaystyle y=Ae^{\alpha t}}$

В случае неоднородного ОДУ первого порядка необходимо сначала найти решение ДУ однородной части ДУ, иначе называемое характеристическим уравнением, а затем найти решение всего неоднородного уравнения, угадав . Наконец, мы складываем оба этих решения вместе, чтобы получить полное решение ОДУ, а именно:

${\displaystyle {\text{total solution}}={\text{homogeneous solution}}+{\text{particular solution}}}$

Программное обеспечение для решения ODE [ править ]

• Maxima , система компьютерной алгебры с открытым исходным кодом .
• COPASI , бесплатный программный пакет ( Artistic License 2.0 ) для интеграции и анализа ODE.
• MATLAB , приложение для технических вычислений (MATRIX LABoratory)
• GNU Octave , язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для числовых вычислений.
• Scilab , приложение с открытым исходным кодом для численных вычислений.
• Maple , проприетарное приложение для символьных вычислений.
• Mathematica , проприетарное приложение, в первую очередь предназначенное для символьных вычислений.
• SymPy , пакет Python, который может решать ОДУ символически.
• Julia (язык программирования) , язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для численных вычислений.
• SageMath , приложение с открытым исходным кодом, в котором используется синтаксис, подобный Python, с широким спектром возможностей, охватывающих несколько разделов математики.
• SciPy , пакет Python, включающий модуль интеграции ODE.
• Chebfun , пакет с открытым исходным кодом, написанный на MATLAB , для вычислений с функциями с точностью до 15 цифр.
• GNU R , вычислительная среда с открытым исходным кодом, в первую очередь предназначенная для статистики, которая включает пакеты для решения ODE.

См. Также [ править ]

• Краевая задача
• Примеры дифференциальных уравнений
• Преобразование Лапласа применяется к дифференциальным уравнениям
• Список тем о динамических системах и дифференциальных уравнениях
• Матричное дифференциальное уравнение
• Метод неопределенных коэффициентов
• Отношение повторения

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Холлидей, Дэвид ; Резник, Роберт (1977), Физика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-71716-9
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 0-13-487538-9
• Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
• Полянин, А.Д. и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) », Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими записками , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716
• Типлер, Пол А. (1991), Физика для ученых и инженеров: Расширенная версия (3-е изд.), Нью-Йорк: Worth Publishers , ISBN 0-87901-432-6
• Боскейн, Уго; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (на французском языке)
• Дреснер, Лоуренс (1999), Приложения теории обыкновенных и дифференциальных уравнений с частными производными Ли , Бристоль и Филадельфия: Издательский институт физики , ISBN 978-0750305303
• Ашер, Ури; Петцольд, Линда (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

Библиография [ править ]

• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл .
• Хартман, Филипп (2002) [1964], Обыкновенные дифференциальные уравнения , Классика в прикладной математике, 38 , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , DOI : 10,1137 / +1,9780898719222 , ISBN 978-0-89871-510-1, MR  1929104
• У. Джонсон, Трактат об обыкновенных и дифференциальных уравнениях с частными производными , John Wiley and Sons, 1913, в Историческом математическом сборнике Мичиганского университета.
• Инс, Эдвард Л. (1944) [1926], Обычные дифференциальные уравнения , Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN 978-0-486-60349-0, Руководство по ремонту  0010757
• Витольд Гуревич , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8 
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993). CRC Справочник по анализу дифференциальных уравнений в группах Ли Vol. 1-3 . Провиденс: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• А.Д. Полянин , В.Ф. Зайцев и А. Муссио, Справочник по уравнениям с частными производными первого порядка , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X 
• Д. Цвиллинджер, Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е издание) , Academic Press, Бостон, 1997.

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Исчисление / Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с обыкновенными дифференциальными уравнениями .

• "Дифференциальное уравнение, обыкновенное" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• EqWorld: Мир математических уравнений , содержащий список обыкновенных дифференциальных уравнений с их решениями.
• Онлайн-заметки / Дифференциальные уравнения Пола Докинза, Университет Ламара .
• Дифференциальные уравнения , SOS-математика.
• Учебник по аналитическому решению дифференциальных уравнений от Института целостных численных методов Университета Южной Флориды.
• Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям и динамическим системам Джеральда Тешля .
• Заметки о Diffy Qs: дифференциальные уравнения для инженеров Вводный учебник по дифференциальным уравнениям Иржи Лебля из UIUC .
• Моделирование с помощью ODE с использованием Scilab Учебное пособие по моделированию физической системы, описанной ODE, с использованием стандартного языка программирования Scilab, разработанное командой Openeering.
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения в Wolfram | Alpha