Автономная система (математика)

Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как стабильные или неустойчивые в зависимости от их характеристик. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. ^[1] Некоторый сток, источник или узел являются точками равновесия .${\ displaystyle x '= Ax,}$

Двухмерный случай относится к фазовой плоскости .

В математике , автономная система или автономное дифференциальное уравнение представляет собой систему из обыкновенных дифференциальных уравнений , которые явно не зависит от независимой переменной . Когда переменной является время, их также называют системами, не зависящими от времени .

Многие законы физики , где независимой переменной обычно считается время , выражаются как автономные системы, потому что предполагается, что законы природы, действующие сейчас, идентичны законам для любой точки в прошлом или будущем.

Автономные системы тесно связаны с динамическими системами . Любая автономная система может быть преобразована в динамическую систему ^{[ необходима цитата ],} и, используя очень слабые допущения ^{[ необходима цитата ]} , динамическая система может быть преобразована в автономную систему ^{[ необходима цитата ]} .

Определение [ править ]

Автономная система представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$

где x принимает значения в n -мерном евклидовом пространстве ; t часто интерпретируется как время.

Он отличается от систем дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$

в котором закон, регулирующий эволюцию системы, зависит не только от текущего состояния системы, но и от параметра t , который также часто интерпретируется как время; такие системы по определению не являются автономными.

Свойства [ править ]

Решения инвариантны относительно горизонтальных перемещений:

Пусть - единственное решение начальной задачи для автономной системы ${\displaystyle x_{1}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.}$

Затем решает${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

Действительно, обозначая, что мы имеем и , таким образом, ${\displaystyle s=t-t_{0}}$${\displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)}$${\displaystyle ds=dt}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}$

Для начального условия проверка тривиальна,

${\displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.}$

Пример [ править ]

Уравнение является автономным, поскольку независимая переменная, назовем ее , явно не фигурирует в уравнении. Чтобы построить поле уклона и изоклину для этого уравнения, можно использовать следующий код в GNU Octave / MATLAB${\displaystyle y'=\left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$

Ffun = @ ( X , Y ) ( 2 - Y ) . * Y ; % функция f (x, y) = (2-y) y        [ X , Y ] = сетка ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % выберите размеры участка     DY = Ffun ( X , Y ); DX = единицы ( размер ( DY )); % генерировать значения графика       колчан ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % отобразить поле направления черным цветом     держать на ; контур ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % добавить изоклины (0 1 2) зеленым цветом       title ( 'Поле наклона и изоклины для f (x, y) = (2-y) y' )

Можно заметить из графика , что функция является инвариантно, так это форма решения, т.е. для любого сдвига .${\displaystyle \left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y(x)=y(x-x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

Символьное решение уравнения в MATLAB , запустив

syms y (x) ; уравнение = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y );        % решить уравнение для общего решения символическиy_general = dsolve ( уравнение );  

получают два равновесных решений, и , и третий раствор с участием неизвестной константы , .${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=2}$${\displaystyle C_{3}}$-2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)

Подбирая некоторые конкретные значения для начального условия , мы можем добавить график нескольких решений

% решить задачу начального значения символически% для разных начальных условийy1 = dsolve ( уравнение , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( уравнение , y ( 2 ) == 1 );           y3 = dsolve ( уравнение , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( уравнение , у ( 1 ) == 3 );           y5 = dsolve ( уравнение , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( уравнение , y ( 3 ) == 3 );           % построить решенияezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]);        EZplot ( у4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]);        title ( 'Поле наклона, изоклины и решения для f (x, y) = (2-y) y' )легенда ( 'Поле уклона' , 'Изоклины' , 'Решения y_ {1..6}' );  текст ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\ leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' }));         текст ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\ leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6' }));         Сетка на ; 

Качественный анализ [ править ]

Автономные системы могут быть проанализированы качественно с помощью фазового пространства ; в случае одной переменной это фазовая линия .

Методы решения [ править ]

Следующие методы применяются к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка эквивалентно -мерной системе первого порядка (как описано в приведении к системе первого порядка ), но не обязательно наоборот.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Первый заказ [ править ]

Автономное уравнение первого порядка

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$

является разделимым , поэтому его легко решить, преобразовав его в интегральную форму

${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$

Второй порядок [ править ]

Автономное уравнение второго порядка

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$

сложнее, но ее можно решить ^[2] , введя новую переменную

${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$

и выражая вторую производную от через правило цепи , как${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$

так что исходное уравнение становится

${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$

которое является уравнением первого порядка, не содержащим ссылки на независимую переменную . Решение предоставляет как функцию от . Затем, вспоминая определение :${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$

что является неявным решением.

Особый случай: x '' = f ( x ) [ править ]

Частный случай, когда не зависит от${\displaystyle f}$${\displaystyle x'}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$

выгоды от раздельного лечения. ^[3] Эти типы уравнений очень распространены в классической механике, потому что они всегда являются гамильтоновыми системами .

Идея состоит в том, чтобы использовать идентичность

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}}$

которое следует из цепного правила , исключающего любые проблемы, связанные с делением на ноль .

Инвертируя обе стороны автономной системы первого порядка, можно немедленно интегрировать в отношении :${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$

это еще один способ взглянуть на технику разделения переменных. Можем ли мы сделать что-то подобное с уравнениями более высокого порядка? Ответ положительный для уравнений второго порядка, но есть над чем поработать. Вторая производная должна быть выражена как производная по отношению, а не по :${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}}$

Еще раз подчеркнем: что было достигнуто, так это то, что вторая производная по отношению к была выражена как производная от . Исходное уравнение второго порядка теперь можно интегрировать:${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}}$

Это неявное решение. Самая большая потенциальная проблема - невозможность упростить интегралы, что подразумевает трудность или невозможность вычисления констант интегрирования.

Особый случай: x '' = x ' ⁿ f ( x ) [ править ]

Используя описанный выше подход, мы можем распространить эту технику на более общее уравнение

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)}$

где - некоторый параметр, не равный двум. Это будет работать, поскольку вторая производная может быть записана в форме, включающей степень . Переписываем вторую производную, переставляем и выражаем левую часть как производную:${\displaystyle n}$${\displaystyle x'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}}$

Право будет носить +/−, если будет четным. Лечение должно быть другим, если :${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}}$

Высшие порядки [ править ]

Аналогичного метода решения автономных уравнений третьего и более высокого порядка не существует. Такие уравнения могут быть решены точно только в том случае, если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например линейностью или зависимостью правой части уравнения только от зависимой переменной ^{[4] [5]} (т. Е. Не ее производных). Это не должно быть удивительно, учитывая , что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут производить действительно хаотическое поведение , такие как аттрактор Лоренца и аттрактор Рёсслер .

При таком менталитете также неудивительно, что общие неавтономные уравнения второго порядка не могут быть решены явно, поскольку они также могут быть хаотичными (примером этого является периодически вынужденный маятник ^[6] ).

Многовариантный случай [ править ]

Теперь у нас есть , где есть мерный вектор столбец зависит .${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

Решение: где - постоянный вектор. ^[7]${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle n\times 1}$

См. Также [ править ]

• Инвариантная во времени система
• Неавтономная система (математика)

Ссылки [ править ]