Фазовая плоскость

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В прикладной математике , в частности, в контексте анализа нелинейных систем , фазовая плоскость представляет собой визуальное отображение определенных характеристик определенных видов дифференциальных уравнений ; координатная плоскость с осями, являющимися значениями двух переменных состояния, скажем ( x , y ) или ( q , p ) и т. д. (любая пара переменных). Это двумерный случай общего n- мерного фазового пространства .

Метод фазовой плоскости относится к графическому определению существования предельных циклов в решениях дифференциального уравнения.

Решения дифференциального уравнения представляют собой семейство функций . Графически это можно отобразить на фазовой плоскости как двумерное векторное поле . Отрисовываются векторы, представляющие производные точек по параметру (например, времени t ), то есть ( dx / dt , dy / dt ), в репрезентативных точках. При наличии достаточного количества этих стрелок можно визуализировать поведение системы над анализируемыми областями плоскости и легко идентифицировать предельные циклы .

Все поле представляет собой фазовый портрет , конкретный путь, проходящий вдоль линии потока (т.е. путь, всегда касающийся векторов), является фазовым путем . Потоки в векторном поле указывают на временную эволюцию системы, описываемой дифференциальным уравнением.

Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физических систем ; в частности, колебательных систем, таких как модели хищник-жертва (см. уравнения Лотки – Вольтерра ). В этих моделях фазовые траектории могут «закручиваться» по направлению к нулю, «по спирали» к бесконечности или достигать нейтрально устойчивых ситуаций, называемых центрами, где траектория может быть либо круговой, эллиптической, либо овальной, либо каким-либо вариантом. Это полезно для определения стабильной динамики. ^[1]

Другими примерами колебательных систем являются определенные химические реакции с несколькими стадиями, некоторые из которых включают динамическое равновесие, а не реакции, которые идут до завершения. В таких случаях можно смоделировать рост и падение концентрации реагента и продукта (или массы, или количества вещества) с помощью правильных дифференциальных уравнений и хорошего понимания химической кинетики . ^[2]

Пример линейной системы [ править ]

Двумерную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде: ^[1]

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dx} {dt}} & = Ax + By \\ {\ frac {dy} {dt}} & = Cx + Dy \ end {align}}}$

которое можно организовать в матричное уравнение:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {d} {dt}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ \\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ end {pmatrix}} \\ & {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = \ mathbf {A} \ mathbf {v}. \ end {выравнивается}}}$

где A - матрица коэффициентов 2 × 2, указанная выше, а v = ( x , y ) - координатный вектор двух независимых переменных .

Такие системы могут быть решены аналитически, в этом случае путем интегрирования: ^[3]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}}$

хотя решения неявные функции в х и у , и трудно интерпретировать. ^[1]

Решение с использованием собственных значений [ править ]

Чаще они решаются с помощью коэффициентов правой части, записанных в матричной форме с использованием собственных значений λ, заданных определителем :

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$

и собственные векторы :

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

Собственные значения представляют собой степени экспоненциальных компонентов, а собственные векторы являются коэффициентами. Если решения записаны в алгебраической форме, они выражают основной мультипликативный множитель экспоненциального члена. Из-за неединственности собственных векторов каждое полученное таким образом решение имеет неопределенные константы c ₁ , c ₂ , ... c _n .

Общее решение:

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.}$

где λ ₁ и λ ₂ - собственные значения, а (k ₁ , k ₂ ), (k ₃ , k ₄ ) - основные собственные векторы. Константы c ₁ и c ₂ учитывают неединственность собственных векторов и не разрешимы, если для системы не задано начальное условие.

Вышеупомянутый определитель приводит к характеристическому многочлену :

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0}$

которое представляет собой квадратное уравнение вида:

${\displaystyle \lambda ^{2}-p\lambda +q=0}$

куда;

${\displaystyle p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,}$

(«tr» обозначает след ) и

${\displaystyle q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.}$

Явное решение собственных значений тогда дается квадратной формулой :

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,}$

куда

${\displaystyle \Delta =p^{2}-4q\,.}$

Собственные векторы и узлы [ править ]

Собственные векторы и узлы определяют профиль фазовых путей, обеспечивая наглядную интерпретацию решения динамической системы, как показано ниже.

Затем сначала настраивается фазовая плоскость путем рисования прямых линий, представляющих два собственных вектора (которые представляют устойчивые ситуации, когда система либо сходится к этим линиям, либо расходится от них). Затем фазовая плоскость строится с использованием сплошных линий вместо штрихов поля направлений. Знаки собственных значений указывают на поведение фазовой плоскости:

• Если знаки противоположные, то пересечение собственных векторов является седловой точкой .
• Если оба знака положительные, собственные векторы представляют устойчивые ситуации, от которых система расходится, а пересечение является нестабильным узлом .
• Если оба знака отрицательны, собственные векторы представляют стабильные ситуации, к которым система сходится, а пересечение является стабильным узлом .

Сказанное выше можно визуализировать, вспомнив поведение экспоненциальных членов в решениях дифференциальных уравнений.

Повторяющиеся собственные значения [ править ]

В этом примере рассматривается только случай реальных отдельных собственных значений. Реальные повторяющиеся собственные значения требуют решения матрицы коэффициентов с неизвестным вектором и первым собственным вектором для генерации второго решения системы два на два. Однако, если матрица симметрична, можно использовать ортогональный собственный вектор для генерации второго решения.

Комплексные собственные значения [ править ]

Комплексные собственные значения и собственные векторы генерируют решения в форме синусов и косинусов, а также экспонент. Одна из простостей этой ситуации состоит в том, что для генерации полного набора решений для системы необходимы только одно из собственных значений и один из собственных векторов.

См. Также [ править ]

• Фазовая линия , одномерный случай
• Фазовое пространство , n -мерный случай
• Фазовый портрет

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Университет Ламара, Online Math Notes - Phase Plane , P. Dawkins
• Университет Ламара, Онлайн-математические заметки - Системы дифференциальных уравнений , П. Докинз
• Обзор метода фазовой плоскости