| Дифференциальные уравнения |
|---|
 |
| Классификация |
| Решение |
Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных ( SPDE ) обобщают уравнения в частных производных с помощью членов и коэффициентов случайной силы, точно так же, как обычные стохастические дифференциальные уравнения обобщают обыкновенные дифференциальные уравнения .
Они имеют отношение к квантовой теории поля , статистической механике и пространственному моделированию . [1] [2]
Примеры [ править ]
Одним из наиболее изученных СПДУ является стохастическое уравнение теплопроводности , которое формально можно записать как
где - лапласиан и обозначает белый шум пространства-времени . Другие примеры также включают стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение и уравнение Шредингера .
Обсуждение [ править ]
Одна из трудностей - это отсутствие регулярности. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности являются только почти 1/2 -гёльдеровскими в пространстве и 1/4-Гёльдеровскими во времени. Для размерностей два и выше решения даже не являются функциональнозначными, но могут восприниматься как случайные распределения .
Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с помощью полугрупповых методов. [3]
Однако при рассмотрении нелинейных уравнений начинают появляться проблемы. Например
где - многочлен. В этом случае даже не ясно, как следует разобраться в уравнении. У такого уравнения также не будет функциональнозначного решения, а значит, и поточечного смысла. Хорошо известно, что пространство распределений не имеет продуктовой структуры. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости некоторой перенормировки.
Первой попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый трюк да Пратто-Дебуше, который включал изучение таких нелинейных уравнений, как возмущения линейных. Однако это можно использовать только в очень ограниченных настройках, поскольку это зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности составляющего шума при движении. В последние годы, поле резко расширилась, и теперь существует большой машины , чтобы гарантировать локальное существование для различных докритических SPDE годов.
См. Также [ править ]
- Броуновская поверхность
- Уравнение Кардара – Паризи – Жанга.
- Уравнение Кушнера
- Исчисление Маллявэна
- Фитиль продукт
- Уравнение Закая
Ссылки [ править ]
- ^ Прево, Клаудиа; Рёкнер, Майкл (2007). Краткий курс стохастических дифференциальных уравнений с частными производными . Конспект лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6.
- ^ Krainski, Элиас Т .; Гомес-Рубио, Вирджилио; Бакка, Хокон; Лензи, Аманда; Кастро-Камило, Даниэла; Симпсон, Дэниел; Линдгрен, Финн; Rue, Håvard (2018). Расширенное пространственное моделирование со стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных с использованием R и INLA . Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6.
- ^ Уолш, Джон Б. (1986). Кармона, Рене; Кестен, Гарри; Уолш, Джон Б.; Hennequin, PL (ред.). «Введение в стохастические уравнения в частных производных». École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984 . Конспект лекций по математике. Springer Berlin Heidelberg. 1180 : 265–439. DOI : 10.1007 / bfb0074920 . hdl : 10338.dmlcz / 126035 . ISBN 978-3-540-39781-6.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Holden, H .; Эксендал, Б .; Ubøe, J .; Чжан, Т. (2010). Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными: моделирование, функциональный подход к белому шуму . Университекст (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. DOI : 10.1007 / 978-0-387-89488-1 . ISBN 978-0-387-89487-4.
Внешние ссылки [ править ]
- "Миникурс по стохастическим уравнениям с частными производными" (PDF) . 2006 г.
- Хайрер, Мартин (2009). «Введение в стохастические PDE». arXiv : 0907.4178 . Cite journal requires
|journal=(help)
