Точное дифференциальное уравнение

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Точное дифференциальное уравнение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , точное дифференциальное уравнение или общее дифференциальное уравнение является определенным видом обыкновенного дифференциального уравнения , которое широко используется в физике и технике .

Определение [ править ]

Учитывая односвязны и открытое подмножество D из R ² и двух функций я и J , которые являются непрерывными на D , с неявной первого порядка обыкновенного дифференциального уравнения вида

${\ Displaystyle I (х, y) \, dx + J (x, y) \, dy = 0,}$

называется точным дифференциальным уравнением, если существует непрерывно дифференцируемая функция F , называемая потенциальной функцией , ^{[1] [2],} так что

${\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} = I}$

и

${\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} = J.}$

Точное уравнение также можно представить в следующей форме:

${\ Displaystyle I (х, у) + J (х, у) \, у '(х) = 0}$

где те же ограничения на I и J применяются для точности дифференциального уравнения.

Термин «точное дифференциальное уравнение» относится к точному дифференциалу функции. Для функции точная или полная производная по определяется выражением${\ Displaystyle F (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n-1}, x_ {n})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx_ {0}}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {0}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {dx_ {i}} {dx_ {0}}}.}$

Пример [ править ]

Функция, заданная${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle F (x, y) = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + c}$

- потенциальная функция для дифференциального уравнения

${\displaystyle x\,dx+y\,dy=0.\,}$

Существование потенциальных функций [ править ]

В физических приложениях функции I и J обычно не только непрерывны, но даже непрерывно дифференцируемы . Таким образом, теорема Шварца дает нам необходимый критерий существования потенциальной функции. Для дифференциальных уравнений, определенных на односвязных множествах, критерия достаточно, и мы получаем следующую теорему:

Для дифференциального уравнения вида (например, когда F имеет нулевой наклон в направлении x и y в точке F ( x , y )):

${\displaystyle I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,}$

с I и J непрерывно дифференцируемые на односвязное и открытом подмножестве D из R ^- затем потенциальная функция F существует тогда и только тогда ,

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).}$

Решения точных дифференциальных уравнений [ править ]

Учитывая точное дифференциальное уравнение , определенное на некотором односвязное и открытом подмножестве D из R ² с потенциальной функцией F , дифференцируемой функцией F с ( х , F ( х )) в D является решением , если и только если существует действительное число с так который

${\displaystyle F(x,f(x))=c.}$

Для задачи начального значения

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$

мы можем локально найти потенциальную функцию с помощью

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt\\&=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,du\right]dt.\end{aligned}}}$

Решение

${\displaystyle F(x,y)=c}$

для y , где c - действительное число, мы можем построить все решения.

Точные дифференциальные уравнения второго порядка [ править ]

Понятие точных дифференциальных уравнений можно распространить на уравнения второго порядка. ^[3] Начнем с точного уравнения первого порядка:

${\displaystyle I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0}$

Так как обе функции , являются функциями двух переменных, неявно дифференцирующие выходы многомерных функций${\displaystyle I\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle J\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0}$

Разложение полных производных дает, что

${\displaystyle {dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

и это

${\displaystyle {dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}}$

Объединение условий дает ${\textstyle {dy \over dx}}$

${\displaystyle {\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0}$

Если уравнение точное, то . Кроме того, полная производная от равна ее неявной обычной производной . Это приводит к переписанному уравнению ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$${\displaystyle J\left(x,y\right)}$${\textstyle {dJ \over dx}}$

${\displaystyle {\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0}$

Пусть теперь имеется какое-нибудь дифференциальное уравнение второго порядка

${\displaystyle f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0}$

Если для точных дифференциальных уравнений, то ${\displaystyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$

${\displaystyle \int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy}$

и

${\displaystyle \int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)}$

где - некоторая произвольная функция только от того, что было дифференцировано до нуля при взятии частной производной по . Хотя знак может быть положительным, более интуитивно думать о результате интеграла, поскольку в нем отсутствует какая-то исходная дополнительная функция, которая была частично дифференцирована до нуля. ${\displaystyle h\left(x\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I\left(x,y\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle h\left(x\right)}$${\displaystyle I\left(x,y\right)}$${\displaystyle h\left(x\right)}$

Далее, если

${\displaystyle {dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

тогда этот член должен быть функцией только от и , поскольку частичное дифференцирование по будет оставаться постоянным и не будет производить никаких производных от . В уравнении второго порядка${\displaystyle {\partial I \over \partial x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0}$

только термин - это термин, состоящий исключительно из и . Пусть . Если , то${\displaystyle f\left(x,y\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)}$${\displaystyle {\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle f\left(x,y\right)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

Поскольку полная производная от по эквивалентна неявной обыкновенной производной , то${\displaystyle I\left(x,y\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {dI \over dx}}$

${\displaystyle f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{dh\left(x\right) \over dx}}$

Так,

${\displaystyle {dh\left(x\right) \over dx}=f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)}$

и

${\displaystyle h\left(x\right)=\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx}$

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка

${\displaystyle f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0}$

является точным только тогда и только тогда, когда приведенное ниже выражение${\displaystyle g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}}$

${\displaystyle \int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx=\int \left(f\left(x,y\right)-{\partial \left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right) \over \partial x}\right)dx}$

является функцией исключительно от . После вычисления с произвольной константой он добавляется в make . Если уравнение точное, то мы можем привести к точному виду первого порядка, который разрешается обычным методом для точных уравнений первого порядка.${\displaystyle x}$${\displaystyle h\left(x\right)}$${\displaystyle I\left(x,y\right)-h\left(x\right)}$${\displaystyle I\left(x,y\right)}$

${\displaystyle I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0}$

Теперь, однако, в окончательном неявном решении будет член от интегрирования по удвоенной, а также по двум произвольным константам, как и ожидалось от уравнения второго порядка. ${\displaystyle C_{1}x}$${\displaystyle h\left(x\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C_{2}}$

Пример [ править ]

Учитывая дифференциальное уравнение

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-4xy'-2y=0}$

всегда легко проверить точность, исследуя термин. В этом случае и частная, и полная производная от по есть , поэтому их сумма равна , что в точности соответствует члену перед . При соблюдении одного из условий точности можно вычислить, что ${\displaystyle y''}$${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -2x}$${\displaystyle -4x}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle \int \left(-2x\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)=-2xy}$

Позволив , тогда ${\displaystyle f\left(x,y\right)=-2y}$

${\displaystyle \int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}\left(-2xy\right)\right)dx=\int \left(-2y-2xy'+2xy'+2y\right)dx=\int \left(0\right)dx=h\left(x\right)}$

Таким образом, действительно является функцией только от, а дифференциальное уравнение второго порядка является точным. Следовательно, и . Приведение к точному уравнению первого порядка дает${\displaystyle h\left(x\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h\left(x\right)=C_{1}}$${\displaystyle I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}}$

${\displaystyle -2xy+C_{1}+\left(1-x^{2}\right)y'=0}$

Интегрируя по доходам${\displaystyle I\left(x,y\right)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle -x^{2}y+C_{1}x+i\left(y\right)=0}$

где - произвольная функция от . Дифференцирование по дает уравнение, связывающее производную и член.${\displaystyle i\left(y\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle -x^{2}+i'\left(y\right)=1-x^{2}}$

Итак, и полное неявное решение становится${\displaystyle i\left(y\right)=y+C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0}$

Явное решение для доходности${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}}$

Точные дифференциальные уравнения высшего порядка [ править ]

Понятия точных дифференциальных уравнений могут быть расширены до любого порядка. Начиная с точного уравнения второго порядка

${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f\left(x,y\right)=0}$

ранее было показано, что уравнение определяется так, что

${\displaystyle f\left(x,y\right)={dh\left(x\right) \over dx}+{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}}$

Неявное дифференцирование точных времен уравнения второго порядка даст дифференциальное уравнение третьего порядка с новыми условиями точности, которые можно легко вывести из формы полученного уравнения. Например, дифференцируя приведенное выше дифференциальное уравнение второго порядка один раз, чтобы получить точное уравнение третьего порядка, получаем следующую форму${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(n+2\right)}$

${\displaystyle {d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df\left(x,y\right) \over dx}=0}$

куда

${\displaystyle {df\left(x,y\right) \over dx}={d^{2}h\left(x\right) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$

и где является функцией только и . Объединение всего и не исходящих терминов дает${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle {dy \over dx}}$${\displaystyle {dy \over dx}}$${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}}$${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$

${\displaystyle {d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0}$

Таким образом, три условия точности дифференциального уравнения третьего порядка: член должен быть , член должен быть и ${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}}$${\displaystyle 2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}}$${\displaystyle {dy \over dx}}$${\displaystyle {d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)}$

${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)}$

должен быть функцией исключительно . ${\displaystyle x}$

Пример [ править ]

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка

${\displaystyle yy'''+3y'y''+12x^{2}=0}$

Если , то есть и которые вместе составляют . К счастью, это присутствует в нашем уравнении. Для последнего условия точности${\displaystyle J\left(x,y\right)=y}$${\displaystyle y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)}$${\displaystyle 2y'y''}$${\displaystyle y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''}$${\displaystyle 3y'y''}$

${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}}$

который действительно является функцией только от . Итак, дифференциальное уравнение точное. Двойное интегрирование дает это . Переписывая уравнение в виде точного дифференциального уравнения первого порядка, получаем${\displaystyle x}$${\displaystyle h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)}$

${\displaystyle x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0}$

Это дает интегрирование по отношению к . Дифференцирование и приравнивание этого к члену перед в уравнении первого порядка дает то и то . Полное неявное решение становится${\displaystyle I\left(x,y\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle i'\left(y\right)=y}$${\displaystyle i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}}$

${\displaystyle {x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0}$

Тогда явным решением будет

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}}$

См. Также [ править ]

• Точный дифференциал
• Неточное дифференциальное уравнение

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард С. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8