Просто связанное пространство

В топологии , А топологическое пространство называется просто подключено (или 1-подключенное , или 1-односвязно ^[1] ) , если оно линейно связным и каждый путь между двумя точками можно непрерывно трансформируется (интуитивно для встроенных пространств, оставаясь в пределах space) на любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. Фундаментальная группа топологического пространства является показателем провала для пространства , чтобы быть просто подключено: путь-связной топологическое пространство односвязно тогда и только тогда , когда его фундаментальная группа тривиальна.

Определение и эквивалентные формулировки [ править ]

Эта форма представляет собой набор, который не является просто связанным, потому что любая петля, охватывающая одно или несколько отверстий, не может быть сжата до точки без выхода из области.

Топологическое пространство X называется односвязной , если оно связно и любая петля в X определяется F : S ¹ → X может быть заключен в точку: существует непрерывное отображение F : D ² → X такое , что F ограничена S ¹ - это f . Здесь S ¹ и D ² обозначают единичный круг и замкнутый единичный круг в евклидовой плоскости соответственно.

Эквивалентная формулировка такова: X односвязно тогда и только тогда, когда оно линейно связно, и всякий раз, когда p : [0,1] → X и q : [0,1] → X - два пути (то есть: непрерывные отображения) с одинаковыми начальной и конечной точкой ( p (0) = q (0) и p (1) = q (1)), то p можно непрерывно деформировать в q , сохраняя при этом обе конечные точки фиксированными. Явно существует такая гомотопия , что и . ${\ Displaystyle F: [0,1] \ раз [0,1] \ rightarrow X}$ ${\ Displaystyle F (х, 0) = р (х)}$ ${\ Displaystyle F (х, 1) = q (х)}$

Топологическое пространство X односвязна тогда и только тогда , когда Х является линейно связным и фундаментальная группа из X в каждой точке тривиальна, т.е. состоит только из единичного элемента . Аналогичным образом , Х просто связный тогда и только тогда , когда для всех точек , множество морфизмов в фундаментальной группоиде из X имеет только один элемент. ^[2] ${\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} _ {\ Pi (X)} (х, у)}$

В комплексном анализе : открытое подмножество односвязно тогда и только тогда, когда и X, и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел, мнимая часть которых строго больше нуля и меньше единицы, представляет собой прекрасный пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого не связно. Тем не менее, это просто связано. Также стоит отметить, что ослабление требования связности X приводит к интересному исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда все его компоненты связности односвязны. ${\ Displaystyle X \ substeq \ mathbb {C}}$

Неформальное обсуждение [ править ]

Неформально объект в нашем пространстве просто связан, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», проходящих через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях круг не просто соединен, но диск и линия связаны. Пространства, которые связаны, но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .

Сфера односвязна , потому что каждый цикл может быть заключен (на поверхности) до точки.

Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый шар с полым центром) просто связана, потому что любая петля на поверхности сферы может сжиматься до точки, даже если у нее есть «дыра» в центре полости. Более сильное условие, когда объект не имеет отверстий любого размера, называется сжимаемостью .

Примеры [ править ]

Тор - это не односвязная поверхность. Ни одну из двух цветных петель, показанных здесь, нельзя сжать до точки, не покидая поверхности. Тор также не просто связан , так как фиолетовый контур не может сжаться до точки , не выходя из тела.

Евклидовой плоскости R ² просто подключен, но R ² минус происхождение (0,0) не является. Если n > 2, то R ⁿ и R ⁿ без начала координат односвязны.
Аналогично: n -мерная сфера S ⁿ односвязна тогда и только тогда, когда n ≥ 2.
Каждое выпуклое подмножество из R ^п односвязен.
Тор , то (эллиптический) цилиндр , то Мёбиус , то проективная плоскость и бутылка Клейн не просто соединены.
Каждое топологическое векторное пространство односвязно; это включает банаховы пространства и гильбертовы пространства .
При n ≥ 2 специальная ортогональная группа SO ( n , R ) не односвязна, а специальная унитарная группа SU ( n ) односвязна.
Одноточечная компактификация R не односвязна (хотя R односвязна).
Длинная линия L односвязно, но его компактификацией, расширенная длинная линия L * не является (так как он даже не связно).

Свойства [ править ]

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства X - это односвязное пространство, которое отображается в X через отображение покрытия .

Если X и Y являются гомотопически эквивалентны и X односвязно, то и Y .

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальным отображением: изображение C - {0}, которое не является односвязным.

Понятие простой связности важно в комплексном анализе по следующим причинам:

В интегральной теоремы Коши утверждает , что если U -односвязная открытое подмножество комплексной плоскости С , и F : U → C является голоморфная функция , то F имеет первообразную F на U , и значение каждой строки интеграла в U с подынтегральная функция f зависит только от конечных точек u и v пути и может быть вычислена как F ( v ) - F ( u). Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего u и v .
В Римана теорема отображения состояния , что любое непустое открытое односвязное подмножество C (за исключением C самого) является конформно эквивалентно в единичном круге .

Понятие простой связности также является ключевым условием гипотезы Пуанкаре .

См. Также [ править ]

Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
Отвод деформации
n-связное пространство
Связанный по пути
Единичное пространство

Ссылки [ править ]

^ "n-связное пространство в nLab" . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 .
^ Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 .

Спаниер, Эдвин (декабрь 1994). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
Конвей, Джон (1986). Функции комплексного переменного I . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Бурбаки, Николас (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Springer. ISBN 3-540-43405-4.
Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Springer. ISBN 0-387-95069-9.
Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию . Издатели Нью Эйдж. ISBN 0-85226-444-5.

[1] "n-связное пространство в nLab" . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 .

[2] Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 .

[1]