Обработка разложения

В математике , А ручка разложение из м - многообразие М является объединение

${\ displaystyle \ emptyset = M _ {- 1} \ subset M_ {0} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ dots \ subset M_ {m-1} \ subset M_ {m} = M}$

где каждый получаются из по прикреплению - ручки . Ручное разложение для многообразия то же самое, что CW-разложение для топологического пространства - во многих отношениях цель ручного разложения состоит в том, чтобы иметь язык, аналогичный CW-комплексам, но адаптированный к миру гладких многообразий . Таким образом, i- рукоятка является гладким аналогом i -ячейки. Ручные разложения многообразий возникают естественным образом с помощью теории Морса . Модификация конструкции ручки тесно связана с теорией Серфа .${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle M_ {i-1}}$${\ displaystyle i}$

Тройной шар с тремя прикрепленными ручками.

Мотивация [ править ]

Рассмотрим стандартную CW-разложение в п -сферы, с одной нулевой ячейкой и один п -клетки. С точки зрения гладких многообразий это вырожденное разложение сферы, поскольку нет естественного способа увидеть гладкую структуру сферы с точки зрения этого разложения - в частности, гладкая структура около 0 -ячейки зависит от поведение характеристического отображения в окрестности .${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle \ chi: D ^ {n} \ к S ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$

Проблема с CW-разложениями состоит в том, что присоединяемые карты для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Основная идея для исправления этого дефекта - теорема о трубчатой ​​окрестности . Для точки p на многообразии M ее замкнутая трубчатая окрестность диффеоморфна , поэтому мы разложили M в несвязное объединение и склеили по их общей границе. Существенный вопрос здесь в том, что отображение склейки является диффеоморфизмом. Аналогично возьмем гладкую вложенную дугу в , ее трубчатая окрестность диффеоморфна . Это позволяет нам писать${\ displaystyle N_ {p}}$${\ Displaystyle D ^ {m}}$${\ displaystyle N_ {p}}$${\ Displaystyle M \ setminus \ OperatorName {int} (N_ {p})}$${\ Displaystyle M \ setminus \ OperatorName {int} (N_ {p})}$${\ displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ displaystyle M}$как объединение трех многообразий, склеенных по частям своих границ: 1) 2) и 3) дополнением открытой трубчатой ​​окрестности дуги в . Обратите внимание , все склейки являются гладкими отображениями, в частности , когда мы приклеить к отношению эквивалентности порождаются вложением в , который является гладким по теореме трубчатой окрестностей .${\ Displaystyle D ^ {m}}$${\ displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ Displaystyle M \ setminus \ OperatorName {int} (N_ {p})}$${\ displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ Displaystyle D ^ {m}}$${\ displaystyle (\ partial I) \ times D ^ {m-1}}$${\ displaystyle \ partial D ^ {m}}$

Разложение ручек - изобретение Стивена Смейла . ^[1] В его первоначальной формулировке процесс присоединения j- ручки к m -многообразию M предполагает, что имеется гладкое вложение . Пусть . Многообразие (словами, M объединение j- ручки вдоль f ) относится к несвязному объединению и отождествлению с его образом в , то есть:${\ displaystyle f: S ^ {j-1} \ times D ^ {mj} \ to \ partial M}$${\ displaystyle H ^ {j} = D ^ {j} \ times D ^ {mj}}$${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H ^ {j}}$${\ Displaystyle S ^ {j-1} \ times D ^ {mj}}$${\ displaystyle \ partial M}$

${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j} = \ left (M \ sqcup (D ^ {j} \ times D ^ {mj}) \ right) / \ sim}$

где отношение эквивалентности порождается для всех .${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$

Один говорит , что многообразие N получается из М путем присоединения J -handles , если объединение М с конечным числом J -handles диффеоморфен N . Тогда определение декомпозиции ручки такое же, как во введении. Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0 -ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть: 0-ручки и j- ручки для некоторого фиксированного j ), называется ручкой .

Терминология [ править ]

При формировании M- образного соединения j- образная ручка${\displaystyle H^{j}}$

${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$называется прикрепляющей сферой .

${\displaystyle f}$иногда называют оснащением прикрепляющей сферы, поскольку оно дает тривиализацию ее нормального расслоения .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$это ремень сфера ручки в .${\displaystyle H^{j}}$${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$

Многообразие , полученный путем присоединения г к -handles на диск представляет собой (т, к) -handlebody рода г .${\displaystyle D^{m}}$

Презентации кобордизма [ править ]

Представление ручки кобордизма состоит из кобордизма W где и восходящего объединения${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$

${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$

где М является т - мерное, W является т + 1 - мерное, диффеоморфен и получается из прикреплением я -handles. В то время как разложения по ручкам для многообразий аналогичны разложениям по ячейкам для топологических пространств, представления кобордизмов по ручкам для многообразий с краем аналогичны относительным разложениям по ячейкам для пар пространств.${\displaystyle W_{-1}}$${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle W_{i-1}}$

Теоретическая точка зрения Морса [ править ]

Учитывая функцию Морса на компактную Безграничности коллектора М , так что критические точки из F удовлетворяют условия , и при условии ,${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$

${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}}$,

тогда для всех j , диффеоморфно где I (j) - индекс критической точки . Индекс I (J) относится к измерению максимального подпространства касательного пространства , где Hessian отрицательно определена.${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T_{p_{j}}M}$

Если индексы удовлетворяют этим требованиям, это разложение M на ручки , более того, каждое многообразие имеет такие функции Морса, поэтому они имеют разложения на ручки. Аналогичным образом , с учетом кобордизма с и функцией , которая является Морзе на внутренний и постоянная на границе и удовлетворяющем растущий индекс собственность, имеется индуцированная ручка презентация кобордизма Вт .${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$

Когда f - функция Морса на M , -f также является функцией Морса. Соответствующее разложение / представление ручки называется двойственным разложением .

Некоторые основные теоремы и наблюдения [ править ]

• Хегор замкнутого, ориентируемого 3-многообразия является разложением 3 -многообразия в объединение два (3,1) -handlebodies вдоль их общей границы, называется расщепление поверхности Хегора. Расщепления Хегора возникают для 3- многообразий несколькими естественными способами: при разложении 3-многообразия на ручки объединение 0- и 1- ручек представляет собой (3,1) -тело ручки, а объединение 3 и 2 - handle также является (3,1) -тело ручки (с точки зрения двойственного разложения), таким образом, расщепление Хегора. Если 3 -многообразие имееттриангуляции T существует индуцированное расщепление Хегора, в котором первое (3,1) -тело ручки является регулярной окрестностью 1 -скелета , а другое (3,1) -тело ручки является регулярной окрестностью двойственного 1 -скелета .${\displaystyle T^{1}}$
• При последовательном присоединении двух ручек можно изменить порядок присоединения, при условии , что это многообразие диффеоморфно многообразию формы для подходящих прикрепляемых карт.${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$${\displaystyle j\leq i}$${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$
• Граница диффеоморфна волнам по обрамленной сфере . Это основное звено между хирургией , ручками и функциями Морзе.${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle f}$
• Как следствие, m -многообразие M является границей m + 1 -многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено с помощью перестройки набора оснащенных зацеплений в . Например, благодаря работам Рене Тома по кобордизму известно, что каждое 3- многообразие ограничивает 4 -многообразие (аналогично ориентированные и спиновые 3- многообразия, связанные ориентированные и спиновые 4 -многообразия соответственно) . Таким образом, каждое 3-многообразие может быть получено перестановкой оснащенных зацеплений в 3${\displaystyle S^{m}}$${\displaystyle S^{m}}$-сфера. В ориентированном случае это оснащенное звено принято сводить к оснащенному вложению несвязного объединения окружностей.
• Теорема о H-кобордизме доказывается путем упрощения разложений гладких многообразий на ручки.

См. Также [ править ]

• Ручка кассона
• Теория кобордизма
• CW комплекс
• Ручка
• Исчисление Кирби
• Разложение многообразия

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

• А. Косинский, Дифференциальные многообразия, том 138, Чистая и прикладная математика, Academic Press (1992).
• Роберт Гомпф и Андрас Стипсич, 4-многообразия и исчисление Кирби , (1999) (том 20 в аспирантуре по математике ), Американское математическое общество, Провиденс, RI ISBN  0-8218-0994-6