Ручка

Рукоятки третьего рода.

В математической области геометрической топологии , А крендель является разложение многообразия в стандартные куски. Крендели играют важную роль в теории Морса , теории кобордизмов и теории перестроек высокомолекулярных мерных многообразий. Ручки используются, в частности, для изучения 3-многообразий .

Рули играют такую ​​же роль в изучении многообразий, как симплициальные комплексы и комплексы CW в теории гомотопий , позволяя анализировать пространство с точки зрения отдельных частей и их взаимодействий.

n -мерные рули [ править ]

Если - -мерное многообразие с краем, и ${\ displaystyle (W, \ partial W)}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle S ^ {r-1} \ times D ^ {nr} \ subset \ partial W}$

(где представляет собой n-сферу, а является n-шаром ) - вложение, -мерное многообразие с краем${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle D ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\displaystyle (W',\partial W')=((W\cup (D^{r}\times D^{n-r})),(\partial W-S^{r-1}\times D^{n-r})\cup (D^{r}\times S^{n-r-1}))}$

считается полученным из

${\displaystyle (W,\partial W)}$

прикрепив ручку . Граница получается хирургическим путем . В качестве тривиальных примеров обратите внимание, что прикрепление 0-ручки - это просто несвязное объединение с шаром, а прикрепление n-ручки к приклеиванию шара вдоль любой составляющей сферы . Теория Морса использовалась Томом и Милнором, чтобы доказать, что каждое многообразие (с краем или без него) является ручным телом, что означает, что оно имеет выражение в виде объединения ручек. Выражение неуникально: манипуляции с декомпозициями ручек являются важным компонентом доказательства теоремы о h-кобордизме Смейла и ее обобщения на${\displaystyle r}$${\displaystyle \partial W'}$${\displaystyle \partial W}$${\displaystyle (W,\partial W)}$${\displaystyle \partial W}$ Теорема о s-кобордизме . Многообразие называется «k-ручкой», если оно представляет собой объединение r-ручек для r не более k. Это не то же самое, что размер коллектора. Например, 4-мерный корпус с 2 ручками представляет собой объединение 0-ручек, 1-ручек и 2-ручек. Любое многообразие является телом с n ручками, то есть любое многообразие является объединением ручек. Нетрудно увидеть, что многообразие является (n-1) -телом ручки тогда и только тогда, когда оно имеет непустую границу. Любое разложение многообразия на ручку определяет CW комплексдекомпозиция многообразия, поскольку присоединение r-ручки с точностью до гомотопической эквивалентности то же самое, что присоединение r-клетки. Однако разложение на ручку дает больше информации, чем просто гомотопический тип многообразия. Например, разложение на ручку полностью описывает многообразие с точностью до гомеоморфизма. В четвертом измерении они даже описывают гладкую структуру, если прикрепляемые карты гладкие. Это неверно в высших измерениях; любая экзотическая сфера - это объединение 0-ручки и n-ручки.

Трехмерные рули [ править ]

Тело ручки можно определить как ориентируемое трехмерное многообразие с границей, содержащее попарно непересекающиеся, правильно вложенные 2-диски, так что многообразие, полученное в результате разрезания вдоль дисков, представляет собой 3-шар. Поучительно представить, как изменить этот процесс, чтобы получить корпус ручки. (Иногда гипотеза ориентируемости отбрасывается из этого последнего определения, и получается ручка более общего вида с неориентируемой ручкой.)

Родом из кренделя является родом его граничной поверхности . С точностью до гомеоморфизма существует ровно одна ручка любого неотрицательного целого рода.

Важность тел руля в теории трехмерных многообразий проистекает из их связи с расщеплениями Хегора . Важность тел в геометрической теории групп проистекает из того факта, что их основная группа свободна.

Трехмерный корпус ручки иногда, особенно в более ранней литературе, называют кубом с ручками .

Примеры [ править ]

Пусть G - связный конечный граф, вложенный в евклидово пространство размерности n. Пусть V будет замкнутая регулярная окрестность из G в евклидовом пространстве. Тогда V - n-мерная ручка. Графа G называется позвоночник из V .

Любого рода нуль крендель является гомеоморфно к трехкомпонентному шару B ³ . Род один крендель является гомеоморфным к B ² × S ¹ (где S ¹ представляет собой окружность ) и называется твердым тором . Все остальные тела руля можно получить, взяв гранично связную сумму набора полноторий.

См. Также [ править ]

• Обработка разложения

Ссылки [ править ]

• Мацумото, Юкио (2002), Введение в теорию Морса , Переводы математических монографий, 208 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1022-4, MR  1873233