Экзотическая сфера

В дифференциальной топологии , экзотическая сфера является дифференцируемое многообразие М т гомеоморфно , но не диффеоморфно стандартной евклидовой п -сферы . То есть M - сфера с точки зрения всех своих топологических свойств, но несущая гладкую структуру, которая не является привычной (отсюда и название «экзотика»).

Первые экзотические сферы были построены Джон Милнором  ( 1956 ) в размерности , как - расслоения над . Он показал, что на 7-сфере существует не менее 7 дифференцируемых структур. В любой размерности Милнор (1959) показал, что классы диффеоморфизмов ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелевого моноида относительно связной суммы, который является конечной абелевой группой, если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер Мишелем Кервэр и Милнор ( 1963 ) показали, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами${\ displaystyle n = 7}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ displaystyle S ^ {4}}$ циклическая группа порядка 28 относительно операции связной суммы .

Введение [ править ]

Единица n -сферы,, - это набор всех ( n +1) наборов действительных чисел, таких что сумма . Например, это круг, а поверхность обычного шара радиуса один в 3 измерениях. Топологи рассмотреть пространство, X , чтобы быть п -сферой , если каждая точка в X может быть отнесена к одной точке в блоке п -сферы в непрерывном способе, что означает , что достаточно рядом точки в X получить присвоенную близлежащие точки наоборот. Например, точка x на n- сфере радиуса${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n + 1})}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{n}}$r можно сопоставить с точкой на единице n -сферы, изменив ее расстояние от начала координат на .${\displaystyle 1/r}$

В дифференциальной топологии добавляется более жесткое условие, что функции, сопоставляющие точки в X с точками в, должны быть гладкими , то есть везде должны иметь производные всех порядков. Для вычисления производных необходимо, чтобы локальные системы координат были последовательно определены в X${\displaystyle S^{n}}$. Математики были удивлены в 1956 году, когда Милнор показал, что согласованные системы координат могут быть установлены на 7-сфере двумя разными способами, которые были эквивалентны в непрерывном смысле, но не в дифференцируемом смысле. Милнор и другие начали пытаться выяснить, сколько таких экзотических сфер может существовать в каждом измерении, и понять, как они соотносятся друг с другом. Никакие экзотические структуры невозможны на 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- или 61-сферах. Некоторые сферы более высоких измерений имеют только две возможные дифференцируемые структуры, другие - тысячи. Существуют ли экзотические 4-сферы, и если да, то сколько - нерешенная проблема.

Классификация [ править ]

Моноид гладких структур на n- сферах - это совокупность ориентированных гладких n -многообразий, гомеоморфных n- сфере, с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма. Операция моноида - это связная сумма . При условии , эта моноид является группой и изоморфна группой из й -cobordism классов ориентированного гомотопности п - мерных сфер , которая является конечной и абелево. В размерности 4 о моноиде гладких сфер почти ничего не известно, за исключением того факта, что он конечен или счетно бесконечен и абелев, хотя предполагается, что он бесконечен; см. раздел о${\displaystyle n\neq 4}$${\displaystyle \Theta _{n}}$Глюк крутит . Все гомотопические n -сферы гомеоморфны n- сфере согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре , доказанной Стивеном Смейлом в размерности больше 4, Майклом Фридманом в размерности 4 и Григорием Перельманом в размерности 3. В размерности 3 Эдвин Э. Моис доказал что каждое топологическое многообразие имеет существенно уникальную гладкую структуру (см . теорему Моиса ), поэтому моноид гладких структур на 3-сфере тривиален.

Параллелизуемые многообразия [ править ]

В группе есть циклическая подгруппа${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

представлены n- сферами, ограничивающими параллелизуемые многообразия . Структуры и фактор${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

описаны отдельно в статье ( Kervaire & Milnor  1963 ), которая оказала влияние на развитие теории хирургии . Фактически, эти расчеты могут быть сформулированы на современном языке с точки зрения указанной здесь точной последовательности операций .

Группа является циклической группой и является тривиальной или порядка 2, за исключением случая , когда она может быть большой, и ее порядок связан с числами Бернулли . Это тривиально, если n четно. Если n равно 1 по модулю 4, он имеет порядок 1 или 2; в частности, он имеет порядок 1, если n равно 1, 5, 13, 29 или 61, и Уильям Браудер  ( 1969 ) доказал, что он имеет порядок 2, если mod 4 не имеет формы . Из почти полностью решенной проблемы инварианта Кервера следует, что она имеет порядок 2 для всех n больше 126; дело все еще открыто. Порядок для это${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 2^{k}-3}$${\displaystyle n=126}$${\displaystyle bP_{4k}}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}$

где B - числитель , а - число Бернулли . (Формула в топологической литературе немного отличается, потому что топологи используют другое соглашение для именования чисел Бернулли; в этой статье используется соглашение теоретиков чисел.)${\displaystyle 4B_{2k}/k}$${\displaystyle B_{2k}}$

Карта между частными [ править ]

Фактор-группа имеет описание в терминах стабильных гомотопических групп сфер по модулю образа J-гомоморфизма ; он либо равен частному, либо равен индексу 2. Точнее, существует инъективное отображение${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J}$,

где - n- я стабильная гомотопическая группа сфер, а J - образ J -гомоморфизма. Как и в случае , образ J является циклической группой и является тривиальной или порядка 2, за исключением случая , когда он может быть большим, и его порядок связан с числами Бернулли . Факторгруппа является «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер и, соответственно, жесткой частью экзотических сфер, но почти полностью сводится к вычислению гомотопических групп сфер. Отображение является либо изоморфизмом (изображение - это вся группа), либо инъективным отображением с индексом 2. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$n -мерное оснащенное многообразие с инвариантом Кервера 1, известное как проблема инварианта Кервера . Таким образом, коэффициент 2 при классификации экзотических сфер зависит от проблемы инварианта Кервера.

По состоянию на 2012 год ^[update]проблема инварианта Кервера почти полностью решена, и только случай остается открытым; подробности см. в этой статье. В первую очередь это работа Браудера (1969) , которая доказала, что такие многообразия существуют только в размерности , и Хилла, Хопкинса и Равенеля (2016) , которые доказали, что таких многообразий не существует для размерности и выше. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62, но размерность 126 открыта, и ни одно многообразие не было построено или опровергнуто.${\displaystyle n=126}$${\displaystyle n=2^{j}-2}$${\displaystyle 254=2^{8}-2}$

Порядок ${\displaystyle \Theta _{n}}$[ править ]

Порядок групп приведен в этой таблице (последовательность A001676 в OEIS ) из ( Kervaire & Milnor 1963 ) (за исключением того, что запись для неверна в два раза в их статье; см. Исправление в томе III, стр. 97 собрания сочинений Милнора).${\displaystyle \Theta _{n}}$${\displaystyle n=19}$

Dim n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
порядок ${\displaystyle \Theta _{n}}$	1	1	1	1	1	1	28 год	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
${\displaystyle bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	28 год	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2 × 2	6	1	1	3	2	2	2	2 × 2 × 2	8 × 2	2	24
${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$	1	2	1	1	1	2	1	2	2 × 2	6	1	1	3	2 × 2	2	2	2 × 2 × 2	8 × 2	2	24
индекс	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Обратите внимание, что для dim n = 4 k - 1, тогда Θ _n равны 28 = 2 ² (2 ³ - 1), 992 = 2 ⁵ (2 ⁵ - 1), 16256 = 2 ⁷ (2 ⁷ - 1) и 523264 = 2 ¹⁰ (2 ⁹ - 1). Дальнейшие записи в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических групп сфер .

Вычислениями стабильных гомотопических групп сфер Wang & Xu (2017) доказывают, что сфера S ⁶¹ имеет уникальную гладкую структуру, и это последняя нечетномерная сфера - единственными являются S ¹ , S ³ , S ⁵ и С ⁶¹ .

Явные примеры экзотических сфер [ править ]

Когда я наткнулся на такой пример в середине 50-х, я был очень озадачен и не знал, что с ним делать. Сначала мне показалось, что я нашел контрпример к обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности семь. Но тщательное изучение показало, что многообразие действительно гомеоморфно . Таким образом, существует дифференцируемая структура, не диффеоморфная стандартной.${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{7}}$

Джон Милнор ( 2009 , стр.12)

Конструкция Милнора [ править ]

Одним из первых примеров экзотической сферы, обнаруженной Милнором (1956 , раздел 3), был следующий. Пусть B 4 будет единичным шаром внутри и пусть будет его границей - 3-сферой, которую мы отождествляем с группой единичных кватернионов . Теперь возьмите две копии , каждая с границей , и склейте их вместе, обозначив на первой границе с помощью второй границы. Полученное многообразие имеет естественную гладкую структуру и гомеоморфно , но не диффеоморфно${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{7}}$. Милнор показал, что оно не является границей любого гладкого 8-многообразия с исчезающим 4-м числом Бетти и не имеет обращающего ориентацию диффеоморфизма к самому себе; любое из этих свойств означает, что это не стандартная 7-сфера. Милнор показал, что это многообразие имеет функцию Морса только с двумя невырожденными критическими точками , из чего следует, что оно топологически является сферой.

Сферы Брискорна [ править ]

Как показал Эгберт Брискорн  ( 1966 , 1966b ) (см. Также ( Hirzebruch & Mayer 1968 )), пересечение комплексного многообразия точек при выполнении${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }$

с небольшой сферой вокруг начала координат дает все 28 возможных гладких структур на ориентированной 7-сфере. Подобные многообразия называются сферами Брискорна .${\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}$

Скрученные сферы [ править ]

Для диффеоморфизма (сохраняющего ориентацию) склейка границ двух копий стандартного диска с помощью f дает многообразие, называемое скрученной сферой (с твистом f ). Это гомотопически эквивалентно стандартной n -сфере, потому что отображение склейки гомотопно тождеству (сохраняющему ориентацию диффеоморфизму, следовательно, степень 1), но в общем случае не диффеоморфно стандартной сфере. ( Милнор 1959b ) Принимая это за группу скрученных n- сфер (под связной суммой), получаем точную последовательность${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0}$.

В самом деле , каждая экзотическая n- сфера диффеоморфна скрученной сфере - результат, доказанный Стивеном Смейлом, который можно рассматривать как следствие теоремы о h- кобордизме . (Напротив, в кусочно-линейной установке крайнее левое отображение находится на радиальном расширении : каждая кусочно-линейно-скрученная сфера является стандартной.) Группа скрученных сфер всегда изоморфна группе . Обозначения различны, потому что сначала не было известно, что они одинаковы для or 4; например, случай эквивалентен гипотезе Пуанкаре .${\displaystyle n>5}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle \Theta _{n}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=3}$

В 1970 году Жан Серф доказал теорему о псевдоизотопии, из которой следует, что тривиальная группа предоставлена и, следовательно, предоставлена .${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}$${\displaystyle n\geq 6}$${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}$${\displaystyle n\geq 6}$

Приложения [ править ]

Если M - кусочно линейное многообразие, то проблема нахождения согласованных гладких структур на M зависит от знания групп Γ _k = Θ _k . Точнее, препятствия к существованию любой гладкой структуры лежат в группах H _{k + 1} ( M , Γ _k ) для различных значений k , а если такая гладкая структура существует, то все такие гладкие структуры можно классифицировать с помощью групп H _k ( M , Γ _k ) . В частности , группы Г _к равны нулю , еслиk <7 , поэтому все PL-многообразия размерности не более 7 имеют гладкую структуру, которая по существу уникальна, если размерность многообразия не превышает 6.

Следующие конечные абелевы группы по существу одинаковы:

• Группа Θ _n классов h-кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер.
• Группа классов h-кобордизмов ориентированных n -сфер.
• Группа Γ _n скрученных ориентированных n -сфер.
• Гомотопическая группа π _n (PL / DIFF)
• Если n ≠ 3 , гомотопия π _n (TOP / DIFF) (при n = 3 эта группа имеет порядок 2; см. Инвариант Кирби – Зибенмана ).
• Группа гладких структур ориентированной PL n -сферы.
• Если n 4 , группа гладких структур ориентированной топологической n -сферы.
• Если n 5 , группа компонент группы всех сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S ^{n −1} .

4-х мерные экзотические сферы и глюковские повороты [ править ]

В четырехмерном измерении неизвестно, есть ли на четырехмерной сфере какие-либо экзотические гладкие структуры. Утверждение, что их не существует, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре» и обсуждается Майклом Фридманом , Робертом Гомпфом и Скоттом Моррисоном и др. ( 2010 ), которые утверждают, что это ложь.

Некоторыми кандидатами, предложенными для экзотических 4-сфер, являются сферы Каппелла – Шейнсона ( Сильвен Каппелл и Джулиус Шейнсон  ( 1976 )) и те, которые получены с помощью твистов Глюка ( Глюк, 1962 ). Твист-сферы Глюка строятся путем вырезания трубчатой ​​окрестности 2-сферы S в S ⁴ и ее склеивания обратно с помощью диффеоморфизма ее границы S ² × S ¹ . Результат всегда гомеоморфен S ⁴ . Многие случаи за прошедшие годы были исключены как возможные контрпримеры к гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре. Например, Кэмерон Гордон ( 1976 ), Хосе Монтесинос ( 1983 ), Стивен П. Плотник ( 1984 ), Гомпф (1991) , Хабиро, Марумото и Ямада (2000) , Селман Акбулут  ( 2010 ), Гомпф (2010) , Ким и Ямада (2017) .

См. Также [ править ]

• Атлас (топология)
• Сцепление конструкции
• Экзотический R 4
• Теория серфа
• Семимерное пространство

Ссылки [ править ]

• Akbulut, Селман (2010), "Кэппела-Шейнсона гомотопические сферы являются стандартными", Анналы математики , 171 (3): 2171-2175, Arxiv : 0907,0136 , DOI : 10,4007 / annals.2010.171.2171
• Брискорн, Эгберт В. (1966), "Примеры сингулярных нормальных комплексных пространств, которые являются топологическими многообразиями", Труды Национальной академии наук , 55 (6): 1395–1397, Bibcode : 1966PNAS ... 55.1395B , doi : 10.1073 / pnas.55.6.1395 , MR  0198497 , PMC  224331 , PMID  16578636
• Брискорн, Эгберт (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Математика. , 2 (1): 1–14, Bibcode : 1966InMat ... 2 .... 1B , doi : 10.1007 / BF01403388 , MR  0206972
• Браудер, Уильям (1969), "Кервер инвариант оснащенных многообразий и ее обобщение", Анналы математики , 90 (1): 157-186, DOI : 10,2307 / 1970686 , JSTOR  1970686 , МР  0251736
• Cappell, Sylvain E .; Шейнсона, Julius L. (1976), "Некоторые новые четыре-многообразия", Анналы математики , 104 (1): 61-72, DOI : 10,2307 / 1971056 , JSTOR  1971056
• Фридман, Майкл ; Гомпф, Роберт; Моррисон, Скотт; Уокер, Кевин (2010), «Человек и машина, размышляющие о гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре», Квантовая топология , 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171 / qt / 5
• Глюк Герман (1962), "Вложение двух сфер в четыре сферы", Труды Американского математического общества , 104 (2): 308-333, DOI : 10,2307 / 1993581 , JSTOR  1993581 , MR  0146807
• Хьюз, Марк; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги (2018), Глюк : Твисты S ⁴ диффеоморфны S ⁴ , arXiv : 1804.09169v1
• Gompf, Роберт E (1991), "Убийство Akbulut-Кирби 4-сферы, которые имеют отношение к проблемам Andres-Куртиса и Шенфлиса", Топология , 30 : 123-136, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (91) 90036- 4
• Гомпф, Роберт Э. (2010), «Больше сфер Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Алгебраическая и геометрическая топология , 10 (3): 1665–1681, arXiv : 0908.1914 , doi : 10.2140 / agt.2010.10.1665
• Гордон, Кэмерон Мака. (1976), "Узлы в 4-сфере", Commentarii Mathematici Helvetici , 51 : 585-596, DOI : 10.1007 / BF02568175
• Хабиро, Кадзуо; Марумото, Ёсихико; Ямада, Юичи (2000), «Хирургия Глюка и оснащенные зацепления в 4-многообразиях», Серия по узлам и всему остальному , World Scientific, 24 : 80–93, ISBN 978-9810243401
• Хилл, Майкл А .; Хопкинс, Майкл Дж .; Равенел, Дуглас С. (2016) [Впервые опубликовано как arXiv 2009]. «О несуществовании элементов инвариантной единицы Кервера». Анналы математики . 184 (1): 1–262. arXiv : 0908.3724 . DOI : 10.4007 / annals.2016.184.1.1 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Хирцебрух, Фридрих; Майер, Карл Хайнц (1968), O (n) -Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , Lecture Notes по математике, 57 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0074355 , ISBN 978-3-540-04227-3, MR  0229251 В этой книге описываются работы Брискорна, связывающие экзотические сферы с особенностями комплексных многообразий.
• Kervaire, Michel A .; Милнор, Джон В. (1963). "Группы гомотопических сфер: I" (PDF) . Анналы математики . 77 (3): 504–537. DOI : 10,2307 / 1970128 . JSTOR  1970128 . Руководство по ремонту  0148075 .- Эта статья описывает структуру группы гладких структур на n -сфере для n > 4. К сожалению, обещанная статья "Группы гомотопических сфер: II" так и не появилась, но в лекционных заметках Левина содержится материал, которым она могла быть. ожидается содержать.
• Ким, Мин Хун; Ямада, Шохей (2017), Идеальные классы и гомотопические 4-сферы Каппелла-Шейнсона , arXiv : 1707.03860v1
• Левин, Джером П. (1985), "Лекции по группам гомотопических сфер", Алгебраическая и геометрическая топология , Лекции по математике, 1126 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 62–95, doi : 10.1007 / BFb0074439 , ISBN 978-3-540-15235-4, Руководство по ремонту  8757031
• Милнор, Джон У. (1956), "О многообразиях , гомеоморфных 7-сфере", Анналы математики , 64 (2): 399-405, DOI : 10,2307 / 1969983 , JSTOR  1969983 , MR  0082103 , S2CID  18780087
• Милнор, Джон В. (1959), «Различные варианты различных сфер и различные структуры», Bulletin de la Société Mathématique de France , 87 : 439–444, doi : 10.24033 / bsmf.1538 , MR  0117744
• Милнор, Джон У. (1959б), "дифференцируемые структуры на сферах", Американский журнал математики , 81 (4): 962-972, DOI : 10,2307 / 2372998 , JSTOR  2372998 , MR  0110107
• Милнор, Джон (2000), «Классификация -связных -мерных многообразий и открытие экзотических сфер», в Cappell, Sylvain ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан (ред.), Обзоры по теории хирургии: Том 1 , Анналы математических исследований 145, Princeton University Press, стр. 25–30, ISBN${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2n}$ 9780691049380, Руководство по ремонту  1747528.
• Милнор, Джон Уиллард (2009), «Пятьдесят лет назад: топология многообразий в 50-х и 60-х годах» (PDF) , в Mrowka, Tomasz S .; Озсват, Питер С. (ред.), Низкоразмерная топология. Конспект лекций 15-й летней школы для выпускников Математического института Парк-Сити (PCMI), проведенной в Парк-Сити, штат Юта, летом 2006 г. , IAS / Park City Math. Сер., 15 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, Руководство по ремонту  2503491
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809
• Монтесинос, Хосе М. (1983), "О близнецов в четыре-шара I" (PDF) , Ежеквартальный журнал математики , 34 (6): 171-199, DOI : 10,1093 / qmath / 34.2.171
• Плотник, Стивен П. (1984), Гордон, Кэмерон Мака. (ред.), Волокнистые узлы в скручивании, вращении, скручивании, хирургии и ветвлении${\displaystyle S^{4}}$ , Американское математическое общество, Современная математика, том 35, стр. 437–459, ISBN 978-0-8218-5033-6.
• Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-стержня в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics , 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007 / annals.2017.186.2.3 , Руководство по ремонту  3702672.
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], "Сфера Милнора" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Экзотические сферы на атласе многообразия
• Домашняя страница экзотической сферы на главной странице Эндрю Раницки. Подборка исходных материалов, относящихся к экзотическим сферам.
• Анимация экзотических семи сфер Видео с презентации Найлса Джонсона на Второй конференции Абеля в честь Джона Милнора .
• Конструкция Глюка на Атласе многообразий