Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , дифференциальная топология является полем борьбы с дифференцируемыми функциями на дифференцируемых многообразиях . Это тесно связано с дифференциальной геометрией, и вместе они составляют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий .

Описание [ править ]

Дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, для определения которых требуется только гладкая структура на многообразии. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут действовать как препятствия для определенных типов эквивалентностей и деформаций , существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сплющить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться исказить пространство и повлиять на кривизну или объем. [ необходима цитата ]

С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические . Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы имеют более одной гладкой структуры - см. Экзотическая сфера и теорема Дональдсона . Мишель Кервер показал топологические многообразия без гладкой структуры. [1] Некоторые конструкции гладкой теории многообразия, такие как наличие касательных расслоений , [2] может быть сделано в топологическом обстановке с гораздо больше работы, и другие не могут.

Одна из основных тем в дифференциальной топологии - это изучение специальных видов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и субмерсий , а также пересечений подмногообразий через трансверсальность . В более общем плане интересуются свойствами и инвариантами гладких многообразий, которые переносятся диффеоморфизмами , другим специальным видом гладких отображений. Теория Морса еще одна ветвь дифференциальной топологии, в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений в ранге от якобиан функции.

Список тем о дифференциальной топологии см. В следующей ссылке: Список тем о дифференциальной геометрии .

Дифференциальная топология против дифференциальной геометрии [ править ]

Дополнительная информация: Геометрия и топология

Дифференциальная топология и дифференциальная геометрия в первую очередь характеризуются сходством . Оба они изучают в первую очередь свойства дифференцируемых многообразий, иногда с множеством наложенных на них структур.

Анимация превращения чашки кофе в пончик

Одно из основных различий заключается в характере проблем, которые пытается решить каждый субъект. С одной точки зрения, [3] дифференциальная топология отличается от дифференциальной геометрии тем, что изучает в первую очередь те проблемы, которые по своей сути являются глобальными . Рассмотрим на примере чашку кофе и пончик. С точки зрения дифференциальной топологии пончик и кофейная чашка - это одно и то же (в некотором смысле). Тем не менее, это по своей сути глобальный взгляд, потому что у дифференциального тополога нет возможности определить, являются ли два объекта одинаковыми (в этом смысле), глядя только на крошечный ( локальный ) фрагмент любого из них. У них должен быть доступ ко всем ( глобальным ) объектам.

С точки зрения дифференциальной геометрии кофейная чашка и пончик отличаются, потому что невозможно повернуть кофейную чашку таким образом, чтобы ее конфигурация соответствовала конфигурации пончика. Это тоже глобальный взгляд на проблему. Но важное отличие состоит в том, что геометру не нужен весь объект, чтобы решить это. Взглянув, например, на крошечный кусок ручки, они могут решить, что кофейная чашка отличается от пончика, потому что ручка тоньше (или более изогнута), чем любой кусок пончика.

Говоря кратко, дифференциальная топология изучает структуры на многообразиях, которые в определенном смысле не имеют интересной локальной структуры. Дифференциальная геометрия изучает структуры на многообразиях, которые действительно имеют интересную локальную (или иногда даже бесконечно малую) структуру.

С математической точки зрения, например, проблема построения диффеоморфизма между двумя многообразиями одной и той же размерности по своей сути глобальна, поскольку локально два таких многообразия всегда диффеоморфны. Точно так же проблема вычисления величины на многообразии, инвариантной относительно дифференцируемых отображений, по своей сути является глобальной, поскольку любой локальный инвариант будет тривиален в том смысле, что он уже представлен в топологии . Более того, дифференциальная топология не обязательно ограничивается изучением диффеоморфизма. Например, симплектическая топология - подветвь дифференциальной топологии - изучает глобальные свойства симплектических многообразий.. Дифференциальная геометрия занимается проблемами - которые могут быть локальными или глобальными, - которые всегда имеют некоторые нетривиальные локальные свойства. Таким образом, дифференциальная геометрия может изучать дифференцируемые многообразия, снабженные связностью , метрикой (которая может быть римановой , псевдоримановой или финслеровой ), распределением особого вида (например, CR-структурой ) и т. Д.

Однако это различие между дифференциальной геометрией и дифференциальной топологией размывается в вопросах, конкретно относящихся к локальным инвариантам диффеоморфизма, таким как касательное пространство в точке. Дифференциальная топология также имеет дело с подобными вопросами, которые конкретно относятся к свойствам дифференцируемых отображений на (например, касательное расслоение , струйные расслоения , теорема Уитни о продолжении и т. Д.).

Различие кратко в абстрактных терминах:

  • Дифференциальная топология - это изучение (бесконечно малых, локальных и глобальных) свойств структур на многообразиях, которые имеют только тривиальные локальные модули .
  • Дифференциальная геометрия - это такое исследование структур на многообразиях, которые имеют один или несколько нетривиальных локальных модулей.

См. Также [ править ]

  • Список тем по дифференциальной геометрии
  • Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
  • Важные публикации по дифференциальной геометрии
  • Важные публикации по дифференциальной топологии
  • Базовое введение в математику искривленного пространства-времени

Примечания [ править ]

  1. ^ Кервэр 1960
  2. ^ Lashof 1972
  3. ^ Хирш 1997

Ссылки [ править ]

  • Блох, Итан Д. (1996). Первый курс геометрической топологии и дифференциальной геометрии . Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3840-5.
  • Хирш, Моррис (1997). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
  • Лашоф, Ричард (декабрь 1972 г.). «Касательное расслоение топологического многообразия». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1090–1096. DOI : 10.2307 / 2317423 . JSTOR  2317423 .
  • Кервер, Мишель А. (декабрь 1960 г.). «Многообразие, не допускающее дифференцируемой структуры». Commentarii Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. DOI : 10.1007 / BF02565940 .

Внешние ссылки [ править ]

  • "Дифференциальная топология" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]