Связь (математика)

В геометрии понятие связи уточняет идею передачи данных по кривой или семейству кривых параллельным и согласованным образом. В современной геометрии существуют различные виды связей, в зависимости от того, какие данные нужно транспортировать. Например, аффинная связь , самый элементарный тип связи, дает средство для параллельного переноса касательных векторов на многообразии из одной точки в другую по кривой. Аффинная связь обычно задается в форме ковариантной производной , которая дает средства для получения производных по направлениям векторных полей, измерения отклонениявекторное поле от параллельности в заданном направлении.

Связи имеют центральное значение в современной геометрии в значительной степени потому, что они позволяют сравнивать локальную геометрию в одной точке и локальную геометрию в другой точке. Дифференциальная геометрия включает несколько вариаций на тему связи, которые делятся на две основные группы: бесконечно малые и локальные теории. Локальная теория занимается в первую очередь понятиями параллельного переноса и голономии . Теория бесконечно малых занимается дифференциацией геометрических данных. Таким образом, ковариантная производная - это способ задания производной векторного поля вдоль другого векторного поля на многообразии. Соединение Картанаэто способ сформулировать некоторые аспекты теории связности с использованием дифференциальных форм и групп Ли . Эресмана соединение представляет собой соединение в пучке волокон или главное расслоение , указав разрешенные направления движения поля. Кошуля соединение представляет собой соединение , которое определяет направления производной для сечений векторного расслоения более общего , чем касательное расслоение.

Соединения также приводят к удобным составам геометрических инвариантов , такие как кривизна (смотрите также тензор кривизны и форму кривизны ), и тензор кручения .

Мотивация: непригодность координат [ править ]

Параллельный транспорт (черная стрелка) на сфере. Синие и красные стрелки обозначают параллельные перевозки в разных направлениях, но заканчивающиеся в одной и той же нижней правой точке. Тот факт, что они в конечном итоге направлены в разные стороны, является результатом кривизны сферы.

Рассмотрим следующую проблему. Предположим, что касательный вектор к сфере S задан на северном полюсе, и мы должны определить способ последовательного перемещения этого вектора к другим точкам сферы: средство для параллельного перемещения . Наивно, что это можно было сделать с помощью определенной системы координат.. Однако без должной осторожности параллельный перенос, определенный в одной системе координат, не согласуется с перемещением в другой системе координат. Более подходящая система параллельной транспортировки использует симметрию вращающейся сферы. Учитывая вектор на северном полюсе, можно переносить этот вектор по кривой, вращая сферу таким образом, чтобы северный полюс двигался по кривой без осевого качения. Это последнее средство параллельного транспорта - соединение Леви-Чивита на сфере. Если даны две разные кривые с одной и той же начальной и конечной точкой, и вектор v жестко перемещается вдоль первой кривой путем поворота, результирующий вектор в конечной точке будет отличаться отвектор, полученный в результате жесткого перемещения v по второй кривой. Это явление отражает кривизну сферы. Простое механическое устройство, которое можно использовать для визуализации параллельного перемещения, - это колесница, указывающая на юг .

Например, предположим, что S - сфера, координаты которой заданы стереографической проекцией . Считайте S состоящим из единичных векторов в R ³ . Затем S несет пару координатных пятен, соответствующих проекциям северного и южного полюсов. Отображения

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi _ {0} (x, y) & = \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ гидроразрыв {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {1-x ^ {2} -y ^ {2}} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) \\ [8pt] \ varphi _ {1} (x, y) & = \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}} }, {\ frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2} -1} {1 + x ^ {2 } + y ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}$

покрывают окрестность U ₀ северного полюса и U ₁ южного полюса соответственно. Пусть X , Y , Z - окружающие координаты в R ³ . Тогда φ ₀ и φ ₁ имеют обратные

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}}$

так что функция перехода координат является инверсией по кругу :

${\displaystyle \varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Теперь представим векторное поле на S (назначение касательного вектора к каждой точке в S) в локальных координатах. Если Р является точкой U ₀ ⊂ S , то векторное поле может быть представлены прямым образом векторного поля V ₀ на R ² по :${\displaystyle v}$${\displaystyle \varphi _{0}}$

${\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\qquad (1)}$

где обозначает матрицу Якоби ф ₀ ( ), и V ₀  =  V ₀ ( х ,  у ) является векторное поле на R ² однозначно определяется V (так как прямой образ из локального диффеоморфизме в любой точке обратим). Кроме того, на перекрытии между картами координат U ₀ ∩ U ₁ можно представить одно и то же векторное поле относительно координат φ ₁ :${\displaystyle J_{\varphi _{0}}}$${\displaystyle d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }}$

${\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).\qquad (2)}$

Чтобы связать компоненты v ₀ и v ₁ , примените цепное правило к тождеству φ ₁ = φ ₀ o φ ₀₁ :

${\displaystyle J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).\,}$

Применяя обе части этого матричного уравнения к компонентному вектору v ₁ (φ ₁ ⁻¹ ( P )) и применяя (1) и (2), получаем

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).\qquad (3)}$

Теперь мы подошли к основному вопросу о том, как перемещать векторное поле параллельно вдоль кривой. Предположим , что Р ( т ) представляет собой кривую в S . Наивно, можно считать векторное поле параллельным, если компоненты координат векторного поля постоянны вдоль кривой. Однако сразу возникает двусмысленность: в какой системе координат эти компоненты должны быть постоянными?

Например, предположим, что v ( P ( t )) имеет постоянные компоненты в системе координат U ₁ . То есть функции v ₁ ( φ ₁ ⁻¹ ( P ( t ))) постоянны. Однако применение правила произведения к (3) и использование того факта, что d v ₁ / dt = 0 дает

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right).}$

Но всегда является невырожденной матрицей (при условии, что кривая P ( t ) не является стационарной), поэтому v ₁ и v ₀ не могут быть одновременно постоянными вдоль кривой.${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)}$

Разрешение [ править ]

Проблема, отмеченная выше, заключается в том, что обычная производная по направлению векторного исчисления плохо себя ведет при изменениях в системе координат, когда применяется к компонентам векторных полей. Из-за этого довольно сложно описать, как переводить векторные поля параллельно, если в действительности такое понятие вообще имеет смысл. Есть два принципиально разных пути решения этой проблемы.

Первый подход заключается в изучении того, что требуется для обобщения производной по направлению, чтобы «вести себя хорошо» при координатных переходах. Это тактика ковариантного производного подхода к связям: хорошее поведение приравнивается к ковариантности . Здесь рассматривается модификация производной по направлению с помощью определенного линейного оператора , компоненты которого называются символами Кристоффеля , который не включает производных от самого векторного поля. Производная по направлению D _u v компонент вектора v в системе координат φ в направлении u заменяется ковариантной производной:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }=D_{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }+\Gamma (\varphi )\{{\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\}}$

где Γ зависит от системы координат φ и является билинейной по u и v . В частности, Γ не содержит производных по u или v . В этом подходе Γ должна преобразовываться заданным образом, когда система координат φ изменяется на другую систему координат. Это преобразование не является тензорным , поскольку в нем участвует не только первая производная координатного перехода, но и его вторая производная . Задания закона преобразования Γ недостаточно для однозначного определения Γ. Должны быть наложены некоторые другие условия нормировки, обычно в зависимости от типа рассматриваемой геометрии. ВРиманова геометрия , связь Леви-Чивиты требует совместимости символов Кристоффеля с метрикой (а также определенного условия симметрии). С этими нормализацией соединение определяется однозначно.

Второй подход - использовать группы Ли, чтобы попытаться уловить какой-то остаток симметрии в пространстве. Это подход Картановских связей . Приведенный выше пример с использованием вращений для указания параллельного переноса векторов на сфере очень похож на это.

Исторический обзор связей [ править ]

Исторически связи изучались с бесконечно малой точки зрения в римановой геометрии . Изучение бесконечно малых связей в некоторой степени началось с Элвина Кристоффеля . Позднее этот вопрос был более подробно рассмотрен Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита ( Levi-Civita & Ricci 1900 ), которые частично заметили, что связь в бесконечно малом смысле Кристоффеля также допускает понятие параллельного переноса .

Работа Леви-Чивита была сосредоточена исключительно на рассмотрении связей как разновидности дифференциального оператора , параллельные перемещения которого были тогда решениями дифференциальных уравнений . По мере развития двадцатого века Эли Картан разработал новое понятие связи. Он стремился применить методы систем Пфаффа к геометриям программы Феликса Кляйна на Эрлангене . В этих исследованиях он обнаружил, что определенное бесконечно малое понятие связи (связь Картана ) может применяться к этим геометриям и многим другим: его концепция связи допускает наличие кривизны.которые в противном случае отсутствовали бы в классической геометрии Клейна. (См., Например, ( Cartan 1926 ) и ( Cartan 1983 ).) Кроме того, используя динамику Гастона Дарбу , Картан смог обобщить понятие параллельного переноса для своего класса бесконечно малых связей. Это установило еще одну важную тему в теории связей: связь - это определенный вид дифференциальной формы .

Две нити в теории связи сохраняются до сих пор: связь как дифференциальный оператор и связь как дифференциальная форма. В 1950 году Жан-Луи Кошул ( Koszul 1950 ) дал алгебраическую основу для рассмотрения связности как дифференциального оператора с помощью связности Кошуля . Связь Кошуля была более общей, чем связь Леви-Чивита, и с ней было легче работать, потому что она, наконец, смогла устранить (или, по крайней мере, скрыть) неудобные символы Кристоффеля.из формализма связи. Сопутствующие операции параллельного смещения также имели естественную алгебраическую интерпретацию в терминах связи. Определение Кошуля впоследствии было принято большей частью сообщества дифференциальной геометрии, поскольку оно эффективно преобразовало аналитическое соответствие между ковариантным дифференцированием и параллельным переносом в алгебраическое .

В том же году Чарльз Эресманн ( Ehresmann, 1950 ), ученик Картана, представил вариант связи как вид дифференциальной формы в контексте основных расслоений и, в более общем смысле, расслоений слоев . Связи Эресмана , строго говоря, не были обобщением связей Картана. Связности Картана были довольно жестко привязаны к основной дифференциальной топологии многообразия из-за их связи с методом эквивалентности Картана . Связи Эресмана были довольно прочной основой для просмотра основополагающих работ других геометров того времени, таких как Шиинг-Шен Черн., которые уже начали отходить от картановских соединений, чтобы изучить то, что можно было бы назвать калибровочными связями . С точки зрения Эресмана, связь в главном расслоении состоит из спецификации горизонтальных и вертикальных векторных полей на общем пространстве расслоения. Параллельный перенос - это подъем кривой от основания до кривой в основном горизонтальном пучке. Эта точка зрения оказалась особенно ценной при изучении голономии .

Возможные подходы [ править ]

• Довольно прямой подход заключается в определении того, как ковариантная производная действует на элементах модуля из векторных полей в качестве дифференциального оператора . В более общем плане аналогичный подход применяется для соединений в любом векторном пучке .
• Традиционная индексная нотация определяет соединение по компонентам; см. символы Кристоффеля . ( Примечание : это имеет три индекса, но не тензор ).
• В псевдориманово и римановой геометрии связность Леви-Чивита особая связь , связанный с метрическим тензором .
• Это примеры аффинных связей . Существует также концепция проективной связи , примером которой является производная Шварца в комплексном анализе . В более общем смысле, как аффинные, так и проективные связи являются типами связностей Картана .
• Используя главные расслоения , соединение может быть реализовано как алгебра Ли -значная дифференциальную форму . См. Подключение (основной комплект) .
• Подход к соединениям, который напрямую использует понятие передачи «данных» (что бы это ни было), - это соединение Эресмана .
• Наиболее абстрактный подход может быть предложен Александром Гротендиком , где связь Гротендика рассматривается как данные спуска из бесконечно малых окрестностей диагонали ; см. ( Оссерман 2004 ).

См. Также [ править ]

• Аффинная связь
• Картановое соединение
• Связь Эресманна
• Леви-Чивита связь
• Форма подключения
• Связь (расслоенное многообразие)
• Подключение (основной комплект)
• Подключение (векторный набор)
• Подключение (аффинный пучок)
• Подключение (составной пакет)
• Связь (алгебраическая структура)
• Калибровочная теория (математика)

Ссылки [ править ]

• Леви-Чивита, Т .; Риччи, Г. (1900), "Méthodes де Расчитать différentiel Absolu и др Leurs приложения" , Mathematische Annalen , 54 (1-2): 125-201, DOI : 10.1007 / BF01454201
• Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033 / bsmf.1053
• Картана, Эли (1926), "Les Groupes d'holonomie де ESPACES обобщающий", Acta Mathematica , 48 (1-2): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02629755
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
• Эресманн, К. (1950), Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable , Colloque de Toplogie, Брюссель, стр. 29–55.
• Koszul, JL (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033 / bsmf.1410
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Связь" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Оссерман, B. (2004), Connections, кривизна, р-кривизна (PDF) , в архив от оригинала (PDF) на 2006-12-21 , извлекаются 2007-02-04
• Mangiarotti, L .; Сарданашвили Г. (2000), Связи в классической и квантовой теории поля , World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
• Морита, Шигеюки (2001), Геометрия дифференциальных форм , AMS, ISBN 0-8218-1045-6

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с подключением (математика) на Викискладе?
• Соединения в Manifold Atlas