В математике , более конкретно в дифференциальной топологии , локальный диффеоморфизм интуитивно представляет собой отображение между гладкими многообразиями , сохраняющее локальную дифференцируемую структуру . Формальное определение локального диффеоморфизма дается ниже.
Формальное определение [ править ]
Пусть X и Y - дифференцируемые многообразия . функция
является локальным диффеоморфизмом , если для каждой точки x в X существует открытое множество U, содержащее x , такое, что
открыт в Y и
является диффеоморфизмом .
Локальный диффеоморфизм представляет собой частный случай погружения F от X к Y , где изображение F ( U ) из U при F локально имеет дифференциальную структуру подмногообразия в Y . Тогда F ( U ) и Х может иметь меньшую размерность , чем Y .
Обсуждение [ править ]
Например, хотя все многообразия выглядят локально одинаково (как R n для некоторого n ) в топологическом смысле, естественно спросить, ведут ли их дифференцируемые структуры локально одинаково. Например, можно наложить на R две различные дифференцируемые структуры, которые превращают R в дифференцируемое многообразие, но обе структуры не являются локально диффеоморфными (см. Ниже). Хотя локальные диффеоморфизмы локально сохраняют дифференцируемую структуру, необходимо иметь возможность «заделать» эти (локальные) диффеоморфизмы, чтобы гарантировать, что область является всем (гладким) многообразием . Например, не может быть локального диффеоморфизма 2-сферы вЕвклидово 2-пространство, хотя они действительно имеют одинаковую локальную дифференцируемую структуру. Это потому, что все локальные диффеоморфизмы непрерывны , непрерывный образ компактного пространства компактен, сфера компактна, а евклидово 2-пространство - нет.
Свойства [ править ]
- Каждый локальный диффеоморфизм также является локальным гомеоморфизмом и, следовательно, открытым отображением .
- Локальный диффеоморфизм имеет постоянный ранг в п .
- Диффеоморфизм является биективен локальным диффеоморфизмом.
- Гладкое накрытие является локальным диффеоморфизмом таким образом, что каждая точка цели имеет окрестность , которая равномерно покрыт на карте.
- Согласно теореме обратной функции , гладкое отображение F : M → N является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда , когда производная Df р : Т р М → Т е ( р ) Н является линейным изоморфизмом для всех точек р в М . Обратите внимание, что это означает, что M и N должны иметь одинаковую размерность.
Диффеоморфизмы локальных потоков [ править ]
![[икона]](/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small} | Этот раздел пуст. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Июль 2010 г. ) |
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Мичор, Питер У. (2008), Темы по дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , 93 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2003-2, MR 2428390.
