Теорема об обратной функции

В математике , особенно в дифференциальном исчислении , теорема об обратной функции дает достаточное условие для того, чтобы функция была обратимой в окрестности точки в ее области определения : а именно, что ее производная непрерывна и не равна нулю в этой точке . Теорема дает формулу для производной от обратной функции . В многофакторном исчислении эта теорема может быть обобщена на любой непрерывно дифференцируемой , вектор-функции которогоОпределитель якобиана отличен от нуля в точке своей области определения, что дает формулу для матрицы Якоби обратного. Существуют также версии теоремы об обратной функции для комплексных голоморфных функций , для дифференцируемых отображений между многообразиями , для дифференцируемых функций между банаховыми пространствами и т. Д.

Заявление [ править ]

Для функций одной переменной теорема утверждает, что if - непрерывно дифференцируемая функция с ненулевой производной в точке a ; тогда обратима в окрестности a , обратная функция непрерывно дифференцируема, а производная обратной функции at является обратной величиной производной at :${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}$

Альтернативная версия, которая предполагает, что она является непрерывной и инъективной рядом с a и дифференцируемой в точке a с ненулевой производной, также приведет к обратимости около точки a , с обратной, которая также непрерывна и инъективна, и где будет применяться приведенная выше формула. также. ^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Как следствие, мы ясно видим , что если есть -й дифференцируемо, с ненулевой производной в точке а , то обратит в окрестностях , обратный также -й дифференцируемы. Вот целое положительное число или .${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \infty }$

Для функций более чем одной переменной теорема утверждает, что если F является непрерывно дифференцируемой функцией из открытого множества в , а полная производная обратима в точке p (т. Е. Определитель Якоби F в точке p отличен от нуля ), то F обратит вблизи р : обратная функция к F определена на некоторые окрестности из . В письменном виде это означает, что система n уравнений имеет единственное решение для с точки зрения${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$${\displaystyle q=F(p)\!}$${\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{n})\!}$${\displaystyle y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\!}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\!}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\!}$, при условии, что мы ограничиваем x и y достаточно малыми окрестностями точек p и q соответственно. В бесконечномерном случае теорема требует дополнительной гипотезы о том, что производная Фреше функции F в точке p имеет ограниченный обратный.

Наконец, теорема утверждает, что обратная функция непрерывно дифференцируема, а ее производная Якоби в точке является матрицей, обратной якобиану функции F в точке p :${\displaystyle F^{-1}\!}$${\displaystyle q=F(p)\!}$

${\displaystyle J_{F^{-1}}(q)=[J_{F}(p)]^{-1}.}$

Сложная часть теоремы - существование и дифференцируемость . Предполагая это, формула обратной производной следует из цепного правила, применяемого к :${\displaystyle F^{-1}\!}$${\displaystyle F^{-1}\circ F={\text{id}}}$

${\displaystyle I=J_{F^{-1}\circ F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(F(p))\cdot J_{F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(q)\cdot J_{F}(p).}$

Пример [ править ]

Рассмотрим вектор-функцию, определенную следующим образом:${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

Матрица Якоби:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

с определителем Якоби:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

Определитель везде отличен от нуля. Таким образом, теорема гарантирует , что для каждой точки р в , существует окрестность о р , над которой F обратима. Это не означает , что F обратима по всей своей области: в этом случае F даже не инъективно , так как он является периодическим: .${\displaystyle e^{2x}\!}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$

Контрпример [ править ]

Функция ограничена квадратичной оболочкой около линии , поэтому . Тем не менее, он имеет локальные точки максимума / минимума, в которых накапливаются , поэтому он не является взаимно однозначным на любом окружающем интервале.${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle f'(0)=1}$${\displaystyle x=0}$

Если отказаться от предположения, что производная непрерывна, функция больше не должна быть обратимой. Например, и имеет разрывную производную и , которая обращается в нуль сколь угодно близко к . Эти критические точки являются локальными точками максимума / минимума , поэтому не взаимно однозначны (и не обратимы) на любом интервале, содержащем . Интуитивно понятно, что наклон не распространяется на близлежащие точки, где наклоны регулируются слабыми, но быстрыми колебаниями.${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\displaystyle f'\!(0)=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'\!(0)=1}$

Методы доказательства [ править ]

В качестве важного результата теорема об обратной функции получила многочисленные доказательства. Доказательство, наиболее часто встречающееся в учебниках, основано на принципе сжимающих отображений , также известном как теорема Банаха о неподвижной точке (которую также можно использовать в качестве ключевого шага в доказательстве существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений ). ^{[2] [3]}

Поскольку теорема о неподвижной точке применима в бесконечномерном (банаховом пространстве) пространстве, это доказательство немедленно обобщает бесконечномерную версию теоремы об обратной функции ^[4] (см. Обобщения ниже).

Альтернативное доказательство в конечных размерах опирается на теорему об экстремальном значении для функций на компактном множестве . ^[5]

Еще одно доказательство использует метод Ньютона , преимущество которого заключается в предоставлении эффективной версии теоремы: оценки производной функции подразумевают оценку размера окрестности, в которой функция обратима. ^[6]

Доказательство теоремы об обратной функции [ править ]

Теорема об обратной функции утверждает, что if является вектор-функцией C ¹ на открытом множестве , то тогда и только тогда, когда существует вектор-функция C ^1, определенная near с помощью near и near . Это было впервые установлено Пикаром и Гурса с использованием итерационной схемы: основная идея состоит в том, чтобы доказать теорему о неподвижной точке с помощью теоремы о сжимающемся отображении . Взяв производные, отсюда следует, что .${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \det f^{\prime }(a)\neq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

Цепное правило подразумевает, что каждая из матриц и обратна. Непрерывность и означает, что они являются гомеоморфизмами , каждый из которых локально обратен. Чтобы доказать существование, после аффинного преобразования можно предположить, что и , так что . ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$${\displaystyle g^{\prime }(b)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$${\displaystyle a=b=0}$

По основной теореме исчисления if является функцией класса C ¹ , так что . Установив , следует, что${\displaystyle u}$${\displaystyle u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\,dt}$${\displaystyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x)))-I\|.}$

Теперь выбираем так, что за . Предположим, что и определим индуктивно с помощью и . Предположения показывают, что если тогда${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|f^{\prime }(x)-I\|<{1 \over 2}}$${\displaystyle \|x\|<\delta }$${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$.

В частности подразумевает . В индуктивной схеме и . Таким образом , последовательность Коши стремится к . По конструкции по мере необходимости. ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$${\displaystyle x=x^{\prime }}$${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$

Чтобы проверить, что это C ¹ , напишите так, чтобы . По неравенствам выше, так что . С другой стороны, если , то . Используя геометрический ряд для , следует, что . Но потом${\displaystyle g=f^{-1}}$${\displaystyle g(y+k)=x+h}$${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$${\displaystyle B=I-A}$${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

стремится к 0 как и к 0, доказывая, что C ¹ с .${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

Приведенное выше доказательство представлено для конечномерного пространства, но одинаково хорошо применимо и для банаховых пространств . Если обратимая функция - это C ^k с , то также и обратная ей функция . Это следует по индукции с использованием того факта, что отображение на операторах является C ^k для любого (в конечномерном случае это элементарный факт, поскольку обратная матрица задается как сопряженная матрица, деленная на ее определитель ).^{[7] [8]} Метод доказательства здесь можно найти в книгах Анри Картана , Жана Дьедонне , Сержа Ланга , Роджера Годемана.${\displaystyle f}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$${\displaystyle k}$и Ларс Хёрмандер .

Обобщения [ править ]

Коллекторы [ править ]

Теорема об обратной функции может быть перефразирована в терминах дифференцируемых отображений между дифференцируемыми многообразиями . В этом контексте теорема утверждает , что для дифференцируемой карты (класса ), если дифференциал от ,${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

является линейным изоморфизмом в точке , в то существует открытая окрестность из таких , что${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

является диффеоморфизмом . Заметим, что это означает, что компоненты связности M и N, содержащие p и F ( p ), имеют одинаковую размерность, что уже прямо следует из предположения, что dF _p является изоморфизмом. Если производная F является изоморфизмом во всех точках p в M, то отображение F является локальным диффеоморфизмом .

Банаховы пространства [ править ]

Обратная функция теорема может быть обобщена на дифференцируемые отображения банаховых пространств X и Y . ^[9] Пусть U открытая окрестность нуля в X и непрерывно дифференцируемой функции, и предположим , что производная Фреше из F в точке 0 является ограниченным линейным изоморфизмом X на Y . Тогда существует открытая окрестность V из в Y и непрерывно дифференцируемое отображение такое , что для всех у в V . Более того,${\displaystyle F:U\to Y\!}$${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$${\displaystyle F(0)\!}$${\displaystyle G:V\to X\!}$${\displaystyle F(G(y))=y}$${\displaystyle G(y)\!}$является единственным достаточно малым решением x уравнения .${\displaystyle F(x)=y\!}$

Банаховы многообразия [ править ]

Эти два направления обобщения можно объединить в теореме об обратной функции для банаховых многообразий . ^[10]

Теорема о постоянном ранге [ править ]

Теорема об обратной функции (и теорема о неявной функции ) может рассматриваться как частный случай теоремы о постоянном ранге, в которой говорится, что гладкое отображение с постоянным рангом около точки может быть придано в особую нормальную форму около этой точки. ^[11] В частности, если имеет постоянный ранг вблизи точки , то есть открытые окрестности ¯u из р и V от и есть диффеоморфизмы и такие , что и таким образом, что производная равна . То есть F «похожа» на свою производную около p . Полунепрерывность${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle p\in M\!}$${\displaystyle F(p)\!}$${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$ранговой функции означает, что существует открытое плотное подмножество области определения F, на котором производная имеет постоянный ранг. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к общей точке области.

Когда производная F инъективна (соответственно сюръективна) в точке p , она также инъективна (соответственно сюръективна) в окрестности p , и, следовательно, ранг F постоянен в этой окрестности, и применяется теорема о постоянном ранге .

Голоморфные функции [ править ]

Если голоморфная функция F определяются из открытого множества U из в , а матрица Якоби из сложных производных обратят в точке р , то Р является обратимой функцией вблизи р . Это немедленно следует из действительной многомерной версии теоремы. Можно также показать, что обратная функция снова голоморфна. ^[12]${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$

Полиномиальные функции [ править ]

Если бы это было правдой, гипотеза о якобиане была бы вариантом теоремы об обратной функции для многочленов. Он утверждает, что если вектор-значная полиномиальная функция имеет определитель Якоби, который является обратимым многочленом (то есть ненулевой константой), то у нее есть обратная функция, которая также является полиномиальной функцией. Неизвестно, правда это или ложь, даже в случае двух переменных. Это главная открытая проблема теории многочленов.

См. Также [ править ]

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема о неявной функции
• Теорема Нэша – Мозера.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аллендорфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемые многообразия . Нью-Йорк: Макмиллан. С. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Баксандалл, Питер ; Либек, Ганс (1986). «Теорема об обратной функции». Векторное исчисление . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Альберт (1974). «Сильные производные и обратные отображения». Амер. Математика. Ежемесячно . 81 (9): 969–980. DOI : 10.2307 / 2319298 . hdl : 10338.dmlcz / 102482 .
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б., младший (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточное исчисление (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (Третье изд.). Нью-Йорк: книга Макгроу-Хилла. стр.  221 -223.