Матрица Якоби и определитель

В векторном исчислении , то матрица Якоби ( / dʒ ə к oʊ б я ə п / , ^{[1] [2] [3]} / dʒ ɪ -, J ɪ - / ) из вектор-функции нескольких переменных является матрица всех ее частных производных первого порядка . Когда эта матрица является квадратной , то есть, когда функция принимает в качестве входных данных такое же количество переменных, что и количество компонентов вектора ее выхода, ее определительназывается определителем Якоби . Как матрицу, так и (если применимо) определитель в литературе часто называют просто якобианом . ^[4]

Предположим, что f  : ℝ ⁿ → ℝ ^m - такая функция, что каждая из ее частных производных первого порядка существует на ℝ ⁿ . Эта функция принимает точку x ∈ ℝ ^{n в} качестве входа и производит вектор f ( x ) ∈ ℝ ^{m в} качестве выхода. Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая J , чья ( i , j ) -я запись является , или явно ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f }} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ nabla ^ {T} f_ {1} \\\ vdots \\\ nabla ^ {T} f_ {m} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ частичный x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}}$

где транспонированная (вектор - строка) из градиента от компонента.${\ displaystyle \ nabla ^ {T} е_ {я}}$${\ displaystyle i}$

Эта матрица, элементы которой являются функциями от x , обозначается по-разному; общие обозначения включают ^{[ править ]} D F , J _е , и . Некоторые авторы определяют якобиан как транспонирование приведенной выше формы.${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}$

Матрица Якоби представляет на дифференциал из F в каждой точке , где F дифференцируема. Более подробно, если ч является вектором смещения представлен матрицей столбца , то матричное произведение J ( х ) ⋅ ч является еще одним вектором смещения, то есть наилучшая линейная аппроксимация изменения F в окрестности из х , если Р ( х ) является дифференцируемой по х . ^[а]Это означает , что функция , которая отображает у к ф ( х ) + J ( х ) ⋅ ( у - х ) является лучшим линейным приближением из ф ( у ) для всех точек у близких к х . Эта линейная функция известна как производная или дифференциал из F в х .

При т = п , матрица Якоби имеет квадратную форму , так что его определитель является четко определенной функцией х , известной как якобиевый детерминант из F . Он несет важную информацию о локальном поведении f . В частности, функция F имеет локально в окрестности точки х в обратную функцию , которая дифференцируема тогда и только тогда , когда якобиан определитель отличен от нуля при х (см якобиеву гипотеза ). Определитель Якобиана также появляется при замене переменных в кратных интегралах (см.правило подстановки для нескольких переменных ).

Когда m = 1 , то есть когда f  : ℝ ⁿ → ℝ - скалярная функция , матрица Якоби сводится к вектору-строке . Этот вектор - строка из всех частных производных первого порядка F является градиентом из F , то есть . Более конкретно , когда m = n = 1 , то есть когда f  : ℝ → ℝ является скалярно-значной функцией одной переменной, матрица Якоби имеет единственный элемент. Эта запись является производной функции f .${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla f}$

Эти концепции названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).

Матрица Якоби [ править ]

Якобиан вектор-функции нескольких переменных обобщает градиент от более скалярного значной функции нескольких переменных, которые , в свою очередь , обобщающей производную скалярной функции одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярной функции от нескольких переменных является (транспонированной) ее градиентом, а градиент скалярной функции от одной переменной является ее производной.

В каждой точке, где функция является дифференцируемой, ее матрицу Якоби также можно рассматривать как описывающую величину «растяжения», «поворота» или «преобразования», которое функция накладывает локально около этой точки. Например, если ( x ′, y ′) = f ( x , y ) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби J _f ( x , y ) описывает, как изображение в окрестности ( x , y ) трансформируется.

Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не обязательно должна быть дифференцируемой, чтобы ее матрица Якоби была определена, поскольку требуется, чтобы существовали только ее частные производные первого порядка .

Если F является дифференцируемой в точке р в ℝ ^п , то ее дифференциальный представлен J _е ( р ) . В этом случае линейное преобразование , представленное J _е ( р ) является наилучшим линейное приближение по е вблизи точки р , в том смысле , что

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}$

где o (‖ x - p ‖) - величина, которая приближается к нулю намного быстрее, чем расстояние между x и p , когда x приближается к p . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции от одной переменной ее полиномом Тейлора первой степени, а именно

${\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)}$.

В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода «производную первого порядка » векторнозначной функции многих переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции нескольких переменных также может рассматриваться как ее «производная первого порядка».

Компонуемые дифференцируемые функции F  : ℝ ^п → ℝ ^м и г  : ℝ ^м → ℝ ^к удовлетворяет правило цепи , а именно для й в ℝ ^н .${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$

Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе , которая в некотором смысле является « второй производной » рассматриваемой функции.

Определитель Якоби [ править ]

Нелинейная карта превращает маленький квадрат (слева, красный) в искаженный параллелограмм (справа, красный). Якобиан в точке дает наилучшее линейное приближение искаженного параллелограмма около этой точки (справа, полупрозрачным белым), а определитель Якоби дает отношение площади аппроксимирующего параллелограмма к площади исходного квадрата.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Если m = n , то f является функцией от ℝ ⁿ до самой себя, а матрица Якоби является квадратной матрицей . Затем мы можем сформировать его определитель , известный как определитель Якоби . Определитель якобиана иногда называют просто «якобианом».

Определитель Якоби в данной точке дает важную информацию о поведении f вблизи этой точки. Так , например, непрерывно дифференцируемая функция F является обратимым вблизи точки р ∈ ℝ ^п , если якобиан на р не равен нулю. Это теорема об обратной функции . Кроме того, если якобиан на р является положительным , то F сохраняет ориентацию вблизи р ; если он отрицательный , f меняет ориентацию. Абсолютное значениедетерминанта Якоби в точке p дает нам коэффициент, на который функция f расширяет или сжимает объемы вблизи p ; вот почему это происходит в общем правиле замещения .

Детерминант Якоби используется при замене переменных при вычислении кратного интеграла функции по области в ее области определения. Чтобы приспособиться к изменению координат, величина определителя Якоби возникает как мультипликативный множитель внутри интеграла. Это связано с тем, что n -мерный элемент dV в общем случае является параллелепипедом в новой системе координат, а n -объем параллелепипеда является определителем его векторов ребер.

Якобиан также можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений в точке равновесия или приближенных решений вблизи точки равновесия. Его приложения включают определение стабильности равновесия без болезней при моделировании болезней. ^[5]

Обратный [ править ]

Согласно теореме об обратной функции , матрица, обратная к матрице Якоби обратимой функции, является матрицей Якоби обратной функции. То есть, если якобиан функция F  : ℝ ^п → ℝ ^п непрерывна и неособ в точке р в ℝ ^п , то е обратят при ограничении на некоторые окрестности точки р и

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}\circ \mathbf {f} ={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }}^{-1}.}$

И наоборот, если определитель Якоби не равен нулю в точке, то функция локально обратима около этой точки, то есть существует окрестность этой точки, в которой функция обратима.

(Недоказанной) Якобиан гипотеза связана с глобальной обратимости в случае полиномиальной функции, которая является функцией , определенной п полиномов в п переменных. Он утверждает, что, если определитель Якоби является ненулевой константой (или, что то же самое, что он не имеет никакого комплексного нуля), то функция обратима, а ее обратная функция является полиномиальной.

Критические моменты [ править ]

Если е  : ℝ ^п → ℝ ^м является дифференцируемой функцией , критическая точка из F является точкой , где ранг матрицы Якоби не является максимальным. Это означает, что ранг в критической точке ниже ранга в некоторой соседней точке. Другими словами, пусть k - максимальная размерность открытых шаров, содержащихся в образе f ; то точка является критической, если все миноры ранга k функции f равны нулю.

В случае, когда m = n = k , точка является критической, если определитель якобиана равен нулю.

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Рассмотрим функцию f  : ℝ ² → ℝ ² , где ( x , y ) ↦ ( f ₁ ( x , y ), f ₂ ( x , y )), заданную формулой

${\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}$

и

${\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}$

а матрица Якоби функции f равна

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}$

а определитель Якоби

${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}$

Пример 2: полярно-декартово преобразование [ править ]

Преобразование полярных координат ( r , φ ) в декартовы координаты ( x , y ) задается функцией F : ℝ ⁺ × [0, 2 π ) → ℝ ² с компонентами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$

Определитель якобиана равен r . Это можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Пример 3: сферико-декартово преобразование [ править ]

Преобразование сферических координат ( ρ , φ , θ ) ^[6] в декартовы координаты ( x , y , z ) задается функцией F : ℝ ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → ℝ ³ с компонентами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}$

Матрица Якоби для этой замены координат равна

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{pmatrix}}.}$

Определитель является ρ ² грешить φ . Поскольку dV = dx dy dz - это объем для прямоугольного дифференциального элемента объема (поскольку объем прямоугольной призмы является произведением ее сторон), мы можем интерпретировать dV = ρ ² sin φ dρ dφ dθ как объем сферического дифференциала элемент объема . В отличие от объема прямоугольного элемента дифференциального объема, объем этого элемента дифференциального объема не является постоянным и изменяется в зависимости от координат ( ρ и φ). Его можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

${\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}$

Пример 4 [ править ]

Матрица Якоби функции F  : ℝ ³ → ℝ ⁴ с компонентами

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}$

является

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$

Этот пример показывает, что матрица Якоби не обязательно должна быть квадратной матрицей.

Пример 5 [ править ]

Определитель якобиана функции F  : ℝ ³ → ℝ ³ с компонентами

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$

является

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$

Отсюда мы видим, что F меняет ориентацию около тех точек, где x ₁ и x ₂ имеют одинаковый знак; функция локально обратима везде, кроме точек, где x ₁ = 0 или x ₂ = 0 . Интуитивно, если начать с крошечного объекта вокруг точки (1, 2, 3) и применить F к этому объекту, получится результирующий объект с объемом примерно в 40 × 1 × 2 = 80 раз больше исходного, с ориентация перевернута.

Другое использование [ править ]

Якобиан служит линеаризованной матрицей плана в статистической регрессии и подборе кривой ; см. нелинейный метод наименьших квадратов .

Динамические системы [ править ]

Рассмотрим динамическую систему вида , где - (покомпонентная) производная от по параметру эволюции (времени), и является дифференцируемой. Если , то - стационарная точка (также называемая устойчивым состоянием ). По теореме Хартмана-Гробман , поведение системы вблизи стационарной точки связано с собственными значениями из , якобиану в стационарной точке. ^[7]${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}$${\displaystyle F}$В частности, если все собственные значения имеют действительные части, которые отрицательны, тогда система устойчива около стационарной точки, если любое собственное значение имеет действительную часть, которая положительна, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, матрица Якоби не позволяет оценить устойчивость. ^[8]

Метод Ньютона [ править ]

Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итеративно методом Ньютона . В этом методе используется матрица Якоби системы уравнений.

См. Также [ править ]

• Центральный коллектор
• Матрица Гессе
• Pushforward (дифференциал)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Сравнительная статика и принцип соответствия» . Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Springer. С. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б., младший (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточное исчисление (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

Внешние ссылки [ править ]

• «Якобиан» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld Более техническое объяснение якобианцев