Голоморфная функция

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Сложные числа
Настоящий номер Мнимое число Комплексная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Комплексные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал
v т е

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой f (внизу).

В математике , голоморфная функция является комплексной функцией одного или более сложных переменными , которые есть, в каждой точке своей области , комплекс дифференцируемого в окрестностях точки. Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием, поскольку оно означает, что любая голоморфная функция на самом деле бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитическому ). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения комплексного анализа .

Хотя термин « аналитическая функция» часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которая может быть записана как сходящийся степенной ряд. в окрестности каждой точки в своей области . Тот факт, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа . ^[1]

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . ^[2] Голоморфная функция, область определения которой - вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфный в точке z ₀ » означает не просто дифференцируемый в точке z ₀ , но дифференцируемый всюду в пределах некоторой окрестности z ₀ на комплексной плоскости.

Определение [ править ]

Функция не является комплексно-дифференцируемой в нуле, потому что, как показано выше, значение изменяется в зависимости от направления, с которого приближается к нулю. Вдоль вещественной оси f равно функции g ( z ) =  z, а предел равен 1, а по мнимой оси f равен h ( z ) = - z, а предел равен −1. Другие направления дают другие ограничения.${\ displaystyle f (z) = {\ bar {z}}}$${\ Displaystyle f (z) -f (0) \ над z-0}$

Учитывая комплексная функция F одного комплексного переменного, производная от F в точке г ₀ в своей области определяется пределом ^[3]

${\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ to z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}.}$

Это то же самое, что и определение производной для реальных функций, за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется, когда комплексное число z приближается к z ₀ и должно иметь одинаковое значение для любой последовательности комплексных значений z, которые приближаются к z ₀ на комплексной плоскости. Если существует предел, то мы говорим , что е является комплексно-дифференцируем в точке г ₀ . Эта концепция комплексной дифференцируемости имеет несколько общих свойств с реальной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения ,правило частного и цепное правило . ^[4]

Если е является сложным дифференцируема в каждой точке г ₀ в открытом множестве U , мы говорим , что е является голоморфной на U . Будем говорить , что е является голоморфной в точке г ₀ , если е является сложным дифференцируема в некоторой окрестности г ₀ . ^[5] Мы говорим , что е голоморфен на нек-открытого множества А , если она голоморфна в открытом множестве , содержащем A . В качестве патологического не примера, функция, заданная f( z ) = | z | ² является комплексно дифференцируемым ровно в одной точке ( z ₀ = 0), и по этой причине он не голоморфен в 0, потому что нет открытого множества вокруг 0, на котором f является комплексно дифференцируемым.

Связь между реальной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью заключается в следующем. Если комплексная функция f ( x + i  y ) = u ( x , y ) + i  v ( x , y ) голоморфна, то u и v имеют первые частные производные по x и y и удовлетворяют условию Коши – Римана уравнения : ^[6]

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ qquad {\ mbox {и}} \ qquad {\ frac {\ partial u } {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \,}$

или, что то же самое, производная Виртингера функции f относительно комплексно сопряженного элемента z равна нулю: ^[7]

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ overline {z}}}} = 0,}$

то есть, грубо говоря, f функционально не зависит от комплексно сопряженного z .

Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана – Меншгофа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f является голоморфный. ^[8]

Терминология [ править ]

Слово «голоморфный» было введено двумя учениками Коши , Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος ( holos ), означающего «весь», и μορφή ( морфе ), что означает « форма »или« внешний вид ». ^[9]

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который явно не следует из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Свойства [ править ]

Поскольку комплексное дифференцирование является линейным и подчиняется правилам произведения, частного и цепного, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно там, где знаменатель не равен нулю. ^[10]

Если один идентифицирует C с R ² , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными , которые решают уравнения Коши-Римана , набор из двух дифференциальных уравнений с частными . ^[6]

Каждая голоморфная функция может быть разделена на действительные и мнимые части, и каждый из них является решением уравнения Лапласа на R ² . Другими словами, если мы выразим голоморфную функцию f ( z ) как u ( x , y ) + i v ( x , y ), то и u, и v - гармонические функции , где v - гармоническое сопряжение u. ^[11]

Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: ^[12]

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0.}$

Здесь γ является спрямляемо пути в односвязном открытом подмножестве U в комплексной плоскости С , чья начальной точкой равно его конечной точкой, а е  : U → C голоморфной функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска , полностью определяется своими значениями на границе диска. ^[12] Кроме того: предположим, что U - открытое подмножество C , f  : U → C - голоморфная функция и замкнутый круг D = { z  : | z - z ₀ | ≤ г } полностью содержится в U . Пусть γ быть круг , образующий границу из D . Тогда для каждого а винтерьер из D :

${\ displaystyle f (a) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {f (z)} {za}} \, dz}$

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производная f ′ ( a ) может быть записана в виде контурного интеграла ^[12], используя формулу дифференцирования Коши :

${\ displaystyle f '(a) = {1 \ over 2 \ pi i} \ oint _ {\ gamma} {f (z) \ over (za) ^ {2}} \, dz,}$

для любой простой петли, намотанной один раз на a , и

${\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)d{\bar {z}},}$

для бесконечно малых положительных петель γ вокруг a .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны в том смысле, что они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур. ^[13]

Каждая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция f имеет производные любого порядка в каждой точке a в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в точке a в окрестности точки a . Фактически, f совпадает со своим рядом Тейлора в a в любом круге с центром в этой точке и лежащим в области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, набор голоморфных функций в открытом множестве U является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связано. ^[7] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , в котором полунормы являются супремумом на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения, функция F голоморфна в точке г ₀ тогда и только тогда , когда ее внешняя производная DF в окрестности U из г ₀ равен е '( г ) дг для некоторой непрерывной функции F '. Это следует из

${\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}$

что df 'также пропорционально dz , из чего следует, что производная f ' голоморфна и, следовательно, f бесконечно дифференцируема. Аналогичным образом , тот факт , что д ( е дг ) = е ' дг ∧ дг = 0 означает , что любая функция F , голоморфная на односвязной области U также интегрируема на U . (Для пути γ от z ₀ до z, целиком лежащего в U , определим

${\displaystyle \textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }fdz}$;

в свете теоремы о жордановой кривой и обобщенной теоремы Стокса , F _γ ( z ) не зависит от конкретного выбора пути γ, и, следовательно, F ( z ) является корректно определенной функцией на U, имеющей F ( z ₀ ) = F ₀ и dF = f dz .)

Примеры [ править ]

Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами голоморфны на C , а также синус , косинус и экспоненциальная функция . (Тригонометрические функции на самом деле тесно связаны с экспоненциальной функцией и могут быть определены с помощью формулы Эйлера ). Основная ветвь функции комплексного логарифмирования голоморфна на множестве C ∖ { z ∈ R  : z ≤ 0}. Функция квадратного корня может быть определена как

${\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\log z}}$

и поэтому голоморфен везде, где стоит логарифм log ( z ). Функция 1 / z голоморфна на { z  : z ≠ 0}.

Как следствие уравнений Коши – Римана , вещественнозначная голоморфная функция должна быть постоянной. Таким образом, абсолютное значение г , то аргумент о г , то действительная часть из г и мнимая часть из г не голоморфны. Другой типичный пример непрерывной функции, которая не является голоморфной, - это комплексно сопряженная функция z, образованная комплексным сопряжением .

Несколько переменных [ править ]

Определение голоморфной функции просто обобщается на несколько комплексных переменных. Пусть D обозначают открытое подмножество C ^п , и пусть F  : D → C . Функция f является аналитической в точке p в D, если существует открытая окрестность точки p, в которой f равна сходящемуся степенному ряду от n комплексных переменных. ^[14] Определим f как голоморфную, если она аналитична в каждой точке своей области определения. Лемма Осгудапоказывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции f это эквивалентно тому, что f голоморфна по каждой переменной в отдельности (что означает, что если любые n - 1 координаты фиксированы, то ограничение f является голоморфной функцией от оставшаяся координата). Более глубокая теорема Хартогса доказывает, что гипотеза непрерывности не нужна: f голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности.

В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом на каждом компактном подмножестве своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких сложных переменных в некоторых основных отношениях сложнее, чем функции одной сложной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти области представляют собой домены Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых есть голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .

Комплекс дифференциал ( р , 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда , когда его производное антиголоморфная Дольбо равен нулю, .${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$

Расширение функционального анализа [ править ]

Понятие голоморфной функции может быть распространено на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

См. Также [ править ]

• Первообразная (комплексный анализ)
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфия
• Голоморфная отделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные области
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Производные Виртингера

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. OCLC  2370110 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Аналитическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]