В математике , то интегральная теорема Коши (также известная как Коши-Гурс теорема ) в комплексном анализе , названном в честь Огюстен Луи Коши (и Гурса ), является важным утверждением о линейных интегралах для голоморфных функций в комплексной плоскости . По сути, он говорит, что если два разных пути соединяют одни и те же две точки, и функция голоморфна везде между двумя путями, то два интеграла по путям функции будут одинаковыми.
Заявление
Формулировка на просто связанных областях
Позволять - односвязное открытое множество, и пусть- голоморфная функция . Позволять- гладкая замкнутая кривая. Потом:
(Условие, что быть односвязным означает, чтоне имеет «дыры», или другими словами, что фундаментальная группа из тривиально.)
Общая формулировка
Позволять быть открытым множеством , и пусть- голоморфная функция . Позволять- гладкая замкнутая кривая. Еслиявляется гомотопными к постоянной кривой, то:
(Напомним, что кривая гомотопна постоянной кривой, если существует гладкая гомотопия от кривой к постоянной кривой. Интуитивно это означает, что можно сжать кривую в точку, не покидая пространства.) Первый вариант - особый случай, потому что на односвязном множестве каждая замкнутая кривая гомотопна постоянной кривой.
Основной пример
В обоих случаях важно помнить, что кривая не окружайте «дырки» в области, иначе теорема не применима. Известный пример - следующая кривая:
который очерчивает единичный круг. Вот следующий интеграл:
отличен от нуля. Интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку не определен в . Интуитивно окружает «дыру» в области , так нельзя уменьшить до точки, не покидая пространства. Таким образом, теорема неприменима.
Обсуждение
Как показал Эдуард Гурса , интегральная теорема Коши может быть доказана только при условии, что комплексная производная существует повсюду в . Это важно, потому что затем можно доказать интегральную формулу Коши для этих функций и из этого вывести эти функции бесконечно дифференцируемыми .
Условие, что быть односвязным означает, чтоне имеет «дыры» или, в гомотопических терминах, что фундаментальная группа изтривиально; например, каждый открытый диск, для , соответствует требованиям. Состояние критическое; рассмотреть возможность
который очерчивает единичную окружность, а затем интеграл по путям
не равно нулю; интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку не определено (и, конечно, не голоморфно) в .
Одним из важных следствий теоремы является то, что интегралы по путям голоморфных функций на односвязных областях могут быть вычислены способом, известным из основной теоремы исчисления : пустьбыть просто связано открытое подмножество из, позволять - голоморфная функция, и пусть - кусочно непрерывно дифференцируемый путь в с начальной точкой и конечная точка . Еслиявляется сложным первообразным из, тогда
Интегральная теорема Коши верна при более слабой гипотезе, чем приведенная выше, например, при условии, что , односвязное открытое подмножество, мы можем ослабить предположения до быть голоморфным на и продолжаю а также исправляемая простая петля в . [1]
Интегральная теорема Коши приводит к интегральной формуле Коши и теореме о вычетах .
Доказательство
Если предположить, что частные производные голоморфной функции непрерывны, интегральная теорема Коши может быть доказана как прямое следствие теоремы Грина и того факта, что действительная и мнимая частидолжны удовлетворять уравнениям Коши – Римана в области, ограниченной, а тем более в открытой окрестности U этого региона. Коши предоставил это доказательство, но позже оно было доказано Гурса, не требуя техники векторного исчисления или непрерывности частных производных.
Мы можем разбить подынтегральное выражение , а также дифференциал на их реальную и мнимую составляющие:
В этом случае мы имеем
По теореме Грина , мы можем затем заменить интегралы по замкнутому контуру с интегралом площадей по всей области что заключено в следующим образом:
Но поскольку действительная и мнимая части функции, голоморфной в области , а также должен удовлетворять уравнениям Коши – Римана :
Таким образом, мы находим, что оба подынтегральных выражения (и, следовательно, их интегралы) равны нулю.
Это дает желаемый результат
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Уолш, JL (1933-05-01). «Теорема Коши-Гурса для спрямляемых жордановых кривых» . Труды Национальной академии наук . 19 (5): 540–541. DOI : 10.1073 / pnas.19.5.540 . ISSN 0027-8424 . PMC 1086062 . PMID 16587781 .
- Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Cambridge Stud. Adv. Математика, 107, CUP , ISBN 978-0-521-80937-5
- Альфорс, Ларс (2000), Комплексный анализ , серия Макгроу-Хилла по математике, МакГроу-Хилл , ISBN 0-07-000657-1
- Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
- Рудин, Уолтер (2000), Реальный и комплексный анализ , серия Макгроу-Хилла по математике, Макгроу-Хилл
Внешние ссылки
- "Интегральная теорема Коши" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная теорема Коши» . MathWorld .