В комплексном анализе , ветвь математики , теорема Морера , названная в честь Джачинто Мореров , дает важный критерий для доказательства , что функция является голоморфной .
Теорема утверждает Мореры , что непрерывная , комплекс значной функции F , определенная на открытом множестве D в комплексной плоскости , которая удовлетворяет
для каждой замкнутой кусочной кривой C 1в D должна быть голоморфна на D .
Предположение теоремы Мореры эквивалентно е , имеющий первообразную на D .
Обратное утверждение теоремы в общем случае неверно. Голоморфная функция не обязательно должна иметь первообразную в своей области определения, если не налагаются дополнительные предположения. Обратное верно, например, если домен односвязен ; это интегральная теорема Коши , утверждающая, что линейный интеграл голоморфной функции вдоль замкнутой кривой равен нулю.
Стандартный контрпример - функция f ( z ) = 1 / z , голоморфная на C - {0}. В любой односвязной окрестности U в C - {0} 1 / z имеет первообразную, определяемую формулой L ( z ) = ln ( r ) + iθ , где z = re iθ . Из - за неоднозначности & thetas до добавления любого целого числа , кратного 2 П , любой непрерывный выбор & thetas на U будет достаточно , чтобы определить первообразную 1 / г на U . (Именно тот факт, что θ не может быть определен непрерывно на простой замкнутой кривой, содержащей начало координат внутри нее, является корнем того, почему 1 / z не имеет первообразной на всей ее области C - {0}.) И поскольку производная от аддитивная константа равна 0, любая константа может быть добавлена к первообразной, и она все еще является первообразной 1 / z .
В определенном смысле контрпример 1 / z универсален: для любой аналитической функции, не имеющей первообразной в области определения, причина этого в том, что сама 1 / z не имеет первообразной на C - {0}.
Доказательство
Есть относительно элементарное доказательство теоремы. Один явно строит антипроизводную для f .
Не ограничивая общности, можно считать , что D является подключен . Зафиксируем точку z 0 в D , и для любого, позволять - кусочная кривая C 1 такая, что а также . Затем определим функцию F как
Чтобы убедиться, что функция определена правильно, предположим, что - еще одна кусочная кривая C 1 такая, что а также . Кривая (т.е. кривая, объединяющая с участием в обратном направлении) является замкнутой кусочно С 1 кривая D . Потом,
Отсюда следует, что
Затем, используя непрерывность f для оценки разностных факторов, мы получаем, что F ′ ( z ) = f ( z ). Если бы мы выбрали другое z 0 в D , F изменилось бы на константу: а именно, результат интегрирования f вдоль любой кусочно-регулярной кривой между новым z 0 и старым, и это не изменит производную.
Поскольку f - производная голоморфной функции F , она голоморфна. Тот факт, что производные голоморфных функций голоморфны, можно доказать, используя тот факт, что голоморфные функции аналитичны , т.е. могут быть представлены сходящимся степенным рядом, а также тот факт, что степенные ряды можно дифференцировать почленно. Это завершает доказательство.
Приложения
Теорема Мореры - стандартный инструмент комплексного анализа . Он используется почти в любом рассуждении, которое включает неалгебраическое построение голоморфной функции.
Единые пределы
Например, предположим, что f 1 , f 2 , ... - последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся к непрерывной функции f на открытом диске. По теореме Коши мы знаем, что
для любого n вдоль любой замкнутой кривой C в круге. Тогда из равномерной сходимости следует, что
для любой замкнутой кривой C , и поэтому по теореме Мореры f должна быть голоморфной. Этот факт можно использовать, чтобы показать, что для любого открытого множества Ω ⊆ C множество A (Ω) всех ограниченных аналитических функций u : Ω → C является банаховым пространством относительно нормы супремума .
Бесконечные суммы и интегралы
Теорема Мореры также может использоваться вместе с теоремой Фубини и M-критерием Вейерштрасса, чтобы показать аналитичность функций, определяемых суммами или интегралами, например дзета-функцией Римана.
или гамма-функция
В частности, показано, что
для подходящей замкнутой кривой C записав
а затем, используя теорему Фубини, чтобы оправдать изменение порядка интегрирования, получая
Затем, используя аналитичность α ↦ x α −1, заключаем, что
и, следовательно, указанный выше двойной интеграл равен 0. Аналогично, в случае дзета-функции M-тест оправдывает замену интеграла по замкнутой кривой и суммы местами.
Ослабление гипотез
Гипотезы теоремы Мореры можно значительно ослабить. В частности, достаточно для интеграла
равным нулю для любого замкнутого (твердого) треугольника Т , содержащегося в области D . Фактически это характеризует голоморфность, т. Е. F голоморфна на D тогда и только тогда, когда выполняются указанные выше условия. Отсюда также вытекает следующее обобщение упомянутого выше факта о равномерных пределах голоморфных функций: если f 1 , f 2 , ... - последовательность голоморфных функций, определенных на открытом множестве Ω ⊆ C , сходящаяся к функции f равномерно на компакте подмножества Ω, то f голоморфна.
Смотрите также
Рекомендации
- Альфорс, Ларс (1 января 1979 г.), Комплексный анализ , Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7, Zbl 0395,30001.
- Конвей, Джон Б. (1973), Функции одной комплексной переменной I , Тексты для выпускников по математике, 11 , Springer Verlag , ISBN 978-3-540-90328-4, Zbl 0277,30001.
- Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной , Аспирантура по математике , 40 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3962-4
- Morera, Giacinto (1886), "Un Teorema fondamentale Нелла teorica делла funzioni ди уна variabile complessa" , Rendiconti дель Реал Instituto Ломбардо ди Scienze е Lettere (на итальянском языке ), 19 (2): 304-307, JFM 18.0338.02.
- Рудин, Вальтер (1987) [1966], Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill , стр. Xiv + 416, ISBN 978-0-07-054234-1, Zbl 0925,00005.
Внешние ссылки
- "Теорема Морера" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Мореры» . MathWorld .