Изгиб

Параболу , один из самых простых кривых, после того, как (прямых) линий

В математике , кривая (также называется кривой линии в старых текстах) является объект , похожий на линии , но это не должно быть прямой .

Интуитивно кривая может рассматриваться как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в « Элементах » Евклида : «[Изогнутая] линия ^[а] - это […] первый вид величины, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и это не что иное, как поток или движение точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением любой ширины ». ^[1]

Это определение кривого было закреплено в современной математике , как: кривое представляет собой изображение из интервала на топологическое пространство с помощью непрерывной функции . В некоторых случаях функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая - параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми, чтобы отличать их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые являются соединениямикривых и изолированных точек) и алгебраических кривых (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые не выглядят так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могли быть нарисованы. Это случай кривых заполнения пространства и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемой , и тогда кривая называется дифференцируемой кривой .

Плоская кривая алгебраическим является множество нулей полинома в двух неизвестных . Более общо, алгебраические кривой является нулевым набором конечного множества полиномов, которая удовлетворяет еще одно условие того , чтобы быть алгебраическим многообразием по размерности один. Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , кривая называется определенной над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k - поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда сложныйучитываются нули, имеется сложная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Хотя алгебраические кривые, определенные над другими полями, не являются кривыми в общем смысле, они широко изучались. В частности, в современной криптографии широко используются алгебраические кривые над конечным полем .

История [ править ]

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. ^[2] Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины прямая линия и правая линия использовались, чтобы отличить то, что сегодня называется линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I Элементов Евклида линия определяется как «длина без ширины» (определение 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, равномерно лежащая с точками на самой себе» (определение 4). . Идея Евклида о прямой, возможно, поясняется утверждением «Концы линии суть точки» (Определение 3). ^[3] Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки по разным схемам. Например: ^[4]

• Составные линии (линии, образующие угол)
• Несоставные строки
  • Определенный (линии, которые не могут продолжаться бесконечно, например круг)
  • Неопределенный (линии, которые простираются до бесконечности, например прямая линия и парабола)

Греческие геометры изучали множество других типов кривых. Одна из причин заключалась в их интересе к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартного компаса и линейки . Эти кривые включают:

• Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским
• Циссоида диок , изучено Диок и используются в качестве метода удвоения куба . ^[5]
• Конхоида из Никомеда , изучена Никомедом в качестве метода как двойные куб , и делить на три равные части угла . ^[6]
• Резьб , изучен Архимед в качестве метода угла делить на три равные части и площадь круга . ^[7]
• В Шпирича секции , секции торов изученных Персея , как участки конусов были изучены Аполлония.

Фундаментальное достижение в теории кривых было введением аналитической геометрии на Рене Декарт в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми, которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми, которые не могут. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. ^[2]

Конические сечения были применены в астрономии по Kepler . Ньютон также работал над ранним примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы о брахистохронах и таутохронах , по-новому вводят свойства кривых (в данном случае - циклоиды ). Контактная сеть получила свое название в качестве решения проблемы висящей цепи, то вопрос , который стал регулярно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке началась теория плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, а именно особые точки и сложные решения.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, например, кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая [ править ]

Топологическая кривая может быть задана с помощью непрерывной функции из интервала I из действительных чисел в топологическом пространстве X . Собственно говоря, кривая является изображение из Однако, в некоторых случаях, сама называется кривой, особенно , когда изображение не выглядит как то , что обычно называется кривой и не характеризует достаточно${\ Displaystyle \ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ gamma.}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma.}$

Например, изображение кривой Пеано или, в более общем смысле, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как она определяется.${\ displaystyle \ gamma}$

Кривой будет закрыто ^[8] или является циклом , если и . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности .${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle I = [а, б]}$${\ Displaystyle \ гамма (а) = \ гамма (Ь)}$

Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал , он называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто дуга ).${\ Displaystyle I = [а, б]}$

Кривая является простой, если она является изображением интервала или круга инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией с интервалом в качестве области, кривая является простой тогда и только тогда, когда две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, тех случаев, когда точки являются конечными точками интервал. Интуитивно простая кривая - это кривая, которая «не пересекает себя и не имеет пропущенных точек». ^[9]${\ displaystyle \ gamma}$

Простая замкнутая кривая также называется жордановой кривой . Теорема Жордана утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух компонент связности (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны).

Плоская кривая представляет собой кривую , для которой является евклидова плоскость -Это являются примерами впервые столкнулись или в некоторых случаях в проективную плоскость .${\ displaystyle X}$Кривая пространство представляет собой кривую , для которой , по меньшей мере трехмерным; перекос кривой${\ displaystyle X}$ - пространственная кривая, не лежащая в плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применяется (реальная алгебраическая кривая может быть отключена ).

Определение кривой включает фигуры, которые в обычном употреблении назвать кривыми сложно. Например, изображение простой кривой может покрывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ) и, таким образом, иметь положительную площадь. ^[10] Фрактальные кривые могут обладать необычными для здравого смысла свойствами. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. Снежинку Коха ) и даже иметь положительную область. Примером может служить кривая дракона , которая обладает множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая [ править ]

Грубо говоря, дифференцируемая кривая является кривой, которая определяется как локально образ инъективного дифференцируемой функции из интервала I из действительных чисел в дифференцируемом многообразии X , часто${\ Displaystyle \ gamma \ двоеточие I \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Точнее, дифференцируемая кривая представляет собой подмножество С из X , где каждая точка С имеет окрестность U таким образом, что является диффеоморфен к интервалу действительных чисел. ^{[ требуется пояснение ]} Другими словами, дифференцируемая кривая - это дифференцируемое многообразие размерности один.${\ Displaystyle C \ cap U}$

Дифференцируемая дуга [ править ]

В евклидовой геометрии , дуги (символ: ⌒ ) представляет собой связное подмножество дифференцируемого кривой]

Дуги прямых называются отрезками или лучами , в зависимости от того, ограничены они или нет.

Распространенный пример изогнутой кривой - это дуга окружности , называемая дугой окружности .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Длина кривой [ править ]

Если - -мерное евклидово пространство, а - инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как величина${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

Длина кривой не зависит от параметризации .${\displaystyle \gamma }$

В частности, длина от графика непрерывно дифференцируемой функции , определенной на отрезком является${\displaystyle s}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.}$

В более общем смысле, если это метрическое пространство с метрикой , то мы можем определить длину кривой следующим образом:${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),}$

где верхняя грань берется по всем , и все разделы из .${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$${\displaystyle [a,b]}$

Спрямляемая кривая - это кривая конечной длины. Кривая называется естественной (или единичной скорости, или параметризованной длиной дуги), если для любого такого, что мы имеем${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

Если - липшицево-непрерывная функция, то она автоматически исправима. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) at как${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\in [a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}$

а затем показать, что

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

Дифференциальная геометрия [ править ]

В то время как первые встречающиеся примеры кривых - это в основном плоские кривые (то есть, говоря обыденными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), есть очевидные примеры, такие как спираль, которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики , должны иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности , мировая линия представляет собой кривую в пространстве - времени .

Если - дифференцируемое многообразие , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие приложения кривых в математике. С локальной точки зрения его можно принять за евклидово пространство. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы к с помощью этого понятия кривой.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Если - гладкое многообразие , гладкая кривая в - это гладкое отображение${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

Это основное понятие. Также есть все меньше и больше ограниченных идей. Если это многообразие (то есть, многообразие которых графики являются раз непрерывно дифференцируема ), то кривая в такой кривой , которая только предполагается (т.е. раз непрерывно дифференцируема). Если является аналитическим многообразием (т. Е. Бесконечно дифференцируемым и диаграммы выражаются в виде степенных рядов ) и является аналитическим отображением, то называется аналитической кривой .${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

Дифференцируемая кривая называется регулярной, если ее производная никогда не обращается в нуль. (На словах, обычная кривая никогда не останавливается или не возвращается назад.) Две дифференцируемые кривые${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$ и

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

называются эквивалентными, если существует биективное отображение${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

такое, что обратное отображение

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

также , и${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

для всех . Карта называется репараметризацией из ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых в . Дуга является классом эквивалентности из кривых при соотношении репараметризации.${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Алгебраическая кривая [ править ]

Алгебраические кривые - это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоской алгебраической кривой является множество точек координат х , у , такие , что F ( х , у ) = 0 , где F представляет собой многочлен от двух переменных , определенных над некоторым полем F . Один говорит , что кривая , определенная над F . Алгебраическая геометрия обычно учитывает не только точки с координатами в F , но все точки с координатами в качестве алгебраически замкнутым полем K .

Если С является кривой , определенным с помощью многочлена F с коэффициентами из F , кривой называются определенным над F .

В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а набор всех реальных точек является реальной частью кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть отсоединена и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее сложных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .

Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут быть обозначены C ( G ) . Когда G - поле рациональных чисел , мы просто говорим о рациональных точках . Например, Великая теорема Ферма может быть пересчитаны как: Для п > 2 , каждый рациональной точки кривой Ферма степени п имеет координату нуль .

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, например n . Они определяются как алгебраические многообразия в размерности один. Их можно получить как общие решения по крайней мере n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n –1 многочленов достаточно для определения кривой в пространстве размерности n , кривая называется полным пересечением . Путем исключения переменных (любым инструментом теории исключения ) алгебраическая кривая может быть спроецирована на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких каккуспиды или двойные точки .

Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w ^d f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0- однородные координаты точек завершения кривой на проективной плоскости, а точки исходной кривой - такие, что w не равно нулю. Примером может служить кривая Ферма u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ , которая имеет аффинную форму x ⁿ + y ⁿ = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах с более высокой размерностью.

За исключением прямых , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми первого рода, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• А.С. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Б. И. Голубов (2001) [1994], "Спрямляемая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Евклид , комментарий и пер. пользователя TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
• EH Lockwood Книга кривых (Кембридж, 1961 г.)

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме кривых .

• Индекс известных кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
• Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
• Галерея кривых пространства, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса.
• Галерея кривых епископа и других сферических кривых, включая анимацию Питера Мозеса
• Статья в энциклопедии математики о строках .
• Страница Manifold Atlas по 1-многообразиям .