Парабола

Часть параболы (синяя) с различными характеристиками (другие цвета). Полная парабола не имеет конечных точек. В этой ориентации он бесконечно простирается влево, вправо и вверх.

Парабола является членом семейства конических сечений .

В математике , А парабола является плоской кривой , которая является зеркально-симметричным и приблизительно U- образной . Он соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Одно из описаний параболы включает точку ( фокус ) и линию ( направляющую ). Фокус не на директрисе. Парабола - это геометрическое место точек в этой плоскости, которые равноудалены как от направляющей, так и от фокуса. Другое описание параболы - это коническое сечение , созданное из пересечения правой круговой конической поверхности и плоскости, параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности. ^[а]

Линия, перпендикулярная направляющей и проходящая через фокус (то есть линия, разделяющая параболу на середину), называется « осью симметрии ». Точка, где парабола пересекает ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное по оси симметрии, и есть «фокусное расстояние». « Прямая кишка » - это хорда параболы, которая параллельна директрисе и проходит через фокус. Параболы могут открываться вверх, вниз, влево, вправо или в другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то естьвсе параболы геометрическипохожий .

Параболы обладают тем свойством, что если они сделаны из материала, который отражает свет , то свет, который движется параллельно оси симметрии параболы и падает на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, где на параболе происходит отражение. И наоборот, свет, исходящий от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же эффекты происходят со звуком и другими волнами. Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол.

Парабола имеет множество важных применений, от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет . Они часто используются в физике , технике и многих других областях.

История [ править ]

Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менахмом в 4 веке до нашей эры. Он открыл способ решить проблему удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не отвечает требованиям компаса-и-линейка строительства .) Площади , заключенной параболами и отрезка прямой, так называемому «сегмент параболы», было вычислено Архимедом по методе истощения в 3 век до н.э., в его «Квадратуре параболы» . Название «парабола» принадлежит Аполлонию., открывший многие свойства конических сечений. Это означает «приложение», относящееся к концепции «приложения площадей», которая, как доказал Аполлоний, связана с этой кривой. ^[1] Свойство фокус-директрисы параболы и других конических сечений связано с Паппом .

Галилей показал, что путь снаряда следует параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.

Идея о том, что параболический отражатель может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения отражающего телескопа . ^[2] Проекты были предложены в начале до середины 17 - го века многие математики , в том числе Рене Декарта , Мерсенн , ^[3] и Джеймс Грегори . ^[4] Когда Исаак Ньютон построил первый телескоп-рефлектор в 1668 году, он отказался от параболического зеркала из-за сложности изготовления, выбрав сферическое зеркало . Параболические зеркала используются в большинстве современных телескопов-рефлекторов и вспутниковые антенны и радиолокационные приемники. ^[5]

Определение как геометрическое место точек [ править ]

Парабола может быть определена геометрически как набор точек ( геометрическое место точек ) на евклидовой плоскости:

• Парабола - это набор точек, такой, что для любой точки набора расстояние до фиксированной точки , фокуса , равно расстоянию до фиксированной линии , директрисы :${\ displaystyle P}$${\ displaystyle | PF |}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle | Pl |}$${\ displaystyle l}$

${\ Displaystyle \ {P: | PF | = | Pl | \}.}$

Середина перпендикуляра от фокуса к направляющей называется вершиной , а линия - осью симметрии параболы.${\ displaystyle V}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle FV}$

В декартовой системе координат [ править ]

Ось симметрии параллельна оси Y [ править ]

Если ввести декартовы координаты , такие, что и директриса имеет уравнение , то получится точка из уравнения . Решение для урожайности${\ Displaystyle F = (0, f), \ f> 0,}$${\ displaystyle y = -f}$${\ Displaystyle Р = (х, у)}$${\ Displaystyle | PF | ^ {2} = | Pl | ^ {2}}$${\ Displaystyle х ^ {2} + (yf) ^ {2} = (y + f) ^ {2}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} x ^ {2}.}$

Эта парабола имеет U-образную форму ( раскрывается вверх ).

Горизонтальная хорда, проходящая через очаг (см. Рисунок во вводном разделе), называется прямой кишкой ; одна половина - это прямая полупустая кишка . Прямая кишка параллельна направляющей. Полу-латусная прямая кишка обозначается буквой . Из рисунка получается ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = 2f.}$

Прямая кишка определяется аналогично для двух других конусов - эллипса и гиперболы. Прямая кишка - это линия, проходящая через фокус конического сечения, параллельную направляющей, и заканчивающуюся кривой в обоих направлениях. В любом случае - это радиус соприкасающегося круга в вершине. Для параболы, полу-широчайшая прямая кишка , - это расстояние фокуса от директрисы. Используя параметр , уравнение параболы можно переписать как${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle x ^ {2} = 2py.}$

В более общем смысле, если вершина , фокус и направляющая , получаем уравнение${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$${\displaystyle y=v_{2}-f}$

${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$

Замечания

1. В случае с параболой имеется отверстие вниз.${\displaystyle f<0}$
2. Предположение, что ось параллельна оси y, позволяет рассматривать параболу как график многочлена степени 2, и наоборот: график произвольного многочлена степени 2 является параболой (см. Следующий раздел).
3. Если поменять местами и , то получатся уравнения вида . Эти параболы открываются влево (если ) или вправо (если ).${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}=2px}$${\displaystyle p<0}$${\displaystyle p>0}$

Общий случай [ править ]

Если фокус равен , и направляющая , то получаем уравнение${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$

(левая часть уравнения использует нормальную форму линии Гессе для вычисления расстояния ).${\displaystyle |Pl|}$

Для параметрического уравнения параболы общего положения см. § Как аффинный образ единичной параболы .

Неявное уравнение параболы определяется с помощью неприводимого многочлена второй степени:

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$

такой, что или, что то же самое, такой, что это квадрат линейного многочлена .${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

Как график функции [ править ]

Параболы ${\displaystyle y=ax^{2}}$

В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат в качестве вершины и осью y в качестве оси симметрии можно рассматривать как график функции

${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$

Ибо парабол раскрывается вверх, а у нижнего (см. Рисунок). Из раздела выше можно получить:${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$

• Фокус находится ,${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• фокусное расстояние , то пол-Латус прямой кишка это ,${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• вершина является ,${\displaystyle (0,0)}$
• директрисы имеет уравнение ,${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• касательной в точке имеет уравнение .${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

Для параболы является блок парабола с уравнением . Его фокус - это полу-латусная прямая кишка , а директриса имеет уравнение .${\displaystyle a=1}$${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

Общая функция степени 2:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c{\text{ with }}a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0}$.

Завершение квадратного урожая

${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$

которое является уравнением параболы с

• ось (параллельно оси y ),${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• фокусное расстояние , то пол-Латус прямой кишка ,${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• вершина ,${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• фокус ,${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• директриса ,${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• точка параболы, пересекающая ось y, имеет координаты ,${\displaystyle (0,c)}$
• касательной в точке на у оси имеет уравнение .${\displaystyle y=bx+c}$

Сходство с параболой единицы [ править ]

Когда парабола равномерно масштабируется с коэффициентом 2, результатом является парабола${\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}}$${\displaystyle \color {red}{y=x^{2}}}$

Два объекта на евклидовой плоскости подобны, если один может быть преобразован в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции жестких движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабов .

Парабола с вершиной может быть преобразована путем перевода в параболу с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в ту, в которой ось y является осью симметрии. Следовательно, парабола может быть преобразована жестким движением в параболу с уравнением . Такая парабола затем может быть преобразована с помощью равномерного масштабирования в единичную параболу с помощью уравнения . Таким образом, любая парабола может быть отображена на единичную параболу подобием. ^[6]${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$${\displaystyle y=x^{2}}$

Синтетический подход, использующий подобные треугольники, также могут быть использованы для установления этого результата. ^[7]

Общий результат состоит в том, что две конические секции (обязательно одного типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. ^[6] Таким образом, только окружности (все с эксцентриситетом 0) обладают этим свойством с параболами (все с эксцентриситетом 1), а общие эллипсы и гиперболы - нет.

Существуют и другие простые аффинные преобразования, которые отображают параболу на единичную параболу, например . Но это отображение не является подобием, а только показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы ).${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

В виде специального конического сечения [ править ]

Карандаш из конических сечений с х осями, осями симметрии, одна вершины в начале координат (0, 0) и ту же пол-LATUS прямой кишке может быть представлена уравнением ${\displaystyle p}$

${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$

с в эксцентричности .${\displaystyle e}$

• Ибо коника - это круг (соприкасающийся круг карандаша),${\displaystyle e=0}$
• для к эллипсу ,${\displaystyle 0<e<1}$
• для по параболе с уравнением${\displaystyle e=1}$${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• для гиперболы (см. рисунок).${\displaystyle e>1}$

В полярных координатах [ править ]

Если p > 0 , парабола с уравнением (открывающаяся вправо) имеет полярное представление${\displaystyle y^{2}=2px}$

${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$

( ).${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

Его вершина есть , а фокус - .${\displaystyle V=(0,0)}$${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

Если переместить начало координат в фокус, то есть получить уравнение${\displaystyle F=(0,0)}$

${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$

Примечание 1: Инверсия этой полярной форме показывает , что парабола является обратным из кардиоида .

Замечание 2: Вторая полярная форма - это частный случай пучка коник с фокусом (см. Рисунок):${\displaystyle F=(0,0)}$

${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$( это эксцентриситет).${\displaystyle e}$

Коническое сечение и квадратичная форма [ править ]

Схема, описание и определения [ править ]

На схеме изображен конус с осью AV . Точка А - его вершина . Наклонное поперечное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол θ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового поперечного сечения EPD является параболой.

Поперечное сечение, перпендикулярное оси конуса, проходит через вершину P параболы. Это поперечное сечение круглое, но при взгляде под углом кажется эллиптическим , как показано на схеме. Его центр - V, а PK - диаметр. Назовем его радиус  r .

Другой перпендикулярный к оси круговой разрез конуса дальше от вершины A, чем только что описанный. У него есть хорда DE , которая соединяет точки, где парабола пересекает окружность. Другая хорда BC является серединным перпендикуляром к DE и, следовательно, является диаметром окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке M.

Все отмеченные точки, кроме D и E, копланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Сюда входит точка F, которая не упоминается выше. Он определяется и обсуждается ниже, в § Положение фокуса .

Назовем длину DM и EM x , а длину PM  y .

Вывод квадратного уравнения [ править ]

Длина BM и CM составляет:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}=2y\sin \theta }$ (треугольник БПМ - равнобедренный , потому что ),${\displaystyle {\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {CM} }}=2r}$ (PMCK - параллелограмм ).

Используя теорему о пересечении хорд на хордах BC и DE , получаем

${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$

Подставляя:

${\displaystyle 4ry\sin \theta =x^{2}.}$

Перестановка:

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\sin \theta }}.}$

Для любого заданного конуса и параболы r и θ являются константами, но x и y являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой выполнено горизонтальное поперечное сечение BECD. Последнее уравнение показывает взаимосвязь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с P в качестве начала координат. Поскольку x в уравнении возведен в квадрат, тот факт, что D и E находятся по разные стороны от оси y, не имеет значения. Если горизонтальное поперечное сечение перемещается вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E перемещаются по параболе, всегда сохраняя соотношение между xи y показаны в уравнении. Таким образом, параболическая кривая - это геометрическое место точек, в которых выполняется уравнение, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.

Фокусное расстояние [ править ]

В предыдущем разделе было доказано, что если парабола имеет вершину в начале координат и если она открывается в положительном направлении y , то ее уравнение имеет вид y =х ²/4 ж, где f - его фокусное расстояние. ^[b] Сравнение этого с последним уравнением выше показывает, что фокусное расстояние параболы в конусе равно r sin θ .

Положение фокуса [ править ]

На диаграмме выше точка V является основанием перпендикуляра от вершины параболы к оси конуса. Точка F - основание перпендикуляра из точки V в плоскость параболы. ^[c] По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол ВПФ является комплементарной к θ , и угол ПВФ дополняет угол VPF, следовательно , угол ПВФ является θ . Поскольку длина PV равна r , расстояние F от вершины параболы равно r sin θ. Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, то есть расстоянию от вершины до фокуса. Следовательно, фокус и точка F одинаково удалены от вершины по одной и той же линии, что означает, что они являются одной и той же точкой. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .

Это обсуждение началось с определения параболы как конического сечения, но теперь оно привело к описанию в виде графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Оба они определяют кривые абсолютно одинаковой формы.

Альтернативное доказательство со сферами Данделина [ править ]

Альтернативное доказательство может быть выполнено с использованием сфер Данделина . Он работает без расчета и использует только элементарные геометрические соображения (см. Вывод ниже).

Пересечение прямого конуса плоскостью , наклон которой относительно вертикали совпадает с образующей (также известной как образующая линия, линия, содержащая вершину и точку на поверхности конуса) конуса, является параболой (красная кривая на диаграмму).${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}}$

Эта образующая - единственная образующая конуса, параллельная плоскости . В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой (или вырожденной гиперболой , если две образующие находятся в пересекающейся плоскости). Если образующей, параллельной плоскости пересечения, нет, кривая пересечения будет эллипсом или кругом (или точкой ).${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$

Пусть плоскость будет плоскостью, которая содержит вертикальную ось конуса и линии . Наклон плоскости от вертикали такой же, как у линии, означает, что при взгляде сбоку (то есть плоскость перпендикулярна плоскости ) .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

Чтобы доказать свойство директрисы параболы (см. § Определение как геометрическое место точек выше), используется сфера Данделина , которая является сферой, которая касается конуса по окружности и плоскости в точке . Плоскость, содержащая круг, пересекается с плоскостью на прямой . В системе, состоящей из плоскости , сферы Данделина и конуса, существует зеркальная симметрия ( плоскость симметрии есть ). ${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \sigma }$

Поскольку плоскость, содержащая круг , перпендикулярна плоскости , и линия их пересечения также должна быть перпендикулярна плоскости . Так как линия находится в плоскости , .${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi \perp \sigma }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle l\perp m_{0}}$

Оказывается, что это фокус параболы, и является директрисой параболы.${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$

1. Позвольте быть произвольной точкой кривой пересечения.${\displaystyle P}$
2. Образующая конуса , содержащего пересекает круг в точке .${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$
3. Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину.${\displaystyle {\overline {PF}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}}$${\displaystyle d}$
4. Женератриса пересекает круг в точке . Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину.${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {ZD}}}$${\displaystyle {\overline {ZA}}}$${\displaystyle d}$
5. Пусть линия будет линией, параллельной и проходящей через точку . Поскольку , и точка находится в плоскости , линия должна быть в плоскости . Поскольку мы это тоже знаем .${\displaystyle q}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}\perp l}$${\displaystyle q\perp l}$
6. Пусть точка будет основанием перпендикуляра от точки к прямой , то есть является отрезком прямой , а значит .${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle l}$${\displaystyle {\overline {PB}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. Из теоремы о перехвате, и мы это знаем . Поскольку мы это знаем , это означает, что расстояние от до фокуса равно расстоянию от до директрисы .${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle l}$

Доказательство отражающей способности [ править ]

Отражающее свойство гласит, что если парабола может отражать свет, то свет, который попадает в нее, движется параллельно оси симметрии, отражается к фокусу. Это получено из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.

Рассмотрим параболу y = x ² . Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.

Конструкция и определения [ править ]

Точка E - произвольная точка параболы. Фокус - F, вершина - A (начало координат), а прямая FA - ось симметрии. Прямая EC параллельна оси симметрии и пересекает ось x в точке D. Точка B является серединой отрезка FC .

Отчисления [ править ]

Вершина A равноудалена от фокуса F и директрисы. Поскольку C находится на направляющей, y- координаты F и C равны по модулю и противоположны по знаку. B - середина FC. Его координата x вдвое меньше, чем у D, то есть x / 2 . Наклон линии BE представляет собой частное от длин ED и BD , что составляетх ²/х / 2= 2 х . Но 2 x также является наклоном (первой производной) параболы в точке E. Следовательно, прямая BE является касательной к параболе в точке E.

Расстояния EF и EC равны, потому что E находится на параболе, F - фокус, а C - на направляющей. Следовательно, поскольку B является серединой FC , треугольники △ FEB и △ CEB конгруэнтны (три стороны), что означает, что углы, отмеченные как α , совпадают. (Угол над E по вертикали противоположен углу ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает точки E, идущей параллельно оси симметрии, будет отражаться линией BE, так что он движется вдоль линии EF , как показано красным на схеме (при условии, что линии каким-то образом могут отражать свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то же отражение будет происходить от бесконечно малой дуги параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает точки E, идя параллельно оси симметрии параболы, отражается парабола к его фокусу.

Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано в левой части диаграммы. Это отражающее свойство.

Другие последствия [ править ]

Есть и другие теоремы, которые можно вывести просто из приведенного выше аргумента.

Свойство касательной бисекции [ править ]

Приведенное выше доказательство и прилагаемая диаграмма показывают, что касательная BE делит угол ∠FEC пополам. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линиями, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно направляющей.

Пересечение касательной и перпендикуляра от фокуса [ править ]

Поскольку треугольники △ FBE и △ CBE конгруэнтны, FB перпендикулярен касательной BE . Поскольку B находится на оси x , которая является касательной к параболе в ее вершине, отсюда следует, что точка пересечения между любой касательной к параболе и перпендикуляром от фокуса к этой касательной лежит на прямой, касательной к параболе. парабола в его вершине. См. Анимированную диаграмму ^[8] и кривую педали .

Отражение света, падающего на выпуклую сторону [ править ]

Если свет движется по линии CE , он движется параллельно оси симметрии и ударяет по выпуклой стороне параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться прямо от фокуса вдоль продолжения отрезок FE .

Альтернативные доказательства [ править ]

Приведенные выше доказательства свойств отражения и касательной пополам используют линию исчисления. Здесь представлено геометрическое доказательство.

На этой диаграмме F - фокус параболы, а T и U лежат на ее направляющей. P - произвольная точка на параболе. PT перпендикулярна директрисе, а прямая MP делит пополам угол ∠FPT. Q - еще одна точка параболы, причем QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP  =  PT и FQ  =  QU . Ясно, что QT  >  QU , поэтому QT  >  FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится слева от MP., то есть на той же стороне, что и фокус. То же самое было бы, если бы Q располагалось где-нибудь еще на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, кроме точки P, находится на стороне фокуса MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку он делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной бисекции.

Логика последнего абзаца может быть применена для модификации приведенного выше доказательства отражающего свойства. Это эффективно доказывает, что прямая BE касательная к параболе в точке E, если углы α равны. Отражающее свойство следует, как показано ранее.

Конструкция булавки и веревки [ править ]

Определение параболы по ее фокусу и направляющей может быть использовано для ее рисования с помощью булавок и ниток: ^[9]

1. Выберите фокус и направляющую параболы.${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. Возьмите треугольник из заданного квадрата и приготовьте веревку длины (см. Схему).${\displaystyle |AB|}$
3. Прикрепите один конец веревки к вершине треугольника, а другой к фокусу .${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$
4. Расположите треугольник так, чтобы второй край прямого угла мог свободно скользить по направляющей.
5. Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к треугольнику.
6. При перемещении треугольника по направляющей перо рисует дугу параболы из-за (см. Определение параболы).${\displaystyle |PF|=|PB|}$

Свойства, относящиеся к теореме Паскаля [ править ]

Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой на бесконечной прямой , которая является касательной в точке . 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля - это свойства коники, имеющей дело хотя бы с одной касательной. Если рассматривать эту касательную как бесконечно удаленную линию, а точку контакта - как бесконечно удаленную точку оси y , можно получить три утверждения для параболы.${\displaystyle Y_{\infty }}$${\displaystyle g_{\infty }}$${\displaystyle Y_{\infty }}$

Следующие свойства параболы имеют дело только с терминами соединять , пересекать , параллельно , которые являются инвариантами подобия . Итак, достаточно доказать любое свойство единичной параболы с уравнением .${\displaystyle y=x^{2}}$

4-балльная собственность [ править ]

Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением .${\displaystyle y=ax^{2}}$

• Позвольте быть четыре точки параболы , и пересечение секущей линии с линией и позвольте быть пересечением секущей линии с линией (см. Рисунок). Тогда секущая параллельна прямой .${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1}P_{4}}$${\displaystyle x=x_{2},}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{2}P_{3}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{3}P_{4}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

(Прямые и параллельны оси параболы.)${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

Доказательство: простой расчет единичной параболы .${\displaystyle y=x^{2}}$

Применение: 4-точки свойство параболы может быть использовано для построения точки , в то время как и приведено.${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$${\displaystyle Q_{2}}$

Замечание: 4-точечное свойство параболы является аффинной версией 5-точечного вырождения теоремы Паскаля.

3 точки - свойство 1 касательной [ править ]

Позвольте быть три точки параболы с уравнением и пересечение секущей линии с линией и пересечение секущей линии с линией (см. Рисунок). Тогда касательная в точке параллельна прямой . (Прямые и параллельны оси параболы.)${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{0}P_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{0}P_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

Доказательство: можно провести для единичной параболы . Краткий расчет показывает: линия имеет наклон, который представляет собой наклон касательной в точке .${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle 2x_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

Применение: Свойство 3-точек-1-касательной параболы можно использовать для построения касательной в точке , пока даны.${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

Замечание: свойство 3-точек-1-касательности параболы является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля.

2-точки - свойство 2-касательных [ править ]

Позвольте быть две точки параболы с уравнением , и пересечение касательной в точке с линией , и пересечение касательной в точке с линией (см. Рисунок). Тогда секущая параллельна прямой . (Прямые и параллельны оси параболы.)${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

Доказательство: прямой расчет единичной параболы .${\displaystyle y=x^{2}}$

Применение: Свойство 2-точек – 2-касательных может использоваться для построения касательной параболы в точке , если заданы и касательная в точке .${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

Замечание 1. Свойство параболы 2 точки – 2 касания является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Замечание 2: Свойство 2-точек и 2-касательных не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с 2 точками и 2 касательными, но не связано с теоремой Паскаля.

Направление оси [ править ]

Приведенные выше утверждения предполагают знание направления оси параболы для построения точек . Следующее свойство определяет точки только двумя заданными точками и их касательными, и в результате линия параллельна оси параболы.${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

Позволять

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$быть двумя точками параболы и быть их касательными;${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$- пересечение касательных ,${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$быть пересечением параллельной линии до прохода с параллельной линией до прохода (см. рисунок).${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

Тогда прямая параллельна оси параболы и имеет уравнение${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Доказательство: может быть выполнено (как и свойства выше) для параболы единицы .${\displaystyle y=x^{2}}$

Применение: это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если заданы две точки и их касательные. Альтернативный способ - определить середины двух параллельных хорд, см. Раздел о параллельных хордах .

Замечание: это свойство является аффинной версией теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники. ^[10]

Поколение Штайнера [ править ]

Парабола [ править ]

Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Конику Штейнера ):

• Принимая во внимание два карандашей линий в двух точках (все строки , содержащие и , соответственно) и проективное , но не перспективное отображение из на , точки пересечения соответствующих линий образуют невырожденную проективное коническое сечение.${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе :${\displaystyle y=ax^{2}}$

• Рассмотрим карандаш в вершине и набор прямых , параллельных оси y .${\displaystyle S(0,0)}$${\displaystyle \Pi _{y}}$

1. Пусть точка на параболе, и , .${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle A=(0,y_{0})}$${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
2. Линейный сегмент делится на n равноотстоящих сегментов, и это деление проецируется (по направлению ) на линейный сегмент (см. Рисунок). Эта проекция приводит к проективному отображению карандаша на карандаш .${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle BA}$${\displaystyle {\overline {AP}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pi _{y}}$
3. Пересечение прямой и i-й параллели оси y является точкой на параболе.${\displaystyle SB_{i}}$

Доказательство: простой расчет.

Замечание: Генерация Штейнера доступна также для эллипсов и гипербол .

Двойная парабола [ править ]

Двойная парабола и кривая Безье степени 2 (справа: точка кривой и точки деления параметра )${\displaystyle Q_{0},Q_{1}}$${\displaystyle t=0.4}$

Двойной параболический состоит из множества касательных обыкновенной параболы.

Генерация коники Штейнера может быть применена к генерации двойственной коники, изменяя значения точек и линий:

• Пусть даны два набора точек на двух прямых и проективное, но не перспективное отображение между этими наборами точек, тогда соединительные линии соответствующих точек образуют невырожденную двойственную конику.${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \pi }$

Чтобы создать элементы двойной параболы, нужно начать с

1. три точки не на линии,${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. делит отрезки линии и каждую на отрезки с равным интервалом и складывает числа, как показано на рисунке.${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle n}$
3. Тогда прямые являются касательными к параболе, следовательно, к элементам двойственной параболы.${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. Парабола - это кривая Безье степени 2 с контрольными точками .${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

Доказательство является следствием де Casteljau алгоритм для кривой Безье степени 2.

Вписанные углы и трехточечная форма [ править ]

Парабола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x . Обычная процедура для определения коэффициентов - это вставить координаты точки в уравнение. В результате получается линейная система из трех уравнений, которую можно решить, например, методом исключения Гаусса или правилом Крамера . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол.${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle a,b,c}$

В дальнейшем угол между двумя линиями будет измеряться разницей наклона прямой относительно направляющей параболы. То есть для параболы уравнения угол между двумя строками уравнений измеряется как${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей, имеется теорема о вписанном угле для парабол : ^{[11] [12]}

Четыре точки с разными координатами x (см. Рисунок) находятся на параболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы и имеют одинаковую меру, как определено выше. То есть,${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,}$${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$

${\displaystyle {\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$

(Доказательство: прямой расчет: если точки находятся на параболе, можно перевести координаты для получения уравнения , тогда можно, если точки находятся на параболе.)${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

Следствием этого является то, что уравнение (in ) параболы, определяемой 3 точками с разными координатами x, имеет вид (если две координаты x равны, не существует параболы с направляющей, параллельной оси x , которая проходит через точки)${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$

${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$

Умножая на знаменатели, зависящие от одного, получаем более стандартную форму${\displaystyle {\color {green}x},}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$

Полюс-полярное отношение [ править ]

В подходящей системе координат любую параболу можно описать уравнением . Уравнение касательной в точке имеет вид${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$

${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$

Получаем функцию

${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$

на множестве точек параболы на множестве касательных.

Очевидно, эта функция может быть продолжена на множество всех точек до взаимно однозначного соответствия между точками и прямыми с уравнениями . Обратное отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$

линия → точка .${\displaystyle y=mx+d}$${\displaystyle ({\tfrac {m}{2a}},-d)}$

Это отношение называется отношением полюса к полюсу параболы , где точка является полюсом , а соответствующая линия - полярным .

Расчетным путем проверяются следующие свойства полюсно-полярной связи параболы:

• Для точки (полюса) на параболе полярная точка является касательной в этой точке (см. Рисунок:) .${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• Для полюса вне параболы точки пересечения его поляры с параболой являются точками касания двух проходящих касательных (см. Рисунок:) .${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• Для точки внутри параболы полярная точка не имеет общей точки с параболой (см. Рисунок: и ).${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• Точка пересечения двух полярных линий (например, ) является полюсом линии, соединяющей их полюсы (в примере:) .${\displaystyle p_{3},p_{4}}$${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• Фокус и директриса параболы представляют собой пару полюс – полюс.

Замечание: Соотношения полюса и полярности существуют также для эллипсов и гипербол.

Свойства касательной [ править ]

Два касательных свойства, связанных с прямой кишкой [ править ]

Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q, и обозначим фокус точкой F, а расстояние от точки Q - f . Пусть перпендикуляр к линии симметрии через фокус пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно 2 f , и (2) касательная к параболе в точке T пересекает прямую симметрии под углом 45 °. ^{[13] : с.26}

Ортоптическое свойство [ править ]

Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по направляющей. И наоборот, две касательные, пересекающиеся на директрисе, перпендикулярны.

Теорема Ламберта [ править ]

Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда теорема Ламберта утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности треугольника. ^{[14] [8] : Следствие 20.}

Обращение Цукермана к теореме Ламберта гласит, что для трех прямых, ограничивающих треугольник, если две из них касаются параболы, фокус которой лежит на описанной окружности треугольника, то третья линия также касается параболы. ^[15]

Факты, связанные с аккордами и дугами [ редактировать ]

Фокусное расстояние рассчитывается из параметров аккорда [ править ]

Предположим, что хорда пересекает параболу перпендикулярно ее оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения параболы равна c, а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, равно d . Фокусное расстояние параболы f определяется выражением

${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$

Доказательство

Предположим, что используется система декартовых координат, в которой вершина параболы находится в начале координат, а ось симметрии - это ось y . Парабола открывается вверх. В другом месте этой статьи показано, что уравнение параболы: 4 fy = x ² , где f - фокусное расстояние. На положительном x конце хорды x =c/2и y = d . Поскольку эта точка находится на параболе, эти координаты должны удовлетворять приведенному выше уравнению. Следовательно, путем подстановки . Исходя из этого ,.${\displaystyle 4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}}$${\displaystyle f={\tfrac {c^{2}}{16d}}}$

Площадь между параболой и хордой [ править ]

Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. Диаграмму), составляет две трети площади окружающего ее параллелограмма. Одна сторона параллелограмма - это хорда, а противоположная сторона - касательная к параболе. ^{[16] [17]} Наклон других параллельных сторон не имеет отношения к площади. Часто, как здесь, они рисуются параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно.

Теорема, эквивалентная этой, но отличающаяся в деталях, была получена Архимедом в III веке до нашей эры. Он использовал площади треугольников, а не параллелограмм. ^[d] См . Квадратуру Параболы .

Если хорда имеет длину b и перпендикулярна оси симметрии параболы, и если перпендикулярное расстояние от вершины параболы до хорды равно h , параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами b и h . Таким образом, площадь А параболического сегмента, заключенного между параболой и хордой, равна

${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$

Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника: 1/2бх .

В целом закрытую площадь можно рассчитать следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, где ее наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью исчисления или с помощью линии, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Требуемая точка - это место, где эта линия пересекает параболу. ^[e] Затем, используя формулу, приведенную в разделе « Расстояние от точки до линии» , вычислите расстояние по перпендикуляру от этой точки до хорды. Умножьте это на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, затем на 2/3, чтобы получить требуемую замкнутую площадь.

Следствие о средних и конечных точках аккордов [ править ]

Следствием приведенного выше обсуждения является то, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, их середины лежат на прямой, параллельной оси симметрии. Если касательные к параболе проводятся через конечные точки любой из этих хорд, две касательные пересекаются на этой же прямой, параллельной оси симметрии (см. « Осевое направление параболы» ). ^[f]

Длина дуги [ править ]

Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием f , и если p - перпендикулярное расстояние от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы, которые заканчиваются в X, могут быть вычислены из f и p следующим образом, предполагая, что все они выражены в одних и тех же единицах. ^[грамм]

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$

Эта величина s - длина дуги между X и вершиной параболы.

Длина дуги между X и симметрично противоположной точкой по другую сторону параболы составляет 2 с .

Перпендикулярному расстоянию p можно задать положительный или отрицательный знак, чтобы указать, с какой стороны от оси симметрии X находится. При изменении знака p знаки h и s меняются местами без изменения их абсолютных значений. Если эти величины подписаны, длина дуги между любыми двумя точками параболы всегда отображается разницей между их значениями s . Расчет можно упростить, если использовать свойства логарифмов:

${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$

Это может быть полезно, например, при расчете размера материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба .

Этот расчет можно использовать для параболы в любой ориентации. Это не ограничивается ситуацией, когда ось симметрии параллельна оси y .

Геометрическая конструкция для поиска области сектора [ править ]

S - фокус, а V - главная вершина параболы VG. Нарисуйте VX перпендикулярно SV.

Возьмите любую точку B на VG и опустите перпендикуляр BQ из B в VX. Нарисуйте перпендикуляр ST, пересекающий BQ, при необходимости удлиненный в точке T. В точке B нарисуйте перпендикуляр BJ, пересекающий VX в точке J.

Для параболы отрезок VBV, площадь, ограниченная хордой VB и дугой VB, также равна ∆VBQ / 3 .${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

Площадь параболического сектора SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3 .${\displaystyle {}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

Поскольку треугольники TSB и QBJ подобны,

${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$

Следовательно, площадь параболического сектора и можно определить по длине VJ, как указано выше.${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

Круг, проходящий через S, V и B, также проходит через J.

И наоборот, если точка B на параболе VG должна быть найдена так, чтобы площадь сектора SVB была равна заданному значению, определите точку J на ​​VX и постройте окружность через S, V и J. Поскольку SJ является диаметр, центр круга находится в его средней точке, и он лежит на перпендикуляре середины SV, на расстоянии половины VJ от SV. Требуемая точка B - это место, где этот круг пересекает параболу.

Если тело следует траектории параболы из-за силы, обратной квадрату силы, направленной к S, площадь SVB увеличивается с постоянной скоростью по мере продвижения точки B вперед. Отсюда следует, что J движется с постоянной скоростью по VX, когда B движется по параболе.

Если скорость тела в вершине, где оно движется перпендикулярно SV, равна v , то скорость J равна 3 v / 4.

Конструкция может быть расширена просто для включения случая, когда ни один радиус не совпадает с осью SV, следующим образом. Пусть A - неподвижная точка на VG между V и B, а точка H - это пересечение на VX с перпендикуляром к SA в A. Из приведенного выше, площадь параболического сектора .${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

И наоборот, если требуется найти точку B для конкретной области SAB, найдите точку J из HJ и точку B, как раньше. По книге 1, предложения 16, следствия 6 Ньютона Principia , скорость тела , движущегося по параболе с силой , направленной в сторону фокуса обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса. Если скорость в точке A равна v , то в вершине V она равна , а точка J движется с постоянной скоростью .${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

Вышеупомянутая конструкция была разработана Исааком Ньютоном и может быть найдена в Книге 1 Philosophi Naturalis Principia Mathematica в качестве предложения 30.

Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине [ править ]

Фокусное расстояние параболы составляет половину радиуса кривизны в вершине.

Доказательство

• Изображение перевернуто. AB - ось x . C - происхождение. О - центр. A - это ( x , y ) . ОА = ОС = R . PA = х . CP = y . ОП = ( R - у ) . Другие точки и линии для этой цели не имеют значения.

• Радиус кривизны в вершине в два раза больше фокусного расстояния. Измерения, показанные на диаграмме выше, даны в единицах прямой кишки, что в четыре раза больше фокусного расстояния.

Рассмотрим точку ( x , y ) на окружности радиуса R с центром в точке (0, R ) . Круг проходит через начало координат. Если точка находится рядом с началом координат, теорема Пифагора показывает, что

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$

Но если ( x , y ) очень близко к началу координат, поскольку ось x является касательной к окружности, y очень мало по сравнению с x , поэтому y ² незначительно по сравнению с другими членами. Поэтому очень близко к происхождению

${\displaystyle x^{2}=2Ry.}$ (1)

Сравните это с параболой

${\displaystyle x^{2}=4fy,}$ (2)

который имеет вершину в начале координат, открывается вверх и имеет фокусное расстояние f (см. предыдущие разделы этой статьи).

Уравнения (1) и (2) эквивалентны, если R = 2 f . Следовательно, это условие, при котором окружность и парабола совпадают в начале координат и очень близко к ним. Радиус кривизны в начале координат, который является вершиной параболы, в два раза больше фокусного расстояния.

Следствие

Вогнутое зеркало, представляющее собой небольшой сегмент сферы, ведет себя примерно как параболическое зеркало, фокусируя параллельный свет в точке на полпути между центром и поверхностью сферы.

Как аффинное изображение параболы единицы [ править ]

Другое определение параболы использует аффинные преобразования :

• Любая парабола является аффинным образом единичной параболы с уравнением .${\displaystyle y=x^{2}}$

параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где - регулярная матрица ( определитель не 0), а - произвольный вектор. Если - векторы-столбцы матрицы , единичная парабола отображается на параболу${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$

куда

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$является точка параболы,

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$- касательный вектор в точке ,${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$находится параллельно оси параболы (ось симметрии через вершину).

вершина

В общем, два вектора не перпендикулярны, и это не вершина, если аффинное преобразование не является схожесть .${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

Касательный вектор в точке равен . В вершине касательный вектор ортогонален . Следовательно, параметр вершины является решением уравнения${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$

который

${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$

и вершина является

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$

фокусное расстояние и фокус

Фокусное расстояние может быть определено с помощью подходящего преобразования параметров (который не изменяет геометрическую форму параболы). Фокусное расстояние

${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$

Следовательно, фокус параболы

${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$

неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$

${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0}$.

парабола в космосе

Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы, даже в пространстве, если позволяет быть векторами в пространстве.${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Как квадратичная кривая Безье [ править ]

Квадратичная кривая Безье кривая определяется тремя точками , и , называют его контрольные точки :${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$