В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В геометрии ( общая ) коническая поверхность - это неограниченная поверхность, образованная объединением всех прямых линий , проходящих через фиксированную точку - вершину или вершину - и любую точку некоторой фиксированной пространственной кривой - направляющую , которая не содержит вершина. Каждая из этих линий называется образующей поверхности.
Каждая коническая поверхность линейчатая и складывающаяся . В общем, коническая поверхность состоит из двух конгруэнтных неограниченных половин, соединенных вершиной. Каждая половина называется оболочкой и представляет собой объединение всех лучей, которые начинаются на вершине и проходят через точку некоторой фиксированной пространственной кривой. (В некоторых случаях, однако, два покрова могут пересекаться или даже совпадать с полной поверхностью.) Иногда термин «коническая поверхность» используется для обозначения только одного покрова.
Если директриса представляет собой круг , а вершина расположена на оси круга (линия, которая содержит центр и перпендикулярна его плоскости), получается правая круговая коническая поверхность . Этот частный случай часто называют конусом , потому что это одна из двух различных поверхностей, ограничивающих геометрическое тело с таким именем. Этот геометрический объект также можно описать как набор всех точек, охватываемых линией, пересекающей ось и вращающейся вокруг нее; или объединение всех линий, пересекающих ось в фиксированной точке и под фиксированным углом . Отверстие конуса угол .
В более общем смысле, когда направляющая представляет собой эллипс или любое коническое сечение , а вершина - произвольная точка, не лежащая на плоскости , получается эллиптический конус или коническая квадрика , что является частным случаем квадратичной поверхности .
Цилиндрическая поверхность можно рассматривать как предельный случай конической поверхности, вершина которого перемещается в бесконечность в определенном направлении. Действительно, в проективной геометрии цилиндрическая поверхность - это просто частный случай конической поверхности.
Уравнения [ править ]
Коническая поверхность может быть описана параметрически как
- ,
где - вершина, а - директриса.
Правая круговая коническая поверхность отверстия , ось которой является координатной осью, а вершина - начало координат, параметрически описывается как
где и пробегают и соответственно. В неявной форме та же поверхность описывается где
В более общем смысле, правая круглая коническая поверхность с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору , и апертурой задается неявным векторным уравнением, где
или же
где , и обозначает скалярное произведение .
В трех координатах, x, y и z, коническая поверхность с эллиптической направляющей с вершиной в начале координат задается этим однородным уравнением степени 2:
См. Также [ править ]
- Коническое сечение
- Развивающаяся поверхность
- Квадрик
- Линейчатая поверхность