Линейчатая поверхность

Определение линейчатой ​​поверхности: каждая точка лежит на прямой

В геометрии , A поверхность S является исключено (также называемый свиток ) , если через каждую точку S есть прямая линия , которая лежит на S . Примеры включают в себя плоскость , боковую поверхность цилиндра или конуса , коническую поверхность с эллиптической направляющей , правый коноид , геликоид и касательную, развернутую к плавной кривой в пространстве.

Линейчатую поверхность можно описать как набор точек, проходящих по движущейся прямой. Например, конус формируется путем фиксации одной точки линии при перемещении другой точки по окружности . Поверхность является двояковыпуклой, если через каждую ее точку проходят две различные линии, лежащие на поверхности. Гиперболический параболоид и гиперболоид одного листа вдвойне линейчатые поверхности. Плоскость - единственная поверхность, которая содержит по крайней мере три четкие линии, проходящие через каждую из своих точек ( Fuchs & Tabachnikov 2007 ).

Свойства линейности или двойственности сохраняются проективными отображениями и, следовательно, являются понятиями проективной геометрии . В алгебраической геометрии линейчатые поверхности иногда считаются поверхностями в аффинном или проективном пространстве над полем, но они также иногда рассматриваются как абстрактные алгебраические поверхности без вложения в аффинное или проективное пространство, и в этом случае «прямая линия» означает аффинная или проективная линия.

Определение и параметрическое представление [ править ]

Линейчатая поверхность, образованная двумя кривыми Безье как направляющими (красный, зеленый)

Двумерное дифференцируемое многообразие называется линейчатой ​​поверхностью , если оно представляет собой объединение однопараметрического семейства прямых. Линии этого семейства являются образующими линейчатой ​​поверхности.

Линейчатая поверхность может быть описана параметрическим представлением вида

• (CR) .${\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = {\ color {красный} \ mathbf {c} (u)} + v \; {\ color {blue} \ mathbf {r} (u)} \, \ v \ in \ mathbb {R} \,}$

Любая кривая с фиксированным параметром является образующей (линией), а кривая - директрисой представления. Векторы описывают направления генераторов.${\ Displaystyle \; v \ mapsto \ mathbf {x} (u_ {0}, v) \;}$${\ displaystyle u = u_ {0}}$${\ Displaystyle \; и \ mapsto \ mathbf {c} (и) \;}$${\ Displaystyle \; \ mathbf {r} (и) \ neq {\ bf {0 \;}}}$

Директриса может схлопнуться в точку (в случае конуса см. Пример ниже).

В качестве альтернативы линейчатая поверхность (CR) может быть описана как

• (CD) ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = (1-v) \; {\ color {красный} \ mathbf {c} (u)} + v \; {\ color {зеленый} \ mathbf {d} (u)} \}$

со второй директрисой .${\displaystyle \;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;}$

В качестве альтернативы, можно начать с двух непересекающихся кривых в качестве директрис и получить по (CD) линейчатую поверхность с направлениями линий${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u)\ .}$

Для создания линейчатой ​​поверхности двумя директрисами (или одной директрисой и векторами направлений линий) существенна не только геометрическая форма этих кривых, но и их специальные параметрические представления влияют на форму линейчатой ​​поверхности (см. Примеры a ), г)).

Для теоретических исследований более выгодно представление (CR) , поскольку параметр появляется только один раз.${\displaystyle v}$

Примеры [ править ]

цилиндр, конус

Правый круговой цилиндр [ править ]

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=a^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^{T}}$

${\displaystyle ={\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(0,0,1)^{T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(a\cos u,a\sin u,1)^{T}}\ .}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0)^{T}\ ,\ \mathbf {r} (u)=(0,0,1)^{T}\ ,\ \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1)^{T}\ .}$

Правый круговой конус [ править ]

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,1)^{T}}$

${\displaystyle =(1-v)\;(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(2\cos u,2\sin u,2)^{T}.}$

with В этом случае можно было бы использовать вершину как направляющую, то есть: и как направления линий.${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;=\;\mathbf {r} (u)\ ,\quad \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2)^{T}\ .}$
${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,0)^{T}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\ }$

Для любого конуса можно выбрать вершину в качестве направляющей. Этот случай показывает: директриса линейчатой ​​поверхности может вырождаться в точку .

Геликоид [ править ]

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\;(v\cos u,v\sin u,ku)^{T}\;}$

${\displaystyle =\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,0)^{T}\ }$

${\displaystyle =\;(1-v)\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ .}$

Направляющая - это ось z, направления линий - это, а вторая направляющая - спираль .${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)^{T}\;}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\ (\cos u,\sin u,0)^{T}\;}$${\displaystyle \ \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ }$

Геликоид - это частный случай линейчатых обобщенных геликоидов .

Цилиндр, конус и гиперболоиды [ править ]

гиперболоид одного листа для ${\displaystyle \varphi =63^{\circ }}$

Параметрическое представление

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)^{T}\;+\;v\;(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)^{T}}$

имеет два горизонтальных круга в качестве направляющих. Дополнительный параметр позволяет варьировать параметрическое представление окружностей. За${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =0\ }$получают цилиндр , ибо${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2\ }$один получает конус и для${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2\ }$получается гиперболоид из одного листа с уравнением и полуосями .${\displaystyle \ {\tfrac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$${\displaystyle \ a=\cos \varphi \;,\;c=\cot \varphi }$

Гиперболоид из одного листа - это двояковыпуклая поверхность.

Гиперболический параболоид [ править ]

Если две директрисы в (CD) являются прямыми

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

один получает

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$,

который является гиперболическим параболоидом, который билинейно интерполирует 4 точки . ^[1]${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$

Очевидно, линейчатая поверхность является двояковыпуклой , потому что любая точка лежит на двух линиях поверхности.

Для примера, показанного на диаграмме:

${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,0,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T},\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$.

У гиперболического параболоида есть уравнение .${\displaystyle z=xy}$

Лента Мебиуса [ править ]

Линейчатая поверхность

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$ (кружок как директриса),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ ,\quad 0\leq u<\pi \ ,}$

содержит ленту Мебиуса.

На диаграмме показана лента Мебиуса для .${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Простой расчет показывает (см. Следующий раздел). Следовательно, данная реализация ленты Мёбиуса не развертываема . Но есть разворачивающиеся ленты Мёбиуса. ^[2]${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0)\;,\;\mathbf {\dot {r}} (0)\;,\;\mathbf {r} (0))\;\neq \;0\ }$

Касательные плоскости, складывающиеся поверхности [ править ]

Для нижеследующих соображений предполагается, что существует любая необходимая производная.

Для определения вектора нормали в точке нужны частные производные представления  :${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\ }$ ,${\displaystyle \quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)}$

Следовательно, вектор нормали равен

• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .}$

Поскольку (Смешанное произведение с двумя равными векторами всегда равно 0!), Вектор является касательным вектором в любой точке . Касательные плоскости вдоль этой линии все одинаковые, если они кратны . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в плоскости, т.е. они линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно проверить с помощью определителя этих векторов:${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \ }$

• Касательные плоскости вдоль прямой равны, если${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r} (u_{0}))\;=\;0\ .}$

Важность этого определяющего условия показывает следующее утверждение:

• Линейчатая поверхность является развертывающейся в плоскость, если для любой точки гауссова кривизна равна нулем. Это как раз тот случай, если${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\quad }$

в любой момент верно. ^[3]

Образующие любой линейчатой ​​поверхности сливаются с одним семейством ее асимптотических прямых. Для развертывающихся поверхностей они также образуют одно семейство линий кривизны . Можно показать, что любая развертывающаяся поверхность представляет собой конус, цилиндр или поверхность, образованную всеми касательными к пространственной кривой. ^[4]

Дальнейшие примеры [ править ]

• Коноид
• Каталонская поверхность
• Раздвижные ролики ( олоид , сферикон )

Применение и история разворачивающихся поверхностей [ править ]

Детерминантное условие для развертывающихся поверхностей используется для определения численно складываемых связей между пространственными кривыми (директрисами). На схеме показана развивающаяся связь между двумя эллипсами, находящимися в разных плоскостях (одна горизонтальная, другая вертикальная), и ее развитие. ^[5]

Впечатление об использовании развертываемых поверхностей в автоматизированном проектировании ( САПР ) дается в документе « Интерактивное проектирование развертываемых поверхностей» ^[6]

Историческое исследование по развёртывающимся можно найти в развертывающейся поверхности: их история и применение ^[7]

Линейчатые поверхности в алгебраической геометрии [ править ]

В алгебраической геометрии линейчатые поверхности были первоначально определены как проективные поверхности в проективном пространстве, содержащие прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это сразу означает, что есть проективная линия на поверхности, проходящая через любую заданную точку, и это условие теперь часто используется как определение линейчатой ​​поверхности: линейчатые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие этому условию, что существует проективная линия. через любую точку. Это эквивалентно тому, что они бирациональны по отношению к произведению кривой и проективной прямой. Иногда линейчатую поверхность определяют как поверхность, удовлетворяющую более сильному условию, что она имеет расслоение.над кривой, слои которой являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая имеет проективную прямую через каждую точку, но не может быть записана как такое расслоение.

Линейчатые поверхности появляются в классификации Энриквеса проективных комплексных поверхностей, потому что каждая алгебраическая поверхность размерности Кодаира является линейчатой ​​поверхностью (или проективной плоскостью, если использовать ограничительное определение линейчатой ​​поверхности). Любая минимальная проективная линейчатая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением двумерного векторного расслоения над некоторой кривой. Линейчатые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха .${\displaystyle -\infty }$

Линейчатые поверхности в архитектуре [ править ]

Поверхности с двойной линией - это вдохновение для изогнутых гиперболоидных структур, которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:

• Гиперболические параболоиды, например, двускатные крыши .
• Гиперболоиды одного листа, такие как градирни и некоторые урны для мусора .

В ракетном двигателе RM-81 Agena использовались прямые охлаждающие каналы , расположенные на линейчатой ​​поверхности и образующие горловину сопловой секции.

• Охлаждение гиперболические башни на электростанции Didcot , Великобритания; поверхность может быть двояко линейчатой.

• Дважды управляемая водонапорная башня с тороидальным резервуаром, работы Яна Богуславского в Цехануве , Польша.

• Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной линией.

• Гиперболоидная водонапорная башня 1896 года в Нижнем Новгороде .

• Сетчатая оболочка из Шуховской башни в Москве, чьи участки вдвойне правила.

• Винтовая лестница с линейками внутри Торраццо Кремоны .

• Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) являются линейчатыми поверхностями.

• Гиперболический параболоид крыша железнодорожной станции Варшава Ochota в Варшаве , Польша.

• Линейчатая коническую шляпу .

• Гофрированная черепица, разделенная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальными в перпендикулярном направлении.

• Устройство плоской поверхности путем разметки ( стяжки ) бетона.

Ссылки [ править ]

• Ду Карму, Манфредо П.: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл; 1 издание, 1976 ISBN 978-0132125895 
• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту  1406314
• Edge, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей , Cambridge University Press - через Интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D .; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не бывает неплоских трехлинейчатых поверхностей», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, с. 228, ISBN 9780821843161.
• Ли, Ta-chʻien (ред.) (2011), Проблемы и решения в математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing CompanyCS1 maint: extra text: authors list (link).
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Исковских В.А. (2001) [1994], "Линейчатая поверхность" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых форм , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: блестки, Carlo H. (2009), Журнал математики и искусство 3: 229-230, DOI : 10,1080 / 17513470903332913

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Линейчатая поверхность» . MathWorld .
• Изображения с линейчатой ​​поверхностью из Университета Аризоны
• Примеры развертываемых поверхностей на сайте Rhino3DE