Геликоид

Геликоид с α  = 1, −1 ≤  ρ  ≤ 1 и - π  ≤  θ  ≤  π .

Геликоида , после плоскости и катеноида , является третьей минимальной поверхностью , чтобы быть известной.

Описание [ править ]

Он был описан Эйлером в 1774 году и Жаном Батистом Мёзье в 1776 году. Его название происходит от его сходства со спиралью : для каждой точки на спирали существует спираль, содержащаяся в спирали, проходящей через эту точку. Поскольку считается, что планарный диапазон простирается через отрицательную и положительную бесконечности, близкое наблюдение показывает появление двух параллельных или зеркальных плоскостей в том смысле, что, если прослеживается наклон одной плоскости, можно увидеть, что параллельная плоскость обходится или пропущено, хотя на самом деле соплоскость также прослеживается с противоположной точки зрения.

Геликоид также является линейчатой ​​поверхностью (и правильным коноидом ), что означает, что это след линии. В качестве альтернативы для любой точки на поверхности есть линия на поверхности, проходящая через нее. Действительно, Каталан доказал в 1842 году, что геликоид и плоскость были единственными линейчатыми минимальными поверхностями . ^[1]

Геликоид также является трансляционной поверхностью в смысле дифференциальной геометрии.

Геликоид и катеноид являются частями семейства минимальных поверхностей геликоид-катеноид.

Геликоид имеет форму винта Архимеда , но тянется бесконечно во всех направлениях. Его можно описать следующими параметрическими уравнениями в декартовых координатах :

${\ Displaystyle х = \ ро \ соз (\ альфа \ тета), \}$

${\ Displaystyle у = \ ро \ грех (\ альфа \ тета), \}$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

где ρ и θ изменяются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, а α - постоянная величина. Если α положительно, то геликоид правосторонний, как показано на рисунке; если отрицательный, то левша.

Геликоид имеет главные кривизны . Сумма этих величин дает среднюю кривизну (ноль, так как геликоид является минимальной поверхностью), а произведение дает гауссову кривизну .${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$

Геликоид гомеоморфен плоскости . Чтобы убедиться в этом, позвольте альфе непрерывно уменьшаться от заданного значения до нуля . Каждое промежуточное значение α будет описывать другой геликоид, пока не  будет достигнуто α = 0 и геликоид не станет вертикальной плоскостью .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

И наоборот, плоскость можно превратить в геликоид, выбрав линию или ось на плоскости, а затем повернув плоскость вокруг этой оси.

Если геликоид радиуса R вращается на угол θ вокруг своей оси, поднимаясь на высоту h , площадь поверхности определяется выражением ^[2]

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}}$

Геликоид и катеноид [ править ]

Анимация, показывающая преобразование геликоида в катеноид.

Геликоид и катеноид являются локально изометрическими поверхностями; см. Преобразование катеноида # геликоида .

См. Также [ править ]

• Обобщенный геликоид
• Поверхность Дини
• Правый коноид
• Линейчатая поверхность

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме геликоидов .

• "Геликоид" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Интерактивный трехмерный геликоид на основе WebGL