В дифференциальной геометрии , две главные кривизны в данной точке поверхности являются собственными значениями этого оператора формы в точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке.
Обсуждение [ править ]
В каждой точке р о наличии дифференцируемой поверхности в 3-мерном евклидове пространства можно выбрать единичный вектор нормали . Нормальная плоскость в точке p - это плоскость, которая содержит вектор нормали и, следовательно, также будет содержать уникальное касательное направление к поверхности и разрезать поверхность по плоской кривой, называемой нормальным сечением . Эта кривая, как правило, будет иметь разную кривизну для разных нормальных плоскостей в точке p . В главные кривизны при р , обозначаемый к 1 и к 2, - максимальное и минимальное значения этой кривизны.
При этом кривизна кривой, по определению, обратной по радиусу от соприкасающейся окружности . Кривизна считается положительной, если кривая поворачивается в том же направлении, что и выбранная нормаль к поверхности, и в противном случае отрицательной. Направления в нормальной плоскости, где кривизна принимает максимальное и минимальное значения, всегда перпендикулярны, если k 1 не равно k 2 , результат Эйлера (1760), и называются главными направлениями . С современной точки зрения, эта теорема следует из спектральной теоремы , так как эти направления в качестве главных осей в асимметричный тензор - вторая фундаментальная форма . Систематический анализ главных искривлений и главных направлений был предпринят Гастоном Дарбу с использованием рамок Дарбу .
Продукт к 1 к 2 из двух главных кривизн является гауссова кривизна , К , а средний ( к 1 + K 2 ) / 2 является средней кривизны , Н .
Если хотя бы одна из главных кривизны равна нулю в каждой точке, то гауссова кривизна будет равна 0, и поверхность является разворачивающейся поверхностью . Для минимальной поверхности средняя кривизна равна нулю в каждой точке.
Формальное определение [ править ]
Пусть M - поверхность в евклидовом пространстве со второй фундаментальной формой . Зафиксируем точку p ∈ M и ортонормированный базис X 1 , X 2 касательных векторов в точке p . Тогда главные кривизны - это собственные значения симметричной матрицы
![\ left [I \! I _ {{ij}} \ right] = {\ begin {bmatrix} I \! I (X_ {1}, X_ {1}) & I \! I (X_ {1}, X_ {2 }) \\ I \! I (X_ {2}, X_ {1}) & I \! I (X_ {2}, X_ {2}) \ end {bmatrix}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bffd43b323463adccee7129a8191ca0ad70344b)
Если X 1 и X 2 выбраны так, чтобы матрица была диагональной матрицей, то они называются главными направлениями . Если поверхность ориентирована , то часто требуется, чтобы пара ( X 1 , X 2 ) была положительно ориентирована относительно данной ориентации.
![\ left [I \! I _ {{ij}} \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c25a532dc99d4e755b582b3e013b0c91c449144)
Без ссылки на конкретный ортонормированный, главные кривизны являются собственными этим оператором формы и основные направления его собственные векторы .
Обобщения [ править ]
Для гиперповерхностей в многомерных евклидовых пространствах главные кривизны могут быть определены прямо аналогичным образом. Главные кривизны - это собственные значения матрицы второй фундаментальной формы в ортонормированном базисе касательного пространства. Основные направления - это соответствующие собственные векторы.
Аналогично, если M - гиперповерхность в римановом многообразии N , то главные кривизны являются собственными значениями его второй фундаментальной формы. Если к 1 , ..., K п являются п главные кривизны в точке р ∈ М и Х 1 , ..., Х п являются соответствующие ортонормированные собственные векторы (основные направления), то кривизна сечения из М в р дается к
для всех с .
Классификация точек на поверхности [ править ]
- В точках эллипса обе основные кривизны имеют одинаковый знак, а поверхность локально выпуклая .
- В омбилических точках обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор можно рассматривать как главное направление. Обычно это происходит в изолированных точках.
- В гиперболических точках главные кривизны имеют противоположные знаки, и поверхность будет локально седловидной.
- В параболических точках одна из главных кривизны равна нулю. Параболические точки обычно лежат на кривой, разделяющей эллиптические и гиперболические области.
- В плоских омбилических точках обе главные кривизны равны нулю. Общая поверхность не будет содержать плоских омбилических точек. Обезьяны седло одна поверхность с изолированной плоской омбилическим.
| k 1 | > 0 | = 0 | <0 | |
|---|---|---|---|---|
| k 2 | > 0 | Вогнутый эллипсоид | Вогнутый цилиндр | Гиперболоидная поверхность |
| = 0 | Вогнутый цилиндр | Самолет | Выпуклый цилиндр | |
| <0 | Гиперболоидная поверхность | Выпуклый цилиндр | Выпуклый эллипсоид | |
Линия кривизны [ править ]
В линии кривизны или кривизны линий являются кривыми , которые всегда касательной к основному направлению (они являются интегральные кривые для основных полей направлений). Через каждую непупочную точку будут проходить две линии кривизны, и эти линии будут пересекаться под прямым углом.
Вблизи пуповины линии кривизны обычно образуют одну из трех конфигураций звезды , лимона и монстара (производные от лимона-звезды ). [2] Эти точки также называются дарбуковской пуповиной в честь Гастона Дарбу , первого, кто провел систематическое исследование в Vol. 4, стр. 455, из его Leçons (1896 г.).
- Конфигурации линий кривизны возле шлангокабелей
Лимон
Monstar
Звезда
На этих рисунках красные кривые - это линии кривизны для одного семейства главных направлений, а синие кривые - для другого.
Когда линия кривизны имеет локальный экстремум той же главной кривизны, тогда кривая имеет точку гребня . Эти точки выступов образуют кривые на поверхности, называемые гребнями . Изгибы гребня проходят через шлангокабель. Для звездообразного рисунка через пупок проходит либо 3, либо 1 линия гребня, для монстара и лимона проходит только один гребень. [3]
Приложения [ править ]
Основные направления кривизны вместе с нормалью к поверхности определяют рамку трехмерной ориентации в точке поверхности. Например, в случае цилиндрической поверхности, физически касаясь или визуально наблюдая, мы знаем, что вдоль одного определенного направления поверхность является плоской (параллельной оси цилиндра), и, следовательно, обращаем внимание на ориентацию поверхности. Применение такой рамки ориентации в каждой точке поверхности означает, что любое вращение поверхностей во времени может быть определено просто путем рассмотрения изменения соответствующих рамок ориентации. Это привело к появлению алгоритмов оценки движения и сегментации одной точки в компьютерном зрении. [4]
См. Также [ править ]
- Радиус Земли # Основные секции
Ссылки [ править ]
- ^ Кривизна поверхности
- ^ Берри, МВ ; Hannay, JH (1977). «Омбилические точки на гауссовских случайных поверхностях» . Журнал Physics A . 10 (11): 1809–21. Bibcode : 1977JPhA ... 10.1809B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 10/11/009 .
- ^ Портеаус, IR (1994). Геометрическая дифференциация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-39063-X.
- ^ Perera, S .; Барнс, Н. (ноябрь 2013 г.). «Одноточечная оценка жесткого движения и сегментация с помощью камеры RGB-D». Международная конференция 2013 года по вычислениям цифровых изображений: методы и приложения (DICTA) : 1–8. DOI : 10.1109 / DICTA.2013.6691469 . ISBN 978-1-4799-2126-3.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Дарбу, Гастон (1887, 1889, 1896). Leçons sur la théorie génerale des поверхностей . Готье-Виллар. Проверить значения даты в:
|year=( помощь ) - Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
- Кобаяси, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии. 2 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
- Спивак, Майкл (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3) . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-72-1.
Внешние ссылки [ править ]
- Исторические комментарии к эллипсоиду Монжа и конфигурации линий кривизны на поверхностях, погруженных в R 3
