Симметричный тензор

В математике , симметричный тензор является тензором , который инвариантен относительно перестановки своих векторных аргументов:

{\ Displaystyle T (v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {r}) = T (v _ {\ sigma 1}, v _ {\ sigma 2}, \ ldots, v _ {\ sigma r}) }

для любой перестановки σ символов {1, 2, ..., r }. В качестве альтернативы симметричный тензор порядка r, представленный в координатах как величина с индексами r, удовлетворяет

T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.

Пространство симметричных тензоров порядка г на конечномерном векторном пространстве V является естественно изоморфна к двойственной пространства однородных многочленов степени г на V . Над полями от нулевой характеристики , то градуированное векторное пространство всех симметричных тензоров может быть естественным образом отождествляется с симметричной алгебры на V . Связанное с этим понятие - понятие антисимметричного тензора или знакопеременной формы . Симметричные тензоры широко используются в технике , физике.и математика .

Определение [ править ]

Пусть V - векторное пространство и

T\in V^{\otimes k}

тензор порядка k . Тогда T - симметричный тензор, если

\tau _{\sigma }T=T\,

для отображений плетения, связанных с каждой перестановкой σ на символах {1,2, ..., k } (или, что то же самое, с каждой перестановкой этих символов).

Для базиса { e ⁱ } в V любой симметричный тензор T ранга k можно записать как

T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}

для некоторого уникального списка коэффициентов ( компонентов тензора в базисе), симметричных по индексам. Так сказать $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$

T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}

для любой перестановки σ.

Пространство всех симметричных тензоров порядка k, определенных на V , часто обозначается S ^k ( V ) или Sym ^k ( V ). Это само векторное пространство, и если V имеет размерность N, то размерность Sym ^k ( V ) является биномиальным коэффициентом

\dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.

Затем мы построим Sym ( V ) как прямую сумму Sym ^k ( V ) для k = 0,1,2, ...

\operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).

Примеры [ править ]

Есть много примеров симметричных тензоров. Некоторые из них, в метрический тензор , , то тензор Эйнштейна , и тензор Риччи , . $g_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }$ $R_{\mu \nu }$

Многие свойства материалов и поля, используемые в физике и технике, могут быть представлены как симметричные тензорные поля; например: напряжение , деформация и анизотропная проводимость . Кроме того, в диффузионной МРТ часто используются симметричные тензоры для описания диффузии в головном мозге или других частях тела.

Эллипсоиды - это примеры алгебраических многообразий ; Таким образом, для общего ранга симметричные тензоры под видом однородных многочленов используются для определения проективных многообразий и часто изучаются как таковые.

Симметричная часть тензора [ править ]

Предположим, что это векторное пространство над полем характеристики 0. Если T ∈ V ^⊗^k - тензор порядка , то симметричная часть - это симметричный тензор, определяемый формулой $V$ $k$ $T$

\operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,

суммирование по симметрической группе на k символах. В терминах базиса и с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании , если

T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},

тогда

\operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.

Компоненты тензора, появляющиеся справа, часто обозначают через

T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}

с круглыми скобками () вокруг симметризуемых индексов. Квадратные скобки [] используются для обозначения антисимметризации.

Симметричный продукт [ править ]

Если T - простой тензор, заданный как чистое тензорное произведение

T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}

тогда симметричная часть T - это симметричное произведение множителей:

v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.

В общем, мы можем превратить Sym ( V ) в алгебру , определив коммутативное и ассоциативное произведение ⊙. ^[1] Для двух тензоров T ₁ ∈ Sym ^{k ₁} ( V ) и T ₂ ∈ Sym ^{k ₂} ( V ) мы используем оператор симметризации, чтобы определить:

T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).

Можно проверить (как это сделали Кострикин и Манин ^[1] ), что полученное произведение на самом деле коммутативно и ассоциативно. В некоторых случаях оператор опускается: T ₁T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂ .

В некоторых случаях используется экспоненциальная запись:

v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.

Где v - вектор. Опять же, в некоторых случаях ⊙ опускается:

v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.

Разложение [ править ]

По аналогии с теорией симметричных матриц , (действительный) симметричный тензор 2-го порядка можно «диагонализовать». Точнее, для любого тензора T ∈ Sym ² ( V ) существуют целое число r , ненулевые единичные векторы v ₁ , ..., v _r ∈ V и веса λ ₁ , ..., λ _r такие, что

T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.

Минимальное число г , для которых такое разложение возможно является (симметричный) ранг Т . Векторы, появляющиеся в этом минимальном выражении, являются главными осями тензора и обычно имеют важное физическое значение. Например, главные оси тензора инерции определяют эллипсоид Пуансо, представляющий момент инерции. Также см . Закон инерции Сильвестра .

Для симметричных тензоров произвольного порядка k разложения

T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}

также возможны. Минимальное число г , для которых такого разложения возможно является симметричным рангом из T . ^[2] Это минимальное разложение называется разложением Варинга; это симметричная форма разложения тензорного ранга . Для тензоров второго порядка это соответствует рангу матрицы, представляющей тензор в любом базисе, и хорошо известно, что максимальный ранг равен размерности лежащего в основе векторного пространства. Однако для более высоких порядков это не обязательно: ранг может быть выше, чем количество измерений в нижележащем векторном пространстве. Более того, ранг и симметричный ранг симметричного тензора могут различаться. ^[3]

См. Также [ править ]

Антисимметричный тензор
Исчисление Риччи
Полином Шура
Симметричный полином
Транспонировать
Юный симметризатор

Примечания [ править ]

^ a b Кострикин Алексей Иванович ; Манин, Юрий Иванович (1997). Линейная алгебра и геометрия . Алгебра, логика и приложения. 1 . Гордон и Брич. С. 276–279. ISBN 9056990497.
^ Comon, P .; Голуб, Г .; Lim, LH; Моррен, Б. (2008). «Симметричные тензоры и симметричный тензорный ранг». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . DOI : 10.1137 / 060661569 .
^ Шитов, Ярослав (2018). «Контрпример к гипотезе Комона» . Журнал SIAM по прикладной алгебре и геометрии . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . DOI : 10.1137 / 17m1131970 . ISSN 2470-6566 .

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Бурбаки, Николас (1990), Элементы математики, Алгебра II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8.
Greub, Вернер Гильдберт (1967), полилинейная алгебра , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, MR 0224623.
Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0.

Внешние ссылки [ править ]

Сезар О. Агилар, Размерность симметричных k-тензоров

[Kostrikin1997-1] Кострикин Алексей Иванович ; Манин, Юрий Иванович (1997). Линейная алгебра и геометрия . Алгебра, логика и приложения. 1 . Гордон и Брич. С. 276–279. ISBN 9056990497.

[Comon2008-2] Comon, P .; Голуб, Г .; Lim, LH; Моррен, Б. (2008). «Симметричные тензоры и симметричный тензорный ранг». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . DOI : 10.1137 / 060661569 .

[3] Шитов, Ярослав (2018). «Контрпример к гипотезе Комона» . Журнал SIAM по прикладной алгебре и геометрии . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . DOI : 10.1137 / 17m1131970 . ISSN 2470-6566 .