Алгебраическое многообразие

Скрученная кубики является проективным алгебраическим многообразием.

Алгебраические многообразия являются центральными объектами изучения алгебраической геометрии , подполя математики . Классический, алгебраическое многообразие определяются как множество решений одного систем полиномиальных уравнений над вещественными или комплексными числами . Современные определения обобщают это понятие несколькими различными способами, пытаясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе исходного определения. ^[1]^{: 58}

Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым, что означает, что это не объединение двух меньших множеств , замкнутых в топологии Зарисского . В соответствии с этим определением неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами . Другие соглашения не требуют сводимости.

Основная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией , показывая , что унитарный многочлен (алгебраический объект) в одной переменных с комплексными коэффициентами чисел определяется множеством своих корней (геометрический объект) в комплексной плоскости . Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами колец многочленов и алгебраическими множествами. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили строгое соответствие между вопросами алгебраических множеств и вопросами теории колец.. Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.

Многие алгебраические многообразия являются многообразиями , но алгебраическое многообразие может иметь особые точки, а многообразие - нет. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать своей размерностью . Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми, а алгебраические многообразия размерности два - алгебраическими поверхностями .

В контексте современной теории схем алгебраическое многообразие над полем - это интегральная (неприводимая и редуцированная) схема над этим полем, структурный морфизм которой разделен и имеет конечный тип.

Обзор и определения [ править ]

Аффинное многообразие над алгебраически замкнутым полем является концептуально простой тип разнообразия , чтобы определить, что будет сделано в этом разделе. Затем аналогичным образом можно определить проективные и квазипроективные многообразия. Наиболее общее определение многообразия получается склеиванием меньших квазипроективных многообразий. Не очевидно, что таким образом можно построить действительно новые образцы разновидностей, но Нагата привел пример такой новой разновидности в 1950-х годах.

Аффинные разновидности [ править ]

Для алгебраически замкнутого поля К и натуральному числу п , пусть $А п$ быть аффинным п -пространством над K . Многочлены $f$ в кольце $K$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $]$ можно рассматривать как K -значные функции на $A$ $n$ , вычисляя $f$ в точках в $A$ $n$ , т.е. выбирая значения в K для каждого x _i . Для каждого набора S многочленов от $K [x 1, ..., x n]$ определим геометрическое место нулей Z ( S ) как множество точек в $A n,$ в которых функции из S одновременно обращаются в нуль, то есть

{\ Displaystyle Z (S) = \ left \ {x \ in \ mathbf {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in S \ right \}.}

Подмножество V из $А п$ называется аффинное алгебраическое множество , если V = Z ( S ) для некоторого S . ^[1]^{: 2} Непустое аффинное алгебраическое множество V называется неприводимым, если его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. ^[1]^{: 3} Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называется аффинным многообразием . ^[1]^{: 3} (Многие авторы используют фразу аффинное разнообразиедля обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или неприводимого ^{[примечание 1]} )

Аффинным многообразиям можно придать естественную топологию , объявив замкнутые множества в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского. ^[1]^{: 2}

Для подмножества V в $A n$ мы определяем I ( V ) как идеал всех полиномиальных функций, обращающихся в нуль на V :

{\ displaystyle I (V) = \ left \ {f \ in K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} x \ in V \верно\}.}

Для любого аффинного алгебраического множества V , то координатное кольцо или кольцевая структуры из V представляет собой фактор кольца многочленов от этого идеала. ^[1]^{: 4}

Проективные многообразия и квазипроективные многообразия [ править ]

Пусть $k$ - алгебраически замкнутое поле, а $P n$ - проективное n -пространство над $k$ . Пусть $f$ in $k$ $[$ $x$ $0$ $, ...,$ $x$ $n$ $]$ - однородный многочлен степени d . Определение $f$ для точек в $P$ $n$ в однородных координатах не является корректным . Однако, поскольку $f$ однородна, это означает, что $f$ $($ $λx$ $0$ $, ...,$ $λx$ $n$ $) = Х d ф (х 0, ..., х п)$ , он делает , имеет смысл спросить , есть ли $е$ обращается в нуль в точке $[$ $х$ $0$ $: ...:$ $х$ $п$ $]$ . Для каждого набора S однородных многочленов определите геометрическое место нулей S как множество точек в $P$ $n,$ на которых функции из S обращаются в нуль:

{\ displaystyle Z (S) = \ {x \ in \ mathbf {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in S \}.}

Подмножество V из $Р п$ называется проективным алгебраическим множеством , если V = Z ( S ) для некоторого S . ^[1]^{: 9} Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием . ^[1]^{: 10}

Проективные многообразия также снабжены топологией Зарисского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.

Учитывая подмножество V из $Р п$ , пусть я ( V ) идеал , порожденный всеми однородными многочленами , равных нулю на V . Для любого проективного алгебраического множества V , то координатное кольцо из V является фактором кольца многочленов от этого идеала. ^[1]^{: 10}

Квазипроективное многообразие является Зарисским подмножеством проективного многообразия. Обратите внимание, что каждое аффинное многообразие квазипроективно. ^[2] Отметим также, что дополнение алгебраического множества в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называют не многообразием, а конструктивным множеством .

Абстрактные разновидности [ править ]

В классической алгебраической геометрии все многообразия по определению были квазипроективными многообразиями , что означает, что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий проективного пространства . Так , например, в главе 1 Hartshorne разнообразие над алгебраически замкнутым полем определяется как квази-проективное многообразие , ^[1]^{: 15} , но из главы 2 и далее, термин разнообразие (также называется абстрактным разнообразие ) относится к более общий объект, который локально является квазипроективным разнообразием, но при рассмотрении в целом не обязательно является квазипроективным; т.е. он может не иметь вложения в проективное пространство . ^[1]^{: 105} Итак, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии на многообразии и регулярных функций на многообразии. Недостатком такого определения является то, что не все разновидности имеют естественные вложения в проективное пространство. Например, согласно этому определению произведение $P 1 \times P 1$ не является многообразием, пока оно не вложено в проективное пространство; Обычно это делается с помощью встраивания Сегре . Однако любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает множество других, составляя вложение с вложением Веронезе.. Следовательно, многие понятия, которые должны быть внутренними, например концепция регулярной функции, не являются очевидными.

Самая ранняя успешная попытка абстрактного определения алгебраического многообразия без вложения была предпринята Андре Вейлем . В своих « Основах алгебраической геометрии» Вейль определил абстрактное алгебраическое многообразие с помощью оценок . Клод Шевалле дал определение схемы , которая служила той же цели, но была более общей. Однако определение схемы, данное Александром Гротендиком, является еще более общим и получило наиболее широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как целостная , разделенная схема конечного типа.над алгебраически замкнутым полем ^{[примечание 2],} хотя некоторые авторы отбрасывают неприводимость, редуцируемость или условие отделенности или допускают, чтобы лежащее в основе поле не было алгебраически замкнутым. ^{[примечание 3]} Классические алгебраические многообразия - это квазипроективные интегральные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий [ править ]

Один из первых примеров неквазипроективного алгебраического многообразия был дан Нагатой. ^[3] Пример Нагаты не был полным (аналог компактности), но вскоре после этого он нашел алгебраическую поверхность, которая была полной и непроективной. ^[4] С тех пор были найдены и другие примеры.

Примеры [ править ]

Подмножество [ править ]

Подмногообразие представляет собой подмножество множества, которое само разнообразие (по отношению к структуре , индуцированной из окружающего многообразия). Например, каждое открытое подмножество разнообразия - это разнообразие. См. Также закрытое погружение .

Nullstellensatz Гильберта говорит, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с первичными идеалами или однородными первичными идеалами координатного кольца этого многообразия.

Аффинное разнообразие [ править ]

Пример 1 [ править ]

Пусть $к = С$ , и ² будет двумерное аффинное пространство над C . Многочлены в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A ² , выполняя вычисления в точках в A ² . Пусть подмножество S из С [ х , у ] содержать единственный элемент $п$ $($ $х$ $,$ $у$ $)$ :

{\ displaystyle f (x, y) = x + y-1.}

Географическое положение нулей функции $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ - это множество точек в A ^2, в которых эта функция обращается в нуль: это множество всех пар комплексных чисел ( x , y ) таких, что y = 1 - x . Это называется линией на аффинной плоскости. (В классической топологии, исходящей из топологии комплексных чисел, комплексная прямая - это вещественное многообразие размерности два.) Это множество $Z$ $($ $f$ $)$ :

{\ displaystyle Z (f) = \ {(x, 1-x) \ in \ mathbf {C} ^ {2} \}.}

Таким образом, подмножество $V = Z (F)$ из A ² представляет собой алгебраическое множество . Множество V не пусто. Это неприводимо, так как не может быть записано как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2 [ править ]

Пусть $к = С$ , и ² будет двумерное аффинное пространство над C . Многочлены в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A ² , выполняя вычисления в точках в A ² . Пусть подмножество S из С [ х , у ] содержать единственный элемент г ( х , у ):

{\ displaystyle g (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1.}

Географическое положение нулей g ( x , y ) - это множество точек в A ^2, на которых эта функция обращается в нуль, то есть множество точек ( x , y ) таких, что x ² + y ² = 1. Поскольку g ( x , y ) - абсолютно неприводимый многочлен, это алгебраическое многообразие. Множество его реальных точек (то есть точек, для которых x и y являются действительными числами) называется единичной окружностью ; это название также часто дают всему разнообразию.

Пример 3 [ править ]

Следующий пример не является ни гиперповерхностью , ни линейным пространством , ни отдельной точкой. Пусть ³ будет три-мерное аффинное пространство над C . Множество точек ( x , x ² , x ³ ) для x в C является алгебраическим многообразием, а точнее алгебраической кривой, не содержащейся ни в какой плоскости. ^{[примечание 4]} Это скрученный куб, показанный на рисунке выше. Его можно определить уравнениями

{\ displaystyle {\ begin {align} yx ^ {2} & = 0 \\ zx ^ {3} & = 0 \ end {align}}}

Неприводимость этого алгебраического множества требует доказательства. Один из подходов в этом случае - проверить, что проекция ( x , y , z ) → ( x , y ) инъективна на множестве решений и что ее образ является неприводимой плоской кривой.

Для более сложных примеров всегда может быть дано аналогичное доказательство, но оно может подразумевать сложное вычисление: сначала вычисление базиса Грёбнера для вычисления размерности, а затем случайное линейное изменение переменных (не всегда необходимо); затем вычисление базиса Грёбнера для другого мономиального упорядочения для вычисления проекции и доказательства того, что он в общем случае инъективен и что его образ является гиперповерхностью , и, наконец, полиномиальная факторизация для доказательства неприводимости изображения.

Проективное разнообразие [ править ]

Проективное многообразие является замкнутым подмногообразием проективного пространства. То есть это геометрическое место нулей набора однородных многочленов, которые порождают простой идеал .

Пример 1 [ править ]

Аффинная плоская кривая y ² = x ³ - x . Соответствующая проективная кривая называется эллиптической кривой.

Плоская проективная кривая - это множество нулей неприводимого однородного многочлена от трех неопределенностей. Проективная линия Р ¹ представляет собой пример проективных кривой; ее можно рассматривать как кривую на проективной плоскости P ² = {[ x , y , z ] }, определяемую x = 0 . В качестве другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую

{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x.}

в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики не два). Ему соответствует кубическое однородное полиномиальное уравнение:

y^{2}z=x^{3}-xz^{2},

которая определяет кривую в Р ² , называемую эллиптической кривой . Кривая имеет род один ( формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой P ¹ , имеющей нулевой род. Использование рода для различения кривых очень просто: фактически, род является первым инвариантом, который используется для классификации кривых (см. Также построение модулей алгебраических кривых ).

Пример 2 [ править ]

Пусть V - конечномерное векторное пространство. Грассманиан многообразие G _п ( V ) представляет собой множество всех п - мерных подпространств V . Это проективное многообразие: оно вкладывается в проективное пространство с помощью вложения Плюккера :

{\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}

где б _я есть любое множество линейно независимых векторов в V , представляет собой N -й внешней степени из V , и кронштейн [ ж ] означает , что линия , натянутых на ненулевой вектор ш . $\wedge ^{n}V$

Грассманово многообразие имеет естественное векторное расслоение (или локально свободный пучок в другой терминологии), называемое тавтологическим расслоением , что важно при изучении характеристических классов, таких как классы Черна .

Неаффинный и непроективный пример [ править ]

Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. В качестве примера пусть X = P ¹ × A ¹ и p : X → A ¹ проекция. Это алгебраическое многообразие, поскольку оно является продуктом многообразий. Оно не аффинно, поскольку P ¹ - замкнутое подмногообразие X (как нулевое множество p ), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. Он также не проективен, поскольку на X существует непостоянная регулярная функция ; а именно, стр .

Другой пример не-аффинный не-проективного многообразия Х = ² - (0, 0) (см морфизма многообразий § примеров .)

Основные результаты [ править ]

Аффинное алгебраическое множество V является многообразием тогда и только тогда, когда I ( V ) - первичный идеал ; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является областью целостности . ^[5]^{: 52}^[1]^{: 4}
Каждое непустое аффинное алгебраическое множество может быть однозначно записано как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмногообразием какого-либо другого). ^[1]^{: 5}
Размерность сорта может быть определена различными эквивалентными способами. Подробнее см. Размерность алгебраического многообразия .
Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием.

Изоморфизм алгебраических многообразий [ править ]

Пусть $V 1, V 2$ - алгебраические многообразия. Мы говорим , $V 1$ и $V 2$ являются изоморфными , и писать $V 1 ≅ V 2$ , если есть регулярные отображения $ф : V 1 \to V 2$ и $г | : V 2 \to V 1$ таким образом, что композиции $г | \circ ф$ и $ф \circ г |$ являются идентичность отображает на $V 1$ и $V 2$ соответственно.

Обсуждение и обобщения [ править ]

Этот раздел включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Приведенные выше основные определения и факты позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше - например, иметь дело с многообразиями над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми, - требуются некоторые фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя и эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. Абстрактные алгебраическое многообразие представляет особый вид схемы; Обобщение схем с геометрической стороны позволяет распространить соответствие, описанное выше, на более широкий класс колец. Схема - это локально окольцованное пространство , в котором каждая точка имеет окрестность, которая, как локально окольцованное пространство, изоморфна спектру кольца. В основном, многообразие над $к$ является схемой которой структурного пучок является пучком из $к$ -алгебрам со свойством , что кольца R , которые происходят выше , являются всеми интегральными доменами и все конечно порожденные $K$ -алгебр, то есть, они являются частными из полиномиальных алгебр по простым идеалам .

Это определение работает над любым полем $k$ . Он позволяет склеивать аффинные разновидности (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологические объекты, например аффинную линию с удвоенным нулем. Такие объекты обычно не считаются разновидностями и исключаются путем требования разделения схем, лежащих в основе разновидности . (Строго говоря, существует также третье условие, а именно, что в приведенном выше определении требуется только конечное число аффинных фрагментов.)

Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на разнообразие, имеющее аффинные диаграммы в области целостности , и, говоря о разнообразии, требуют только, чтобы аффинные диаграммы имели тривиальный нильрадикал .

Полное многообразие является разновидностью таким образом, что любое отображение из открытого подмножества невырожденной кривой в нее может быть однозначно продолжается до всей кривой. Всякое проективное многообразие полно, но не наоборот.

Эти многообразия были названы «многообразиями в смысле Серра», поскольку для них была написана основополагающая статья Серра FAC о когомологиях пучков . Они остаются типичными объектами для начала изучения алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются во вспомогательных целях.

Один из способов, который ведет к обобщениям, - разрешить приводимые алгебраические множества (и поля $k$ , которые не являются алгебраически замкнутыми), поэтому кольца R могут не быть областями целостности. Более существенная модификация состоит в том, чтобы разрешить нильпотенты в связке колец, т. Е. Кольца, которые не редуцируются . Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, встроенных в теорию схем Гротендика .

Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «кратностей» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной линии, определяемая x ² = 0, отличается от подсхемы, определяемой x = 0 (начало координат). В более общем смысле, слой морфизма схем X → Y в точке Y может быть нередуцированным, даже если X и Y уменьшены. С геометрической точки зрения это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.

Есть и другие обобщения, называемые алгебраическими пространствами и стеками .

Алгебраические многообразия [ править ]

Алгебраическое многообразие - это алгебраическое многообразие, которое также является m -мерным многообразием, и, следовательно, каждый достаточно малый локальный фрагмент изоморфен k ^m . Эквивалентно многообразие гладкое (без особых точек). Когда $k$ - действительные числа, R , алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша . Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением проективных многообразий. Сфера Римана является одним из примеров.

См. Также [ править ]

Разнообразие (значения) - перечисление также нескольких математических значений
Функциональное поле алгебраического многообразия
Бирациональная геометрия
Абелева разновидность
Мотив (алгебраическая геометрия)
Аналитическое разнообразие
Пространство Зарисского – Римана
Полуалгебраический набор

Сноски [ править ]

^ Хартсхорн, p.xv, отмечает, что его выбор необычен; см., например, Харрис, стр. 3
Перейти ↑ Hartshorne, 1976 , pp. 104–105
^ Лю, Цин. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , стр. 55 Определение 2.3.47 и с. 88 Пример 3.2.3
^ Харрис, стр.9; его несократимость утверждается в Хартсхорне, стр.7.

Ссылки [ править ]

^ Б с д е е г ч я J к л м Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
^ Hartshorne, упражнения I.2.9, с.12
^ Нагата, Масаёси (1956), «О проблеме вложения абстрактных многообразий в проективные многообразия», Мемуары Колледжа наук Университета Киото. Серия A: Математика , 30 : 71–82, MR 0088035
^ Нагата, Масаёси (1957), «О вложениях абстрактных поверхностей в проективные многообразия», Мемуары Колледжа наук Университета Киото. Серия A: Математика , 30 : 231–235, MR 0094358.
^ Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия - Первый курс . Springer-Verlag . ISBN 0-387-97716-3.

Кокс, Дэвид ; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (второе изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94680-2.
Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94269-6.
Милн, Джеймс С. (2008). «Алгебраическая геометрия» . Проверено 1 сентября 2009 .

Эта статья содержит материал из изоморфизме сортов на PlanetMath , который под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[2] Хартсхорн, p.xv, отмечает, что его выбор необычен; см., например, Харрис, стр. 3

[4] Перейти ↑ Hartshorne, 1976 , pp. 104–105

[5] Лю, Цин. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , стр. 55 Определение 2.3.47 и с. 88 Пример 3.2.3

[8] Харрис, стр.9; его несократимость утверждается в Хартсхорне, стр.7.

[Hartshorne-1] Б с д е е г ч я J к л м Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.

[3] Hartshorne, упражнения I.2.9, с.12

[Nagata56-6] Нагата, Масаёси (1956), «О проблеме вложения абстрактных многообразий в проективные многообразия», Мемуары Колледжа наук Университета Киото. Серия A: Математика , 30 : 71–82, MR 0088035

[Nagata57-7] Нагата, Масаёси (1957), «О вложениях абстрактных поверхностей в проективные многообразия», Мемуары Колледжа наук Университета Киото. Серия A: Математика , 30 : 231–235, MR 0094358.

[Harris-9] Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия - Первый курс . Springer-Verlag . ISBN 0-387-97716-3.

[1]