 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( сентябрь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В математической области алгебраической геометрии , А особая точка из алгебраического многообразия V является точкой Р , что это «специальный» (так, в единственном числе), в геометрическом смысле , что в этой точке касательное пространство в различных не может быть регулярно определен . В случае многообразий, определенных над вещественными числами, это понятие обобщает понятие локальной неплоскостности . Неособая точка алгебраического многообразия называется регулярной . Алгебраическое многообразие, не имеющее особой точки, называется неособым или гладким .
Определение [ править ]
Плоская кривая, определяемая неявным уравнением
- ,
где F - гладкая функция , называется особой в точке, если ряд Тейлора функции F имеет порядок не менее 2 в этой точке.
Причина этого в том, что в дифференциальном исчислении касательная в точке ( x 0 , y 0 ) такой кривой определяется уравнением
левая часть которого является членом первой степени разложения Тейлора. Таким образом, если этот член равен нулю, касательная не может быть определена стандартным способом либо потому, что она не существует, либо потому, что необходимо дать специальное определение.
В общем для гиперповерхности
эти особые точки являются те , при которых все частные производные одновременно равны нулю. Общее алгебраическое многообразие V , определяемое как общие нули нескольких полиномов , условие того, что точка P множества V является особой точкой, состоит в том, что матрица Якоби частных производных первого порядка полиномов имеет ранг в P ниже, чем ранг в других точках разнообразия.
Неособые точки V называются неособыми или регулярными . Всегда верно, что почти все точки неособые в том смысле, что неособые точки образуют множество, которое одновременно открыто и плотно в многообразии (для топологии Зарисского , как и для обычной топологии, в случай многообразий, определенных над комплексными числами ). [1]
В случае вещественного многообразия (то есть множества точек с действительными координатами многообразия, определяемого многочленами с действительными коэффициентами), многообразие является многообразием вблизи каждой регулярной точки. Но важно отметить, что реальное многообразие может быть многообразием и иметь особые точки. Например, уравнение y 3 + 2 x 2 y - x 4 = 0 определяет вещественное аналитическое многообразие, но имеет особую точку в начале координат. [2] Это можно объяснить, сказав, что кривая имеет две комплексно сопряженные ветви, которые пересекают реальную ветвь в начале координат.
Особые точки гладких отображений [ править ]
Поскольку понятие особых точек является чисто локальным свойством, приведенное выше определение может быть расширено, чтобы охватить более широкий класс гладких отображений (функции из M в R n, где существуют все производные). Анализ этих особых точек можно свести к случаю алгебраического многообразия, рассматривая струи отображения. К - й струи является рядом Тейлора отображения усеченного на степени к и удалению термин постоянной .
Узлы [ править ]
В классической алгебраической геометрии некоторые особые особые точки также назывались узлами . Узел - это особая точка, в которой матрица Гессе неособа; это означает, что особая точка имеет кратность два, а касательный конус не является особенным вне своей вершины.
См. Также [ править ]
- Карта Милнора
- Разрешение особенностей
- Особая точка кривой
- Теория сингулярности
- Плавная схема
- Касательное пространство Зарисского
Ссылки [ править ]
- ^ Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. Руководство по ремонту 0463157 . Zbl 0367.14001 .
- ^ Милнор, Джон (1969). Особые точки сложных гиперповерхностей . Анналы математических исследований. 61 . Издательство Принстонского университета . С. 12–13. ISBN 0-691-08065-8.
