Касательное пространство

В математике , то касательное пространство из многообразия облегчает обобщение векторов из аффинных пространств в общие многообразия, так как в последнем случае нельзя просто вычитать две точки , чтобы получить вектор , который дает смещение от одной точки до другого.

Неофициальное описание [ править ]

Наглядное изображение касательного пространства одной точки на сфере . Вектор в этом касательном пространстве представляет возможную скорость при . После перемещения в этом направлении к ближайшей точке скорость будет задаваться вектором в касательном пространстве этой точки - другом касательном пространстве, которое не показано.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

В дифференциальной геометрии , можно прикрепить к каждой точке из более дифференцируемого многообразия в касательное пространство -a реального векторного пространства , которые интуитивно содержит возможные направления , в котором можно по касательной проходят через . Элементы касательного пространства в называются касательными векторами в . Это обобщение понятия связанного вектора в евклидовом пространстве . Размерность касательного пространства в каждой точке подключенного многообразия такой же , как и в многообразии самого.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Например, если данное многообразие является - сфера , то можно представить касательное пространство в точке в плоскости , которая касается сферы в этой точке и находится перпендикулярно к радиусу сферы , проходящей через точку. Вообще, если данное многообразие мыслятся как внедренное подмногообразие в евклидове пространства , то можно представить касательное пространство в этом буквальном образе. Это был традиционный подход к определению параллельного транспорта . Его используют многие авторы по дифференциальной геометрии и общей теории относительности . ^{[1] [2]}${\ displaystyle 2}$ Более строго, это определяет аффинное касательное пространство, которое отличается от пространства касательных векторов, описываемого современной терминологией.

В алгебраической геометрии , в отличии от этого , существует внутреннее определение касательного пространства в точке в качестве алгебраического многообразия , что дает векторное пространство с размером , по крайней мере , что из себя. Точки, в которых размерность касательного пространства в точности совпадает с размерностью , называются неособыми точками; остальные называются особыми точками. Например, кривая, которая пересекает себя, не имеет уникальной касательной в этой точке. Особые точки - это те, в которых «тест на многообразие» не проходит. См. Касательное пространство Зарисского .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

После того, как были введены касательные пространства многообразия, можно определить векторные поля , которые являются абстракциями поля скоростей частиц, движущихся в пространстве. Векторное поле плавно присоединяет к каждой точке многообразия вектор из касательного пространства в этой точке. Такое векторное поле служит для определения обобщенного обыкновенного дифференциального уравнения на многообразии: решением такого дифференциального уравнения является дифференцируемая кривая на многообразии, производная которой в любой точке равна касательному вектору, прикрепленному к этой точке векторным полем.

Все касательные пространства многообразия могут быть «склеены вместе», чтобы образовать новое дифференцируемое многообразие с удвоенной размерностью исходного многообразия, называемое касательным расслоением многообразия.

Формальные определения [ править ]

Неформальное описание выше полагается на способность многообразия быть встраиваемым в окружающее векторное пространство, так что касательные векторы могут «выступать» из многообразия в окружающее пространство. Однако удобнее определять понятие касательного пространства исключительно на основе самого многообразия. ^[3]${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Существуют различные эквивалентные способы определения касательных пространств многообразия. Хотя определение через скорость кривых интуитивно является самым простым, с ним также очень сложно работать. Ниже описаны более элегантные и абстрактные подходы.

Определение через касательные кривые [ править ]

На встроенном-многообразии картину, касательный вектор в точке мыслится как скорости в виде кривой , проходящей через точку . Таким образом, мы можем определить касательный вектор как класс эквивалентности кривых, которые проходят , касаясь друг друга в точке .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Предположим, что это дифференцируемое многообразие (с гладкостью ) и что . Выберите координатную диаграмму , где является открытым подмножеством из содержащих . Предположим далее, что даны две кривые с такими, что обе дифференцируемы в обычном смысле (мы называем эти дифференцируемые кривые, инициализированные в точке ). Тогда и называются эквивалентными в точке и только тогда, когда производные и в точке совпадают. Это определяет отношение эквивалентности${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C ^ {k}}$ ${\ Displaystyle к \ geq 1}$${\ displaystyle x \ in M}$ ${\ displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}: (- 1,1) \ to M}$${\ displaystyle {\ gamma _ {1}} (0) = x = {\ gamma _ {2}} (0)}$${\ displaystyle \ varphi \ circ \ gamma _ {1}, \ varphi \ circ \ gamma _ {2}: (- 1,1) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ varphi \ circ \ gamma _ {1}}$${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$${\displaystyle 0}$на множестве всех дифференцируемых кривых, инициализированных в точке , и классы эквивалентности таких кривых называются касательными векторами к точке . Класс эквивалентности любой такой кривой обозначается через . Касательное пространство по крайней , обозначается , затем определяется как множество всех касательных векторов в ; это не зависит от выбора координатной карты .${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

Касательное пространство и касательный вектор вдоль проходящей кривой .${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle v\in T_{x}M}$${\displaystyle x\in M}$

Чтобы определить операции в векторном пространстве , мы используем диаграмму и определяем карту по where . Опять же, нужно проверить, что эта конструкция не зависит от конкретной диаграммы и используемой кривой , и на самом деле это не так.${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0))~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \gamma }$

Карта оказывается биективен и может использоваться для передачи вектор-космических операций на к , тем самым превращая последнее множество в n - мерном вещественном векторном пространстве.${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle n}$

Определение через производные [ править ]

Предположим теперь, что это многообразие. Говорят, что вещественнозначная функция принадлежит тогда и только тогда, когда для любой координатной карты карта бесконечно дифференцируема. Обратите внимание, что это вещественная ассоциативная алгебра относительно поточечного произведения и суммы функций и скалярного умножения.${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

Выберите точку . Вывод на определен как линейное отображение , что удовлетворяет идентичности Лейбница${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$

который моделируется по правилу произведения в исчислении.

(Для каждой тождественно постоянной функции это следует ).${\displaystyle f={\text{const}},}$${\displaystyle D(f)=0}$

Если мы определим сложение и скалярное умножение на множестве производных в точке на${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~{D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}$ и
• ${\displaystyle (\lambda \cdot D)(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\lambda \cdot D(f)}$,

тогда мы получаем вещественное векторное пространство, которое мы определяем как касательное пространство к at .${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

Обобщения [ править ]

Обобщения этого определения возможны, например, на комплексные многообразия и алгебраические многообразия . Однако вместо того, чтобы изучать производные от полной алгебры функций, нужно работать на уровне ростков функций. Причина этого заключается в том , что структурный пучок не может быть нормально для таких структур. Например, пусть - алгебраическое многообразие со структурным пучком . Тогда касательное пространство Зариского в точке - это совокупность всех -дифференцирований , где - основное поле, а - стебель${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \mathbb {k} }$${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }$${\displaystyle \mathbb {k} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}$из ат .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle p}$

Эквивалентность определений [ править ]

Для и дифференцируемой кривой такой, что определяют (где производная берется в обычном смысле, потому что является функцией от до ). Можно убедиться, что это вывод в точке, и что эквивалентные кривые дают такой же вывод. Таким образом, для класса эквивалентности мы можем определить произвольно выбранную кривую . Отображение представляет собой изоморфизм векторного пространства между пространством классов эквивалентности и пространством производных в точке${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,}$${\displaystyle {D_{\gamma }}(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~(f\circ \gamma )'(0)}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \gamma '(0),}$${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f){\stackrel {\text{df}}{=}}(f\circ \gamma )'(0),}$${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$${\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle x.}$

Определение через котангенс [ править ]

Снова начнем с многообразия и точки . Рассмотрим идеал из , который состоит из всех гладких функций , обращающихся в нуль на , т . Тогда и являются вещественными векторными пространствами, и их можно определить как двойственное пространство к фактор-пространству . Этот последний фактор - пространство также известен как кокасательному пространство из в .${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{2}}$${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

Хотя это определение является наиболее абстрактным, его также легче всего перенести на другие параметры, например, на разновидности, рассматриваемые в алгебраической геометрии .

Если является производным в , то для каждого , что означает линейное отображение . И наоборот, если - линейное отображение, то определяет вывод в точке . Это дает эквивалентность между касательными пространствами, определенными с помощью дифференцирования, и касательными пространствами, определенными с помощью кокасательных пространств.${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D(f)=0}$${\displaystyle f\in I^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D(f)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}$${\displaystyle x}$

Свойства [ править ]

Если - открытое подмножество , то является многообразием естественным образом (пусть координатные карты будут тождественными отображениями на открытых подмножествах ), и все касательные пространства естественно отождествляются с .${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Касательные векторы как производные по направлению [ править ]

Другой способ думать о касательных векторах - это производные по направлению . Для данного вектора in определяется соответствующая производная по направлению в точке как${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

Это отображение, естественно, является производным от . Более того, каждый вывод в точке имеет эту форму. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между векторами (рассматриваемыми как касательные векторы в точке) и производными в точке.${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Поскольку касательные векторы к общему многообразию в точке могут быть определены как производные в этой точке, естественно думать о них как о производных по направлениям. В частности, если это касательный вектор к точке (рассматриваемый как производная), то определите производную по направлению в направлении как${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D_{v}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~v(f).}$

Если мы думаем о начальной скорости дифференцируемой кривой, инициализированной в , т. Е. Вместо этого, определим как${\displaystyle v}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle v=\gamma '(0)}$${\displaystyle D_{v}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~(f\circ \gamma )'(0).}$

Основание касательного пространства в точке [ править ]

Для многообразия , если карта задана с , то можно определить упорядоченный базис с помощью${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\in U}$${\displaystyle \left\{\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right)_{p},\dots ,\left({\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)_{p}\right\}}$${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}}(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

Тогда для каждого касательного вектора имеем${\displaystyle v\in T_{p}M}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}.}$

Таким образом, эта формула выражается как линейная комбинация базисных касательных векторов, определенных координатной диаграммой . ^[4]${\displaystyle v}$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}\in T_{p}M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

Производная от карты [ править ]

Каждое гладкое (или дифференцируемое) отображение между гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями индуцирует естественные линейные отображения между соответствующими им касательными пространствами:${\displaystyle \varphi :M\to N}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

Если касательное пространство определяется через дифференцируемые кривые, то это отображение определяется как

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0))~{\stackrel {\text{df}}{=}}~(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Если вместо этого касательное пространство определяется с помощью производных, то это отображение определяется как

${\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~D(f\circ \varphi ).}$

Линейное отображение называют по- разному производным , полной производную , дифференциальной или прямым образом из в . Это часто выражается с использованием множества других обозначений:${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}$

В некотором смысле, производная является лучшим линейным приближением рядом . Заметим, что когда , то отображение совпадает с обычным понятием дифференциала функции . В локальных координатах производная от дается якобианом .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Важным результатом, касающимся производной карты, является следующее:

Теорема . Если - локальный диффеоморфизм в in , то является линейным изоморфизмом . С другой стороны , если есть изоморфизм, то существует открытая окрестность из таких , что отображает диффеоморфно на его образ.${\displaystyle \varphi :M\to N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$

Это обобщение теоремы об обратной функции на отображения между многообразиями.

См. Также [ править ]

• Экспоненциальная карта
• Векторное пространство
• Дифференциальная геометрия кривых
• Координатно-индуцированный базис
• Котангенс пространство

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , 107 , Провиденс: Американское математическое общество.
• Мичор, Питер У. (2008), Разделы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике, 93 , Провиденс: Американское математическое общество.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления , WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

Внешние ссылки [ править ]

• Касательные плоскости в MathWorld