Параллельный транспорт

Параллельная транспортировка вектора по замкнутому контуру (от A к N, к B и обратно к A) на сфере. Угол, на который он закручивается, пропорционален площади внутри петли.${\ displaystyle \ alpha}$

В геометрии , параллельный перенос является способом транспортировки геометрических данных вдоль гладких кривых в многообразии . Если многообразие снабжено аффинной связностью ( ковариантной производной или связностью на касательном расслоении ), то эта связь позволяет перемещать векторы многообразия по кривым так, чтобы они оставались параллельными относительно связности.

Таким образом, параллельный перенос соединения обеспечивает в некотором смысле способ перемещения локальной геометрии многообразия вдоль кривой, то есть соединения геометрий близлежащих точек. Может быть доступно множество понятий параллельного транспорта, но определение одного - одного из способов соединения геометрии точек на кривой - равносильно обеспечению соединения . Фактически, обычное понятие соединения - это бесконечно малый аналог параллельного транспорта. Или, наоборот , параллельная транспортировка - это локальная реализация соединения.

Поскольку параллельный транспорт обеспечивает локальную реализацию соединения, он также обеспечивает локальную реализацию кривизны, известную как голономия . Теорема Амброуза – Зингера ясно показывает эту связь между кривизной и голономией.

Другие понятия связи также имеют свои собственные параллельные транспортные системы. Например, связь Кошуля в векторном расслоении также допускает параллельный перенос векторов во многом таким же образом, как и с ковариантной производной. Эресман или соединение Картанны поставляет подъем кривых от коллектора до полного пространства главного расслоения . Такой подъем кривой иногда можно рассматривать как параллельный перенос опорных кадров .

Параллельный транспорт на векторном пучке [ править ]

Пусть M - гладкое многообразие. Пусть E → M является векторным расслоением с ковариантной производной ∇ и гамма : I → M гладкой кривой параметризовано открытого интервала I . Раздел из вдоль Г называется параллельной , если${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} X = 0 {\ text {for}} t \ in I. \,}$

Например, если является касательным пространством в касательном расслоении многообразия, это выражение означает, что для каждого в интервале касательные векторы в «постоянны» (производная обращается в нуль), когда бесконечно малое смещение от в направлении касательной вектор готов. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ gamma (т)}$${\ Displaystyle {\ точка {\ gamma}} (т)}$

Предположим, что нам дан элемент e ₀ ∈ E _{P в} точке P = γ (0) ∈ M , а не сечение. Параллельный перенос из й ₀ вдоль Г является расширением х ₀ в параллельный разделе X на гамма . Точнее, X - единственное сечение E вдоль γ такое, что

1. ${\ Displaystyle \ набла _ {\ точка {\ gamma}} X = 0}$
2. ${\ displaystyle X _ {\ gamma (0)} = e_ {0}.}$

Обратите внимание, что в любом заданном координатном фрагменте (1) определяет обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием, заданным формулой (2). Таким образом, теорема Пикара – Линделёфа гарантирует существование и единственность решения.

Таким образом, связь ∇ определяет способ перемещения элементов слоев вдоль кривой, и это обеспечивает линейные изоморфизмы между слоями в точках вдоль кривой:

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}$

из векторного пространства, лежащего над γ ( s ), в пространство над γ ( t ). Этот изоморфизм известен как параллельная транспортная карта, связанная с кривой. Изоморфизмы между волокнами , полученными таким образом, вообще говоря , зависит от выбора кривой: если они этого не делают, то параллельный перенос вдоль любой кривой может быть использована для определения параллельных секций Е над всеми М . Это возможно, только если кривизна равна нулю.

В частности, параллельный перенос вокруг замкнутой кривой, начинающейся в точке x, определяет автоморфизм касательного пространства в точке x, который не обязательно является тривиальным. Параллельные транспортные автоморфизмы, определяемые всеми замкнутыми кривыми, основанными в x, образуют группу преобразований, называемую группой голономии ∇ в точке x . Между этой группой и величиной кривизны в точке x существует тесная связь ; это содержание теоремы Амброуза – Зингера о голономии .

Восстановление соединения с параллельного транспорта [ править ]

Для ковариантной производной параллельный перенос вдоль кривой γ получается интегрированием условия . И наоборот, если доступно подходящее понятие параллельного транспорта, то соответствующее соединение может быть получено путем дифференцирования. Этот подход в основном принадлежит Кнебельману (1951) ; см. Guggenheimer (1977) . Лумисте (2001) также придерживается этого подхода.${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ nabla _ {\ точка {\ gamma}} = 0}}$Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFLumiste2001 ( справка )

Рассмотрим сопоставление каждой кривой γ многообразия набор отображений

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}$

такой, что

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$, тождественное преобразование E _{γ (s)} .
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}$
3. Зависимость Γ от γ, s и t «гладкая».

Понятие гладкости в условии 3 довольно сложно определить (см. Обсуждение параллельного переноса в пучках волокон ниже). В частности, современные авторы, такие как Кобаяси и Номидзу, обычно рассматривают параллельный перенос соединения как исходящий от соединения в некотором другом смысле, где легче выразить гладкость.

Тем не менее, учитывая такое правило параллельного транспорта, можно восстановить ассоциированную бесконечно малую связь в E следующим образом. Пусть γ - дифференцируемая кривая в M с начальной точкой γ (0) и начальным касательным вектором X = γ ′ (0). Если V - сечение E над γ, то пусть

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}$

Это определяет связанную с ним бесконечно малой связностью ∇ на E . Из этой бесконечно малой связности восстанавливается тот же параллельный перенос Γ.

Частный случай: касательная связка [ править ]

Пусть M - гладкое многообразие. Тогда связность на касательном расслоении к M , называемая аффинной связностью , выделяет класс кривых, называемых (аффинными) геодезическими ( Кобаяси и Номидзу , том 1, глава III) . Гладкая кривая γ : I → M является аффинной геодезической, если она проходит параллельно , т. Е. harv error: no target: CITEREFKobayashiNomizu (help)${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}$

Взяв производную по времени, это принимает более знакомую форму

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}$

Параллельный перенос в римановой геометрии [ править ]

В ( псевдо ) римановой геометрии , А метрика соединения является любое соединение , чей параллельный перенос отображения сохраняют метрический тензор . Таким образом, метрическая связность - это любая связность Γ такая, что для любых двух векторов X , Y ∈ T _{γ (s)}

${\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

Взяв производную в точке t = 0, соответствующий дифференциальный оператор ∇ должен удовлетворять правилу произведения относительно метрики:

${\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}$

Геодезические [ править ]

Если ∇ - метрическая связность, то аффинные геодезические - это обычные геодезические римановой геометрии и локально минимизирующие расстояние кривые. Точнее, сначала заметим, что если γ : I → M , где I - открытый интервал, является геодезической, то норма на I постоянна . В самом деле,${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

Из применения леммы Гаусса следует, что если A - норма, то расстояние, индуцированное метрикой, между двумя достаточно близкими точками на кривой γ , скажем, γ ( t ₁ ) и γ ( t ₂ ), определяется выражением${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}$

Приведенная выше формула может быть неверной для точек, которые находятся недостаточно близко, поскольку геодезическая может, например, обернуть многообразие (например, на сфере).

Обобщения [ править ]

Параллельный транспорт может быть определен в большей степени для других типов соединений, а не только для тех, которые определены в векторном пакете. Одно обобщение - для принципиальных связей ( Кобаяси и Номидзу 1996 , том 1, глава II). Пусть P → M - главное расслоение над многообразием M со структурной группой Ли G и главной связностью ω. Как и в случае векторных расслоений, главная связность ω на P определяет для каждой кривой γ в M отображение

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}$

от слоя над Т ( ов ) к этому над Г ( т ), которая представляет собой изоморфизм однородных пространств : т.е. для каждого г ∈ G .${\displaystyle \Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}}$

Возможны также дальнейшие обобщения параллельного транспорта. В контексте связей Эресмана , где связь зависит от специального понятия « горизонтального подъема » касательных пространств, можно определить параллельную транспортировку через горизонтальные подъемники . Связи Картана - это связи Эресмана с дополнительной структурой, которая позволяет рассматривать параллельный перенос как карту, "катящую" определенное модельное пространство по кривой в многообразии. Этот прокат называется развитием .

Приближение: лестница Шильда [ править ]

Параллельный перенос можно дискретно аппроксимировать лестницей Шильда , которая делает конечные шаги по кривой и аппроксимирует параллелограммы Леви-Чивита приближенными параллелограммами .

См. Также [ править ]

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Связь (математика)
• Развитие (дифференциальная геометрия)
• Аффинная связь
• Ковариантная производная
• Геодезическая (общая теория относительности)
• Геометрическая фаза
• Производная Ли
• Лестница Шильда
• Леви-Чивита параллелограммоид
• параллельная кривая , с таким же названием, но разные понятия

Ссылки [ править ]

• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
• Кнебельман (1951), "Пространства относительного параллелизма", Annals of Mathematics , 2, The Annals of Mathematics, Vol. 53, № 3, 53 (3): 387-399, DOI : 10,2307 / 1969562 , JSTOR  1969562
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том 1 , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; Том 2, ISBN 0-471-15732-5 . 
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Связности на многообразии" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Демонстрация сферической геометрии . Апплет, демонстрирующий параллельный перенос касательных векторов на сфере.