Подключение (векторный набор)

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , соединение на пучке волокон - это устройство, определяющее понятие параллельного переноса на пучке; то есть способ «соединить» или идентифицировать волокна в близлежащих точках. Наиболее распространенный случай - это линейная связь на векторном расслоении , для которой понятие параллельного переноса должно быть линейным . Линейная связность эквивалентно определяется ковариантной производной - оператором, который дифференцирует сечения пучка по касательным направлениям.в базовом многообразии таким образом, чтобы параллельные участки имели нулевую производную. Линейные связности обобщать, произвольных векторных расслоений, то связность Леви-Чивита на касательном расслоении о наличии псевдориманова многообразия , что дает стандартный способ дифференцировать векторных полей. Нелинейные связности обобщают это понятие на расслоения, слои которых не обязательно линейны.

Линейные связи также называют связями Кошуля в честь Жана-Луи Кошуля , который дал алгебраическую основу для их описания ( Koszul 1950 ).

В этой статье связь на векторном пучке определяется с использованием общепринятого математического обозначения, в котором не выделяются координаты. Однако регулярно используются и другие обозначения: в общей теории относительности вычисления векторных расслоений обычно записываются с использованием индексированных тензоров; в калибровочной теории подчеркиваются эндоморфизмы слоев векторного пространства. Различные обозначения эквивалентны, как обсуждалось в статье о метрических связях (сделанные там комментарии относятся ко всем векторным расслоениям).

Мотивация [ править ]

Часть векторного расслоения обобщает понятие функции на многообразии в том смысле, что стандартную векторнозначную функцию можно рассматривать как часть тривиального векторного расслоения . Поэтому естественно спросить, можно ли дифференцировать сечение по аналогии с тем, как дифференцировать векторное поле. Когда векторное расслоение является касательным расслоением к псевдориманову многообразию , на этот вопрос естественным образом отвечает связность Леви-Чивита , которая представляет собой единственную связность без кручения, совместимую с псевдоримановой метрикой на касательном расслоении. В общем, такого естественного выбора способа разграничения разделов нет.${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M}$

Модельный случай - дифференцировать -компонентное векторное поле на евклидовом пространстве . В этой настройке производная в точке направления может быть просто определена как${\displaystyle m}$${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

Обратите внимание, что для каждого мы определили новый вектор, поэтому производная от в направлении дает новое -компонентное векторное поле на .${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

При переходе к сечению векторного расслоения на многообразии возникает две ключевые проблемы с этим определением. Во-первых, поскольку многообразие не имеет линейной структуры, этот термин не имеет смысла . Вместо того, чтобы один принимает путь таким образом, что и вычисляет ${\displaystyle X\in \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x+tv}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

Однако это все еще не имеет смысла, потому что это вектор в волокне поверх , и слой сверху , что является другим векторным пространством. Это означает, что нет никакого смысла в вычитании этих двух членов, лежащих в разных векторных пространствах.${\displaystyle X(\gamma (t))\in E_{\gamma (t)}}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle X(\gamma (0))=X(x)\in E_{x}}$${\displaystyle x}$

Цель состоит в том, чтобы решить указанную выше загадку, придумав способ дифференцировать секции векторного расслоения в направлении векторных полей и получить обратно другой участок векторного расслоения. Есть три возможных решения этой проблемы. Все три требуют выбора того, как различать сечения, и только в особых условиях, таких как касательное расслоение на римановом многообразии, есть естественный такой выбор.

1. ( Параллельный перенос ) Поскольку проблема заключается в том, что векторы и лежат в разных слоях , одним из решений является определение изоморфизма для всех, близких к нулю. Используя этот изоморфизм, можно перейти к волокну, а затем получить разницу. Явно,${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle X(x)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$
   $${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$

   
   Это параллельный перенос , и выбор изоморфизмов для всех кривых в можно рассматривать как определение того, как дифференцировать сечение.${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$
2. ( Связность Эресмана ) Используйте понятие дифференциала отображения гладких многообразий. Сечение по определению является гладкой картой, такой что . У него есть дифференциал со свойством векторного поля . Однако вместо этого хотелось бы быть частью самого себя. На самом деле, вертикальное расслоение является поднятием вместе с тем же самым, как волокна . Если выбрать проекцию векторных пучков, композиция с этой проекцией вернется в исходное положение . Это называется линейной связностью Эресмана на векторном расслоении${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle s:M\to E}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} }$${\displaystyle ds:TM\to TE}$${\displaystyle ds(X)\in \Gamma (TE)}$${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle ds(X)}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V\subset TE}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \nu :TE\to V}$${\displaystyle ds(X)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\to M}$. Существует множество вариантов операторов проекции, поэтому существует множество различных способов дифференцирования векторного поля.${\displaystyle \nu :TE\to V}$
3. ( Ковариантная производная ) Третье решение состоит в том, чтобы абстрагироваться от свойств, которыми должна обладать производная части векторного расслоения, и принимать это как аксиоматическое определение. Это понятие связи или ковариантной производной, описанное в этой статье. Можно показать, что оба других двух вышеприведенных подхода эквивалентны этому аксиоматическому определению дифференцирования.

Формальное определение [ править ]

Пусть - гладкое векторное расслоение над дифференцируемым многообразием . Обозначим пространство гладких сечений из по . Соединение на это - линейное отображение${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$

так что правило Лейбница

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

имеет место для всех гладких функций на и все гладкие сечения в .${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$

Если - касательное векторное поле на (т.е. часть касательного расслоения ), можно определить ковариантную производную вдоль${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

стягивание с результирующим ковариантным индексом в связи: . Ковариантная производная удовлетворяет:${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla _{X}(s)=(\nabla (s))(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \!_{X}(s_{1}{+}s_{2})\ =\ \nabla \!_{X}s_{1}+\nabla \!_{X}s_{2}\\&\nabla \!_{(X_{1}{+}X_{2})}s\ =\ \nabla \!_{X_{1}}s+\nabla \!_{X_{2}}s\\&\nabla \!_{X}(fs)\ =\ f\,\nabla \!_{X}s+X(f)s\\&\nabla \!_{fX}s\ =\ f\,\nabla \!_{X}s.\end{aligned}}}$

И наоборот, любой оператор, удовлетворяющий указанным выше свойствам, определяет связь на, и связь в этом смысле также известна как ковариантная производная на .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Индуцированные связи [ править ]

Для данного векторного расслоения существует множество связанных расслоений, к которым можно построить, например, дуальное векторное расслоение , тензорные степени , симметричные и антисимметричные тензорные степени и прямые суммы . Связность на индуцирует связь на любом из этих связанных пучков. Простота перехода между связями на ассоциированных расслоениях более элегантно описывается теорией связностей главных расслоений , но здесь мы представляем некоторые из основных индуцированных связностей.${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$${\displaystyle E^{\oplus k}}$${\displaystyle E}$

Двойное соединение [ править ]

Для заданной связи на , индуцированная двойственная связь на неявно определяется формулой${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

Вот гладкое векторное поле, это часть и часть дуального расслоения, а также естественное спаривание между векторным пространством и двойственным ему (происходит на каждом слое между и ). Обратите внимание, что это определение, по сути, требует, чтобы соединение было таким, чтобы для спаривания выполнялось правило натурального продукта .${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Подключение к тензорному продукту [ править ]

Учитывая связи на двух векторных расслоениях , определим связность тензорного произведения по формуле${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

Вот и есть . Обратите внимание, что это естественный способ объединения, чтобы обеспечить соблюдение правила произведения для связи тензорного произведения. При повторном применении указанной выше конструкции , приложенной к тензорному произведению , один также получает подключение к источнику питания тензора на для любого и векторного расслоения .${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle E}$

Прямая сумма подключения [ править ]

Связь прямая сумма определяется

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

где .${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

Симметричные и внешние силовые соединения [ править ]

Поскольку симметричная степень и внешняя мощность векторного расслоения могут естественным образом рассматриваться как подпространства тензорной степени, определение связи тензорного произведения напрямую применяется к этой настройке. В самом деле, поскольку симметрическая и внешняя алгебры находятся внутри тензорной алгебры как прямые слагаемые, и связность учитывает это естественное расщепление, можно просто ограничиться этими слагаемыми. Явно определите симметричное соединение продукта как${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\cdot t+s\cdot \nabla _{X}t}$

и внешний вид соединения продукта путем

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

для всех . Повторное применение этих продуктов дает наведенное симметричное питание и внешние силовые соединения на и соответственно.${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle S^{k}E}$${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

Связь эндоморфизма [ править ]

Наконец, можно определить индуцированную связность на векторном расслоении эндоморфизмов , связность эндоморфизмов . Это просто связь тензорного произведения двойной связи на и на . Если и , так что композиция тоже, то для связи эндоморфизма выполняется следующее правило произведения:${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

Обращая это уравнение, можно определить связь эндоморфизма как единственную связь, удовлетворяющую

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

для любого , тем самым избегая необходимости сначала определять двойную связь и связь тензорного произведения.${\displaystyle u,s,X}$

Любой связанный пакет [ править ]

Для векторного расслоения ранга и любого представления в линейную группу существует индуцированная связность на ассоциированном векторном расслоении . Эта теория наиболее лаконично захвачена переход к соединению главного расслоения на раму пучок из и с помощью теории главных расслоений. Каждый из приведенных выше примеров можно рассматривать как частные случаи этой конструкции: двойственное расслоение соответствует обратному транспонированию (или обратному сопряженному) представлению, тензорное произведение - представлению тензорного произведения, прямая сумма - представлению прямой суммы и т. на.${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle F=E\times _{\rho }V}$${\displaystyle E}$

Внешние ковариантные производные и векторнозначные формы [ править ]

Позвольте быть векторным расслоением. Значная дифференциальная форма степени является разделом тензора продукта расслоения:${\displaystyle E\to M}$ E {\displaystyle E} ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

Пространство таких форм обозначается

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

где последнее тензорное произведение обозначает тензорное произведение модулей над кольцом гладких функций на .${\displaystyle M}$

-Значная 0-форма только сечение расслоения . Это,${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

В этих обозначениях связь на - это линейное отображение${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

Тогда связь может рассматриваться как обобщение внешней производной на векторные расслоенные формы. На самом деле, учитывая связь на есть единственный способ продлить на внешний ковариантный${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

В отличие от обычной внешней производной, обычно есть . Фактически, напрямую связано с кривизной соединения (см. Ниже ).${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle \nabla }$

Аффинные свойства набора связей [ править ]

Каждое векторное расслоение над многообразием допускает связь, которую можно доказать с помощью разбиений единицы . Однако связи не уникальны. Если и являются двумя связями, то их разница является -линейным оператором. Это,${\displaystyle \nabla _{1}}$${\displaystyle \nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$ C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)}

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

для всех гладких функций на и все гладкие сечения в . Отсюда следует, что различие может быть однозначно идентифицировано с помощью одной формы на со значениями в пучке эндоморфизмов :${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

И наоборот, если это соединение включено и является одноформным со значениями в , то соединение включено .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \nabla +A}$${\displaystyle E}$

Другими словами, пространство связей на является аффинным пространством для . Это аффинное пространство обычно обозначается .${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Связь с принципалом и связями Эресмана [ править ]

Пусть векторное расслоение ранга и пусть будет основной кадр пучок из . Тогда (основная) связность на индуцирует связь на . Прежде всего отметим, что сечения находятся во взаимно однозначном соответствии с правоэквивариантными отображениями . (Это можно увидеть, рассматривая откат из за кадр , который изоморфен тривиальному .) Учитывая раздел о пусть соответствующем эквивариантном отображении будет . Тогда ковариантная производная на определяется выражением${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi (s)}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

где есть горизонтальный лифт от от до . (Напомним, что горизонтальный подъем определяется подключением .)${\displaystyle X^{H}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

И наоборот, соединение on определяет соединение on , и эти две конструкции взаимно обратны.${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Связность на также определяется линейной связностью Эресмана на . Это предоставляет один метод для создания связанного основного подключения.${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Индуцированные соединения, обсуждаемые в разделе # Индуцированные соединения, могут быть построены как соединения на других связанных пакетах с пакетом кадров , используя представления, отличные от стандартного представления, использованного выше. Например , если обозначает стандартное представление о , то ассоциированное расслоение к представлению о на есть прямая сумма расслоение , и индуцированное соединение именно то , что было описано выше.${\displaystyle E}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \rho \oplus \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E\oplus E}$

Местное выражение [ править ]

Позвольте быть векторным расслоением ранга , и пусть будет открытое подмножество, над которым тривиализируется. Поэтому на множество , допускает локальный гладкий корпус секций${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

Поскольку каркас определяет основу волокна для любого , любой локальный участок кадра можно расширить как${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

для набора гладких функций .${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

Принимая во внимание соединение на , можно выразить через с точки зрения локальной системе координат секций, используя характерное правило продукта для соединения. Для любого базового раздела количество может быть расширено в локальном фрейме как${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

где собраны локальные однокоренные формы. Эти формы могут быть помещены в матрицу однократных форм, определяемую${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

называется местной формой подключения более${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$ . Действие элемента в любом разделе может быть вычислено с точки зрения использования правила продукта как${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}(ds^{j}+A_{i}^{\ j}s^{i})\otimes e_{j}.}$

Если локальный раздел также записан в матричной нотации как вектор-столбец с использованием локального кадра в качестве основы,${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

то, используя обычное умножение матриц, можно написать

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

где - сокращение для применения внешней производной к каждому компоненту как вектора-столбца. В этих обозначениях часто пишут локально, что . В этом смысле связь локально полностью задается своей одной формой связи в некоторой тривиализации.${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

Как объясняется в разделе #Affine свойства набора связей , любое соединение отличается от другого однозначным эндоморфизмом. С этой точки зрения одно-форма связи - это в точности однозначная эндоморфизм-форма, такая, что связь на отличается от тривиальной связи на , которая существует, потому что является тривиализирующим множеством для .${\displaystyle A}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

Связь с символами Кристоффеля [ править ]

В псевдоримановом геометрии , то связность Леви-Чивита часто записывается в терминах символов Кристоффеля вместо соединения одной формы . Можно определить символы Кристоффеля для связности на любом векторном расслоении, а не только на касательном расслоении псевдориманова многообразия. Для этого предположим, что это не только тривиализирующее открытое подмножество для векторного расслоения , но и локальная карта для многообразия , допускающая локальные координаты .${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

В такой локальной карте имеется выделенная локальная система отсчета для дифференциальных единичных форм, задаваемых формулой , и локальные единичные формы связи могут быть расширены в этом базисе как${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$${\displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

для сбора локальных гладких функций , называемых символами Кристоффеля из более . В случае, когда и является связью Леви-Чивиты, эти символы точно совпадают с символами Кристоффеля из псевдоримановой геометрии.${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle \nabla }$

Выражение того, как действует в локальных координатах, может быть дополнительно расширено в терминах локальной карты и символов Кристоффеля, которые будут заданы следующим образом:${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

Связывание этого выражения с касательным вектором локальной координаты приводит к${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

Это определяет набор локально определенных операторов${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

со свойством, что

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

Изменение локальной тривиализации [ править ]

Предположим, есть другой выбор локального фрейма над тем же тривиализирующим множеством , так что существует матрица гладких функций, связанных и , определяемая${\displaystyle \mathbf {e'} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

Трассировка через построение локальной формы соединения для кадра , можно обнаружить , что соединение один-форма для даются${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle A'}$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

где обозначает матрицу, обратную к . В матричных обозначениях это можно записать${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

где - матрица единичных форм, полученная путем взятия внешней производной покомпонентной матрицы .${\displaystyle dg}$${\displaystyle g}$

В случае, когда - касательное расслоение и - якобиан координатного преобразования , длинные формулы преобразования символов Кристоффеля связи Леви-Чивиты могут быть восстановлены из более сжатых законов преобразования приведенной выше формы связи.${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$

Параллельный транспорт и голономия [ править ]

Соединение на векторном расслоении определяет понятие параллельного переноса на вдоль кривой . Позвольте быть гладким путем в . Часть из вместе называется параллельной , если${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

для всех . Эквивалентное можно рассматривать индуцированное расслоение на по . Это векторное расслоение над слоем над . Соединение на отодвигается соединение на . Часть из параллельна тогда и только тогда .${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$

Предположим , это путь из в внутрь . Вышеупомянутое уравнение, определяющее параллельные участки, является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка (см. Локальное выражение выше) и поэтому имеет уникальное решение для каждого возможного начального условия. То есть, для каждого вектора в существует единственный параллельный участок в с . Определите параллельную транспортную карту${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

по . Можно показать, что это линейный изоморфизм с обратным, полученным с помощью той же процедуры с обратным путем от до .${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$${\displaystyle \tau _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma ^{-}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Как восстановить ковариантную производную соединения из его параллельного переноса. Значения секции параллельно переносятся по пути обратно , а затем берется ковариантная производная в фиксированном векторном пространстве, волокно заканчивается .${\displaystyle s(\gamma (t))}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x}$

Параллельный транспорт может использоваться для определения группы голономии соединения на основе точки в . Это подгруппа, состоящая из всех параллельных транспортных карт, поступающих из петель на основе :${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

Группа голономии связности тесно связана с кривизной связи ( AmbroseSinger, 1953 ).

Соединение может быть восстановлено от его параллельных транспортных операторов следующим образом. Если - векторное поле и сечение, в точке выберите интегральную кривую для at . Для каждого мы напишем параллельную транспортную карту, путешествующую от до . В частности, для каждого , у нас есть . Затем определяет кривую в векторном пространстве , которую можно дифференцировать. Ковариантная производная восстанавливается как${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

Это демонстрирует, что эквивалентное определение соединения дается путем указания всех изоморфизмов параллельного переноса между слоями и использования приведенного выше выражения в качестве определения .${\displaystyle \tau _{\gamma }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

Кривизна [ править ]

Кривизны связности на это 2-форма на со значениями в эндоморфизмов расслоения . Это,${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

Он определяется выражением

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

где и - касательные векторные поля на и - сечение . Необходимо проверить, что это -линейно в обоих и и что оно действительно определяет эндоморфизм расслоения .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{\nabla }}$ C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E}$

Как упоминалось выше , ковариантная внешняя производная не обязательно должна быть равна нулю при действии на -значные формы. Однако оператор является строго тензорным (т. Е. Линейным). Это означает, что он индуцирован 2-формой со значениями в . Эта 2-форма в точности соответствует приведенной выше форме кривизны. Для -значной формы имеем${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

Плоская связность одна форма которого кривизна тождественно равна нулю.

Локальная форма и структурное уравнение Картана [ править ]

Форма кривизны имеет локальное описание, называемое структурным уравнением Картана . Если имеет локальную форму на некотором тривиализирующем открытом подмножестве для , то${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle A}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

на . Чтобы прояснить эти обозначения, обратите внимание, что это однозначная эндоморфизм-форма, и поэтому в локальных координатах принимает форму матрицы одно-форм. Операция применяет внешнюю производную к этой матрице покомпонентно и обозначает матричное умножение, при котором компоненты клинятся, а не множатся.${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A\wedge A}$

В локальных координатах на более , если форма связи записана для набора локальных эндоморфизмов , то один имеет${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

Дальнейшее расширение этого термина с помощью символов Кристоффеля дает знакомое выражение из римановой геометрии. А именно , если это часть более , то${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

Вот это полный тензор кривизны в , так и в римановых геометриях будут определены с тензором римановой кривизны .${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$${\displaystyle F_{\nabla }}$

Можно проверить, что если мы определим как произведение клина форм, но коммутатор эндоморфизмов в противоположность композиции, тогда и с этим альтернативным обозначением структурное уравнение Картана принимает вид${\displaystyle [A,A]}$${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

Это альтернативное обозначение обычно используется в теории связности основных расслоений, где вместо этого мы используем форму связи , однозначную форму для алгебры Ли , для которой нет понятия композиции (в отличие от случая эндоморфизмов), но есть является понятием скобки Ли.${\displaystyle \omega }$

В некоторых ссылках (см., Например, ( MadsenTornehave1997 )) структурное уравнение Картана может быть записано со знаком минус:

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

Это другое соглашение использует порядок умножения матриц, который отличается от стандартных обозначений Эйнштейна в произведении клина матричнозначных однозначных форм.

Личность Бьянки [ править ]

Версия второго (дифференциального) тождества Бианки из римановой геометрии верна для связности на любом векторном расслоении. Напомним, что связность на векторном расслоении индуцирует эндоморфизм связности на . Эта связь эндоморфизма имеет внешнюю ковариантную производную, которую мы неоднозначно называем . Поскольку кривизна является глобально определенной -значной двумерной формой, мы можем применить к ней внешнюю ковариантную производную. Тождество Бьянки говорит , что${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$.

Это кратко отражает сложные тензорные формулы тождества Бианки в случае римановых многообразий, и можно перейти от этого уравнения к стандартным тождествам Бианки, расширив связь и кривизну в локальных координатах.

В общем случае не существует аналога первого (алгебраического) тождества Бьянки для общей связности, поскольку при этом используются специальные симметрии связности Леви-Чивиты. А именно, можно использовать то, что индексы векторных расслоений в тензоре кривизны могут быть заменены на индексы котангенсного расслоения, полученные после использования метрики для понижения или повышения индексов. Например, это позволяет определить условие свободы кручения для связи Леви-Чивиты, но для общего векторного расслоения -индекс относится к локальному координатному базису , а -индексы к локальной координатной системе координат и исходят из расщепление${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$. Однако в особых обстоятельствах, например, когда ранг равен размеру и была выбрана форма припоя , можно использовать пайку, чтобы поменять местами индексы и определить понятие кручения для аффинных соединений, которые не являются связью Леви-Чивита.${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

Калибровочные преобразования [ править ]

Учитывая две связи в векторном расслоении , естественно спросить, когда они могут считаться эквивалентными. Есть четко определенное понятие автоморфизма векторного расслоения . Сечение является автоморфизмом, если оно обратимо в каждой точке . Такой автоморфизм называется калибровочным преобразованием из , а группа всех автоморфизмов называется калибровочной группой , часто обозначаемый или . Группу калибровочных преобразований можно аккуратно охарактеризовать как пространство сечений капитального A присоединенного расслоения к расслоению реперов векторного расслоения . Это не следует путать с${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle E}$строчная буква - присоединенный пучок , который естественно отождествляется с самим собой. Расслоение является ассоциированным расслоением с основным расслоением реперов представлением сопряжения самого на себе , и имеет слой той же общей линейной группы, где . Обратите внимание, что несмотря на то, что волокно совпадает с пакетом кадров и связано с ним, оно не равно пакету кадров или даже самому главному пакету. Калибровочную группу можно эквивалентно охарактеризовать как${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$

Калибровочное преобразование из действует на участках , и , следовательно , действует на связи с помощью конъюгации. Явно, если соединение включено , то определяется как${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{X}(s)=u(\nabla _{X}(u^{-1}(s))}$

для . Чтобы проверить, что это соединение, нужно проверить правило продукта.${\displaystyle s\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot \nabla (fs)&=u(\nabla (u^{-1}(fs)))\\&=u(\nabla (fu^{-1}(s)))\\&=u(df\otimes u^{-1}(s))+u(f\nabla (u^{-1}(s)))\\&=df\otimes s+fu\cdot \nabla (s).\end{aligned}}}$

Можно проверить , что это определяет левое действие группы из на аффинном пространстве всех соединений .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$