Леви-Чивита связь

В римановой или псевдо римановой геометрии (в частности лоренцевы геометрии из ОТО ), то связность Леви-Чивита является уникальным соединение на касательном расслоении о наличии многообразия (т.е. аффинной связности ) , что сохраняет ( псевдо- ) римановой метрики и кручения -свободный.

Основная теорема римановой геометрии утверждает , что существует единственное соединение , которое удовлетворяет эти свойства.

В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для связности Леви-Чивиты. Компоненты этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .

История [ править ]

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально «обнаружена» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита ^[1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовали символы Кристоффеля ^[2], чтобы определить понятие параллельного переноса и исследовать связь параллельного переноса с кривизной , тем самым развивая современное понятие голономии . ^[3]

Понятия Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном смещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже несмотря на то, что исходная мотивация опиралась на конкретное вложение.

{\ displaystyle M ^ {n} \ subset \ mathbf {R} ^ {\ frac {n (n + 1)} {2}},}

поскольку определение символов Кристоффеля имеет смысл в любом римановом многообразии. В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной вектора преобразуются как компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа. Только в 1917 году Леви-Чивита интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как касательную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве.

Замечание [ править ]

В 1906 году LEJ Брауэр был первым математиком рассмотреть параллельный перенос из в вектор для случая пространства постоянной кривизны . ^[4]^[5] В 1917 году Леви-Чивита указал на его важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство , т. Е. Для случая риманова многообразия, вложенного в «большее» объемлющее пространство. ^[1] В 1918 году, независимо от Леви-Чивиты, Ян Арнольдус Схоутен получил аналогичные результаты. ^[6] В том же году Герман Вейльобобщил результаты Леви-Чивиты. ^[7]^[8]

Обозначение [ править ]

$(M, g)$ обозначает риманово или псевдориманово многообразие .
$ТМ$ является касательным расслоением из $М$ .
$г$ является римановой или псевдо-риманова метрика на $М$ .
$X, Y, Z$ представляют собой гладкие векторные поля на $М$ , то есть гладкие участки от $ТМА$ .
$[X, Y]$ является скобкой Ли из $X$ и $Y$ . Это снова гладкое векторное поле.

Метрика $g$ может принимать в качестве аргументов до двух векторов или векторных полей $X, Y.$ В первом случае на выходе будет число, (псевдо-) скалярное произведение из $X$ и $Y$ . В последнем случае, скалярное произведение $X р, Y р$ берется во всех точках $р$ на многообразии так , что $г (Х, Y)$ определяет гладкую функцию на $М$ . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В локальных координатах действие гласит ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

{\ displaystyle X (f) = X ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} f = X ^ {i} \ partial _ {i} f}

где используется соглашение Эйнштейна о суммировании .

Формальное определение [ править ]

Аффинная связность $\nabla$ называется связностью Леви-Чивита , если

он сохраняет метрику , т. е. $\nabla g = 0$ .
это кручение -бесплатно , то есть для любых векторных полей $X$ и $Y$ мы имеем $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ , где $[X, Y]$ является скобкой Ли из векторных полей $X$ и $Y$ .

Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст ду Карму.

Основная теорема (псевдо) римановой геометрии [ править ]

Теорема Каждое псевдориманово многообразие имеет единственную связность Леви Чивиты . ${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

Доказательство : если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связи на тензоры, чтобы найти

X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).

Следовательно, мы можем записать условие 1 в виде

X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).

Тогда по симметрии метрического тензора находим: $g$

X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).

Следовательно, по условию 2 правая часть равна

2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),

и находим формулу Кошуля

g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}.

Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что она произвольна, невырождена и правая часть не зависит . $Z$ $g$ $\nabla$

Чтобы доказать существование, обратите внимание, что для данного векторного поля и правая часть выражения Кошуля является функционально-линейной в векторном поле , а не просто действительной линейной. Следовательно, в силу невырожденности , правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначим как в левой части. Подставляя формулу Кошуля, теперь проверяется, что для всех векторных полей и всех функций $X$ $Y$ $Z$ $g$ $\nabla _{X}Y$ $X,Y,Z$ $f$

g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)

g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)

g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}

g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).

Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связь, и эта связь совместима с метрикой и не имеет кручения, то есть является (следовательно, связностью Леви-Чивиты).

Обратите внимание, что с небольшими изменениями это же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая заданное кручение.

Символы Кристоффеля [ править ]

Пусть - аффинная связность на касательном расслоении. Выберите локальные координаты с векторными полями базиса координат и напишите для . В символы Кристоффеля по отношению к этим координатам определяются как $\nabla$ $x^{1},\ldots ,x^{n}$ $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ $\nabla _{j}$ $\nabla _{\partial _{j}}$ $\Gamma _{jk}^{l}$ $\nabla$

\nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь в координатной окрестности, потому что $\nabla$

\nabla _{X}Y=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}Y=X^{j}\nabla _{j}Y=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}

т.е.

(\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}

Аффинная связность совместима с метрикой тогда и только тогда, когда $\nabla$

\partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})

т.е. если и только тогда

\partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.

Аффинная связность $\nabla$ не имеет кручения тогда и только тогда

\nabla _{i}\partial _{j}-\nabla _{j}\partial _{i}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{i},\partial _{j}]=0.

т.е. если и только тогда

\Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}

симметричен по двум нижним индексам.

Как проверять, беря для , координатные векторные поля (или вычисляя напрямую), выражение Кошуля связи Леви-Чивиты, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как $X,Y,Z$ $\partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}$

\Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)

где, как обычно, - это коэффициенты двойственного метрического тензора, т. е. элементы обратной матрицы . $g^{ij}$ $g_{kl}$

Производная по кривой [ править ]

Связность Леви-Чивита (как и любой аффинной связности) также определяет производную вдоль кривых , иногда обозначаемый $D$ .

Для гладкой кривой $γ$ на $(M, g)$ и векторного поля $V$ вдоль $γ$ ее производная определяется равенством

D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.

Формально $D$ - это обратная связь $γ * \nabla$ на обратном пучке $γ * TM$ .

В частности, - векторное поле вдоль самой кривой $γ$ . Если обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, применяемое к : ${\dot {\gamma }}(t)$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ ${\dot {\gamma }}$

\left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.

Если ковариантный производная связность Леви-Чивита некоторой метрики, то геодезические для подключения именно те геодезические из метрики , которые параметризовать пропорционально их длине дуги.

Параллельный транспорт [ править ]

В общем, параллельный перенос вдоль кривой относительно связности определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если связность является связностью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональны - то есть они сохраняют скалярные произведения на различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивиты, связанный с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженный в полярных координатах . Метрика левого изображения соответствует стандартной евклидовой метрике , в то время как метрика справа имеет стандартную форму в полярных координатах и, таким образом, сохраняет вектор, касательный к окружности. Эта вторая метрика имеет сингулярность в начале координат, что можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах: $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$ ${\partial \over \partial \theta }$

dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}

dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}

Параллельные перевозки под соединениями Леви-Чивита

Этот транспорт указан в метрике .

ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}

Пример: единичная сфера в $R 3$ [ править ]

Пусть $⟨,⟩$ - обычное скалярное произведение на $R 3$ . Пусть $S 2$ - единичная сфера в $R 3$ . Касательное пространство к $S 2$ в точке $т$ естественным образом отождествляется с векторным подпространством $R 3$ , состоящее из всех векторов , ортогональных к $м$ . Отсюда следует , что векторное поле $Y$ на $S 2$ можно рассматривать как отображение $Y : S 2 \to R 3$ , который удовлетворяет условию

{\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.

Обозначим , как $д м Y (X)$ ковариантной производной отображения $Y$ в направлении вектора $X$ . Тогда у нас есть:

Лемма: формула

\left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X)+\langle X(m),Y(m)\rangle m

определяет аффинную связность на

S 2

с нулевым кручением.

Доказательство: Несложно доказать , что

\nabla

удовлетворяет тождеству Лейбница и

C \infty (S 2)

линейна по первой переменной. Это также простое вычисление, чтобы показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше формула действительно определяет векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех

m

из

S 2

{\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).

Рассмотрим отображение

п

, который посылает каждый

м

в

S 2

до

⟨ Y (м), м ⟩

, который всегда 0. Отображение

F

является постоянной, следовательно , его дифференциальные обращается в нуль. Особенно

d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.

Уравнение (1) выше следует. QED

Фактически эта связь является связностью Леви-Чивиты для метрики на $S 2,$ унаследованной от $R 3$ . Действительно, можно проверить, что эта связь сохраняет метрику.

См. Также [ править ]

Связь Weitzenböck

Примечания [ править ]

^ a b Леви-Чивита, Туллио (1917). "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque" [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке). 42 : 173–205. DOI : 10.1007 / BF03014898 . JFM 46.1125.02 .
^ Кристоффель, Элвин Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades» . Журнал für die reine und angewandte Mathematik . 1869 (70): 46–70. DOI : 10,1515 / crll.1869.70.46 .
^ См. Спивак, Майкл (1999). Подробное введение в дифференциальную геометрию (Том II) . Опубликовать или исчезнуть Press. п. 238. ISBN 0-914098-71-3.
^ Брауэр, LEJ (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген . 15 : 75–94.
^ Брауэр, LEJ (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств с отрицательной кривизной». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Ход работы . 9 : 116–133.
↑ Схоутен, Ян Арнольдус (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam . 12 (6): 95.
^ Вейль, Герман (1918). «Гравитация и электричество». Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.
^ Вейль, Герман (1918). "Reine Infinitesimal geometrie" . Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. DOI : 10.1007 / bf01199420 .

Ссылки [ править ]

Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Академическая пресса. ISBN 0-12-116052-1.
Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-470-49647-9.См. Том I. стр. 158

Внешние ссылки [ править ]

"Связь Леви-Чивита" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
MathWorld: Связь Леви-Чивита
PlanetMath: Связь Леви-Чивита
Связь Леви-Чивита в Manifold Atlas

[Levi-Civita1917-1] Леви-Чивита, Туллио (1917). "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque" [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке). 42 : 173–205. DOI : 10.1007 / BF03014898 . JFM 46.1125.02 .

[2] Кристоффель, Элвин Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades» . Журнал für die reine und angewandte Mathematik . 1869 (70): 46–70. DOI : 10,1515 / crll.1869.70.46 .

[3] См. Спивак, Майкл (1999). Подробное введение в дифференциальную геометрию (Том II) . Опубликовать или исчезнуть Press. п. 238. ISBN 0-914098-71-3.

[4] Брауэр, LEJ (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген . 15 : 75–94.

[5] Брауэр, LEJ (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств с отрицательной кривизной». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Ход работы . 9 : 116–133.

[6] Схоутен, Ян Арнольдус (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam . 12 (6): 95.

[7] Вейль, Герман (1918). «Гравитация и электричество». Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.

[8] Вейль, Герман (1918). "Reine Infinitesimal geometrie" . Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. DOI : 10.1007 / bf01199420 .

[1]