В дифференциальной геометрии , A псевдориманово многообразие , [1] [2] также называют полу-риманова многообразия , является дифференцируемое многообразие с метрическим тензором , всюду невырожденный . Это обобщение риманова многообразия, в котором требование положительной определенности ослаблено.
Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .
Частным случаем, используемым в общей теории относительности, является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы могут быть классифицированы как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .
Вступление
Коллекторы
В дифференциальной геометрии , A дифференцируемое многообразие является пространством , которое локально похож на евклидовом пространстве . В n- мерном евклидовом пространстве любую точку можно указать n действительными числами. Они называются координатами точки.
П - мерное дифференцируемое многообразие представляет собой обобщение п - мерное евклидово пространство. В коллекторе возможно определять координаты только локально . Это достигается путем определения координатных фрагментов : подмножеств многообразия, которые могут быть отображены в n- мерное евклидово пространство.
Дополнительные сведения см. В разделах «Коллектор , Дифференцируемый коллектор , Координатный патч» .
Касательные пространства и метрические тензоры
Связано с каждой точкой в -мерное дифференцируемое многообразие является касательным пространством (обозначается). Это-мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку.
Метрический тензор является невырожденным , гладким, симметричным, билинейной карта , которая присваивает вещественное число для пар касательных векторов на каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через мы можем выразить это как
Отображение симметрично и билинейно, поэтому, если являются касательными векторами в точке к коллектору тогда у нас есть
для любого реального числа .
Что является невырожденными средствами нет ненулевых такой, что для всех .
Подписи метрики
Для данного метрического тензора g на n- мерном вещественном многообразии квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ), связанная с метрическим тензором, примененным к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n действительных значений. Согласно закону инерции Сильвестра , количество каждого положительного, отрицательного и нулевого значений, полученных таким образом, является инвариантом метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Подписи ( р , д , г ) метрического тензора дает эти цифры, приведенные в том же порядке. Невырожденный метрический тензор имеет r = 0, и сигнатуру можно обозначить ( p , q ), где p + q = n .
Определение
Псевдориманово многообразие является дифференцируемым многообразием снабженный всюду невырожденным гладким симметричным метрическим тензором .
Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.
Сигнатура псевдоримановой метрики - ( p , q ) , где p и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью означает, что p и q остаются неизменными на всем многообразии (при условии, что оно связно).
Лоренцево многообразие
Лоренцево многообразие является важным частным случаем псевдориманова многообразия , в котором подпись метрики является (1, п -1) (эквивалентно, ( п -1, 1) , см Знак конвенции ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .
Приложения в физике
После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .
Основная предпосылка общей теории относительности состоит в том, что пространство-время можно моделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что эквивалентно, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на времениподобные , нулевые или пространственноподобные . Имея сигнатуру ( p , 1) или (1, q ) , многообразие также является локально (и, возможно, глобально) ориентированным во времени (см. Причинную структуру ).
Свойства псевдоримановых многообразий
Так же, как евклидово пространство можно рассматривать как модельное риманово многообразие , пространство Минковского с плоской метрикой Минковского является модельным лоренцевым многообразием. Аналогично, модельное пространство для псевдориманова многообразия сигнатуры ( p , q ) есть с метрикой
Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии верна и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивиты на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии есть много теорем, которые не верны в обобщенном случае. Например, это не верно , что всякое гладкое многообразие допускает псевдориманово метрику данной подписи; есть определенные топологические препятствия. Более того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в ноль на любой светоподобной кривой . Клифтон-Поль тор представляет собой пример псевдориманова многообразия, компактно , но не полные, сочетание свойств , что Хопфа- Ринова теорема запрещает для риманова многообразия. [3]
Смотрите также
- Условия причинности
- Глобально гиперболическое многообразие
- Гиперболическое уравнение в частных производных
- Ориентируемый коллектор
- Пространство-время
Заметки
- ↑ Benn & Tucker (1987) , стр. 172.
- ↑ Бишоп и Голдберг (1968) , стр. 208
- ↑ О'Нил (1983) , стр. 193.
Рекомендации
- Бенн, И.М.; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хильгер, ISBN 0-85274-169-3
- Бишоп, Ричард Л .; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Чен, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, [дельта] -инварианты и приложения , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
- О'Нил, Барретт (1983), полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности , чистой и прикладной математике, 103 , Academic Press, ISBN 9780080570570
- Vrănceanu, G .; Рошка Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию , Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с лоренцевыми многообразиями на Викискладе?