Причинная структура

В математической физике , то причинная структура из лоренцевского многообразия описывает причинно - следственные связи между точками в многообразии.

Введение [ править ]

В современной физике (особенно в общей теории относительности ) пространство-время представлено лоренцевым многообразием . Причинные отношения между точками в многообразии интерпретируются как описывающие, какие события в пространстве-времени могут влиять на другие события.

Пространство-время Минковского - простой пример лоренцевого многообразия. Причинно-следственные связи между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку пространство плоское . См. Причинная структура пространства-времени Минковского для получения дополнительной информации.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцевого многообразия усложняется наличием кривизны . Обсуждения причинной структуры таких многообразий следует формулировать в терминах гладких кривых, соединяющих пары точек. Затем условия на касательные векторы кривых определяют причинно-следственные связи.

Касательные векторы [ править ]

Если - лоренцево многообразие (для метрики на многообразии ), то касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три различных типа. Касательный вектор является${\ Displaystyle \, (М, г)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$

• время, как если${\ Displaystyle \, г (Х, Х) <0}$
• нулевой или легкий, если${\ Displaystyle \, г (Х, Х) = 0}$
• космический если${\ Displaystyle \, г (Х, Х)> 0}$

(Здесь мы используем метрическую подпись ). Касательный вектор называется «непространственноподобным», если он нулевой или времениподобный.${\ Displaystyle (-, +, +, +, \ cdots)}$

Эти названия происходят от более простого случая пространства-времени Минковского (см. Причинная структура пространства-времени Минковского ).

Ориентация во времени [ править ]

В каждой точке времениподобных касательных векторы в касательном пространстве точки можно разделить на два класса. Для этого сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов.${\ displaystyle M}$

Если и - два времениподобных касательных вектора в точке, мы говорим, что и эквивалентны (пишутся ), если .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X \ sim Y}$${\ Displaystyle \, г (X, Y) <0}$

Тогда есть два класса эквивалентности, которые между собой содержат все касательные вектора времениподобные в точке. Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности «ориентированным в будущее», а другой - «ориентированным в прошлое». Физически это обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и прошлое, соответствует выбору стрелки времени в точке. Обозначения, направленные в будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке по непрерывности.

Лоренцево многообразие является временным ориентируемым ^[1] , если непрерывным обозначение будущего и прошлым направленом-направленный для не-пространственноподобных векторов могут быть сделаны в течение всего коллектора.

Кривые [ править ]

Путь в является непрерывной на карту , где является невырожденным интервалом (т.е. связного множества , содержащим более одной точки) в . Гладкий путь имеет дифференцируемый соответствующее число раз (обычно ), а также регулярный путь , имеет отличный от нуля производной.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to M}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C^{\infty }}$

Кривой в этом изображении пути или, что более правильно, класс эквивалентности пути-изображения , связанных с повторной параметризацией, т.е. гомеоморфизмов или диффеоморфизмами из . Когда ориентировано по времени, кривая ориентируется, если требуется, чтобы изменение параметра было монотонным .${\displaystyle M}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M}$

Гладкие правильные кривые (или пути) в можно классифицировать в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая${\displaystyle M}$

• хронологический (или времениподобный ), если касательный вектор времениподобен во всех точках кривой.
• null, если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
• пространственноподобный, если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
• причинный (или непространственноподобный ), если касательный вектор времениподобен или равен нулю во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности гарантируют, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически для всех пространств-времени.${\displaystyle \Sigma }$

Если многообразие ориентируется во времени, то непространственноподобные кривые можно дополнительно классифицировать в зависимости от их ориентации во времени.

Хронологические, нулевой или причинные кривая IS${\displaystyle M}$

• направлен в будущее, если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
• направлен в прошлое, если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, потому что только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию по отношению ко времени.

• Замкнутая кривая времениподобная является замкнутой кривой, всюду будущее направлено времениподобная (или везде мимо направленной времениподобная).
• Замкнутый кривой нуль является замкнутым кривым, всюду будущим направлены нулевым (или везде мимо направленным нулем).
• Голономия соотношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутого геодезического нуля является фактором красного смещения .

Причинно-следственные связи [ править ]

Есть два типа причинно-следственных связей между точками и в многообразии .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle x}$ хронологически предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее хронологическая (подобная времени) кривая от до .${\displaystyle y}$${\displaystyle \,x\ll y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ строго причинно предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая от до .${\displaystyle y}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ причинно предшествует (часто обозначается или ), если строго причинно предшествует или .${\displaystyle y}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle x}$ horismos (световой конус) ^[2] (часто обозначается или ) , если и , означает ,${\displaystyle y}$${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\nearrow y}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\not \ll y}$${\displaystyle y\ll z}$${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \,x\prec y}$, подразумевает${\displaystyle \,y\prec z}$${\displaystyle \,x\prec z}$

и удовлетворить ^[3]

• ${\displaystyle x\ll y}$следует (это тривиально следует из определения)${\displaystyle x\prec y}$
• ${\displaystyle x\ll y}$, подразумевает${\displaystyle y\prec z}$${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, подразумевает${\displaystyle y\ll z}$${\displaystyle x\ll z}$

Для точки многообразия определим ^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее из , обозначаемые , как множество всех точек в таких , что хронологически предшествует :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• Хронологическое прошлое из , обозначаемые , как множество всех точек в таких , что хронологически предшествует :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{-}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

Аналогично определяем

• Причинное будущее (также называется абсолютным будущим ) о , обозначаемый , как множество всех точек в таких , что каузально предшествует :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• Причинный прошлый (также называемое абсолютное прошлым ) из , обозначаемые , как множество всех точек в таком , что каузально предшествует :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

Точки, содержащиеся в , например, могут быть достигнуты по направленной в будущее времяподобной кривой. Точка может быть достигнута, например, из точек, содержащихся в направленной в будущее непространственной кривой.${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

В качестве простого примера, в пространстве-времени Минковского набор представляет собой внутреннюю часть будущего светового конуса в точке . Набор представляет собой полноценный будущий световой конус на , включая сам конус.${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle x}$

Эти наборы , определенные для всех ин , которые в совокупности называют причинную структуру из .${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Для подмножества из Задаст ^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle I^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Для двух подмножеств из Зададим${\displaystyle S,T}$${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее относительно${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$ , является хронологическим будущим рассматриваются как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно другая концепция, которая дает набор точек, в которых могут быть достигнуты ориентированные в будущее времяподобные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать, во втором - нет. См. Хокинга и Эллиса.${\displaystyle I^{+}(S;T)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle I^{+}(S)\cap T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$
• Причинное будущее относительно${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$ , является причинным будущим рассматриваются как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно другая концепция, которая дает набор точек, в которых могут быть достигнуты ориентированные на будущее причинные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать, во втором - нет. См. Хокинга и Эллиса.${\displaystyle J^{+}(S;T)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle J^{+}(S)\cap T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$
• Множество будущего - это множество, закрытое хронологическим будущим.
• Набор прошлого - это набор, закрытый хронологическим прошлым.
• Неразложимое прошлое множество (IP) представляет собой прошлое множество , которое не является объединением двух различных открытых прошлых собственных подмножеств.
• ${\displaystyle I^{-}(x)}$- собственное неразложимое прошлое множество (PIP).
• Терминал неразложимы мимо множество (TIP) является IP - который не является ПИО.
• Будущее развитие Коши из , есть множество всех точек , для которых каждый мимо направленных inextendible причинную кривую через пересекает по крайней мере один раз. То же самое и с прошлой разработкой Коши. Разработка Коши - это объединение будущих и прошлых разработок Коши. Разработки Коши важны для изучения детерминизма .${\displaystyle S}$${\displaystyle D^{+}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$
• Подмножество является ахрональным, если не существует такого, что , или, что эквивалентно, если оно не пересекается с .${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle q,r\in S}$${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I^{+}(S)}$
• Поверхность Коши является замкнутым achronal множество, Коши развитие .${\displaystyle M}$
• Метрика является глобально гиперболической, если она может быть расслоена поверхностями Коши.
• Хронология нарушив множество есть множество точек , через которые закрыты времениподобные кривые проходят.
• Причинности нарушения множество представляет собой множество точек , через которые замкнутые причинные кривые проходят.
• Для причинной кривой , то причинная алмаз является (здесь мы используем определение рыхлую из «кривой» на которой она является просто набором точек). На словах: причинный алмаз мировой линии частицы - это совокупность всех событий, которые лежат как в прошлом некоторой точки, так и в будущем некоторой точки .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J^{+}(\gamma )\cap J^{-}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

Свойства [ править ]

См. Penrose (1972), стр. 13.

• Точка находится внутри тогда и только тогда, когда находится внутри .${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{-}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \,I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• Horismos генерируется нулевыми геодезическими конгруэнциями.

Топологические свойства:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$открыт для всех точек в .${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$открыто для всех подмножеств .${\displaystyle S\subset M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$для всех подмножеств . Вот это замыкание подмножества .${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

Конформная геометрия [ править ]

Две метрики и являются конформно связанные с ^[4] , если для некоторой вещественной функции называется конформным фактором . (См. Конформную карту ).${\displaystyle \,g}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$${\displaystyle \Omega }$

Глядя на определения того, какие касательные векторы являются времениподобными, нулевыми и пространственными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем или. В качестве примера предположим, что это времениподобный касательный вектор по отношению к метрике. Это значит что . Тогда мы имеем , что так это временноподобный касательный вектор по отношению к слишком.${\displaystyle \,g}$${\displaystyle {\hat {g}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,g}$${\displaystyle \,g(X,X)<0}$${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {g}}}$

Из этого следует, что причинная структура лоренцевого многообразия не подвержена влиянию конформного преобразования .

См. Также [ править ]

• Причинно-динамическая триангуляция (CDT)
• Условия причинности
• Причинные множества
• Поверхность Коши
• Замкнутая времениподобная кривая
• Глобально гиперболическое многообразие
• Диаграмма Пенроуза
• Пространство-время

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хокинг, ЮЗ ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-20016-4
• Хокинг, ЮЗ ; Израиль, W. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
• Пенроуз Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , SIAM, ISBN 0898710057

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Причинные сети машины Тьюринга , Энрике Зелени, проект Wolfram Demonstrations
• Вайсштейн, Эрик В. «Причинная сеть» . MathWorld .