Условия причинности

При изучении пространств-времени лоренцевых многообразий существует иерархия условий причинности, которые важны для доказательства математических теорем о глобальной структуре таких многообразий. Эти условия были собраны в конце 1970-х годов. ^[1]

Чем слабее условие причинности в пространстве-времени, тем нефизичнее пространство-время. Например, пространство-время с замкнутыми времяподобными кривыми представляет серьезные трудности для интерпретации. См. Парадокс дедушки .

Разумно полагать, что любое физическое пространство-время удовлетворяет самому сильному условию причинности: глобальной гиперболичности . Для таких пространств-времени уравнения общей теории относительности можно представить как задачу начального значения на поверхности Коши .

Иерархия [ править ]

Существует иерархия условий причинности, каждое из которых строго сильнее предыдущего. Иногда это называют причинной лестницей . Условия, от самых слабых до самых сильных, следующие:

• Не совсем порочный
• Хронологический
• Причинный
• Отличая
• Сильно причинный
• Стабильно причинно-следственный
• Причинно-непрерывный
• Причинно просто
• Глобально гиперболический

Даны определения этих условий причинности для лоренцевого многообразия . Если даны два или более, они эквивалентны.${\ displaystyle (M, g)}$

Обозначение :

• ${\ displaystyle p \ ll q}$обозначает хронологическое отношение .
• ${\ displaystyle p \ prec q}$обозначает причинно-следственную связь .

(См причинной структуры для определения , и , .)${\ Displaystyle \, я ^ {+} (х)}$${\displaystyle \,I^{-}(x)}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

Не совсем порочный [ править ]

• По некоторым пунктам у нас есть .${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle p\not \ll p}$

Хронологический [ править ]

• Замкнутых хронологических (повременных) кривых нет.
• Хронологическое соотношение является иррефлексивным : для всех .${\displaystyle p\not \ll p}$${\displaystyle p\in M}$

Причинная [ править ]

• Замкнутых причинных (непространственноподобных) кривых нет.
• Если и то, и другое${\displaystyle p\prec q}$${\displaystyle q\prec p}$${\displaystyle p=q}$

Отличительные [ править ]

Распознавание прошлого [ править ]

• Две точки, которые имеют одно и то же хронологическое прошлое, являются одной и той же точкой:${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{-}(p)=I^{-}(q)\implies p=q}$

• Для любых окрестностей из существует окрестность таких , что ни прошлого направленного не-пространственноподобных кривой из пересекаешь более одного раза.${\displaystyle U}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle V\subset U,p\in V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$

Будущее различения [ править ]

• Две точки, которые разделяют одно и то же хронологическое будущее, являются одной и той же точкой:${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{+}(p)=I^{+}(q)\implies p=q}$

• Для любых окрестностей из существует окрестность таких , что нет будущего направленного без пространственноподобного кривого из пересекаешь более одного раза.${\displaystyle U}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle V\subset U,p\in V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$

Сильно причинный [ править ]

• Для любых окрестностей из существует окрестность таким образом, что не существует кривой времениподобных , которая проходит через более чем один раз.${\displaystyle U}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle V\subset U,p\in V}$${\displaystyle V}$
• Для любых окрестностей из существует окрестность таких , что каузально выпукло в (и , следовательно , в ).${\displaystyle U}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle V\subset U,p\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$
• Топологии Александров совпадает с многообразием топологии.

Стабильно причинно-следственная [ править ]

Многообразие, удовлетворяющее любому из более слабых условий причинности, определенных выше, может не справиться с этим, если метрика получает небольшое возмущение . Пространство-время является стабильно причинным, если оно не может содержать замкнутые причинные кривые с помощью сколь угодно малых возмущений метрики. Стивен Хокинг показал ^[2], что это эквивалентно:

• Существует функция глобального времени на . Это скалярное поле на которой градиент всюду времениподобная и будущее направлено. Эта функция глобального времени дает нам стабильный способ различать будущее и прошлое для каждой точки пространства-времени (и поэтому у нас нет причинных нарушений).${\displaystyle M}$${\displaystyle t}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla ^{a}t}$

Глобально гиперболический [ править ]

• ${\displaystyle \,M}$является сильно причинным и каждое множество (точек ) является компактным .${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$${\displaystyle x,y\in M}$

Роберт Герох показал ^[3], что пространство-время глобально гиперболично тогда и только тогда, когда существует поверхность Коши для . Это означает, что:${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$топологически эквивалентно для некоторой поверхности Коши (здесь обозначает действительную прямую ).${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

См. Также [ править ]

• Пространство-время
• Лоренцево многообразие
• Причинная структура
• Глобально гиперболическое многообразие
• Замкнутая времениподобная кривая

Ссылки [ править ]

• SW Хокинг , GFR Ellis (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-20016-4.
• С.В. Хокинг , У. Израиль (1979). Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22285-0.