Причинная структура

В математической физике причинная структура лоренцева многообразия описывает причинно-следственные связи между точками многообразия.

В современной физике (особенно в общей теории относительности ) пространство-время представлено лоренцевым многообразием . Причинно-следственные отношения между точками многообразия интерпретируются как описание того, какие события в пространстве-времени могут влиять на какие другие события.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцева многообразия усложняется наличием кривизны . Обсуждения причинной структуры таких многообразий должны быть сформулированы в терминах гладких кривых , соединяющих пары точек. Затем условия для касательных векторов кривых определяют причинно-следственные связи.

Если является лоренцевым многообразием (для метрики на многообразии ), то ненулевые касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три непересекающихся типа. Касательный вектор :${\ Displaystyle \, (М, г)}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle М}$${\ Displaystyle Х}$

Здесь мы используем метрическую подпись . Мы говорим, что касательный вектор не является пространственноподобным, если он нулевой или времениподобный.${\ Displaystyle (-, +, +, +, \ cdots)}$

Каноническое лоренцево многообразие есть пространство-время Минковского , где и — плоская метрика Минковского . Названия касательных векторов исходят из физики этой модели. Причинно-следственные отношения между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, потому что касательное пространство также является и, следовательно, касательные векторы могут быть отождествлены с точками в пространстве. Четырехмерный вектор классифицируется по знаку , где - декартова координата в трехмерном пространстве, - постоянная, представляющая универсальное ограничение скорости, и${\ Displaystyle М = \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle Х = (т, г)}$${\ Displaystyle г (Х, Х) = - с ^ {2} т ^ {2} + \ | г \ | ^ {2}}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle с}$${\ Displaystyle т}$время. Классификация любого вектора в пространстве будет одинаковой во всех системах отсчета, которые связаны преобразованием Лоренца ( но не общим преобразованием Пуанкаре , потому что тогда начало координат может быть смещено) из-за инвариантности метрики.

Подразделение пространства-времени Минковского относительно точки на четыре непересекающихся множества. Световой конус , причинное будущее , причинное прошлое и так далее . Терминология определена в этой статье.

Причинный алмаз