Вектор, касательный к кривой или поверхности в данной точке
Для более общей, но гораздо более технической обработки касательных векторов, см. Касательное пространство . В математике , А касательный вектор представляет собой вектор , который является касательной к кривой или поверхности в данной точке. Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R n . В более общем смысле , касательные векторы являются элементами касательного пространства в виде дифференцируемого многообразия . Касательные векторы также можно описать в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке является линейным производным алгебры, определяемой множеством ростков в точке . Икс {\ displaystyle x} Икс {\ displaystyle x}
Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, мы обсудим его использование в исчислении и его тензорные свойства.
Исчисление [ править ] Позвольте быть параметрической гладкой кривой . Касательный вектор задается как , где мы использовали штрих вместо обычной точки для обозначения дифференцирования по параметру t . [1] Единичный касательный вектор задается формулой р ( т ) {\ Displaystyle \ mathbf {г} (т)} р ′ ( т ) {\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}
T ( t ) = r ′ ( t ) | r ′ ( t ) | . {\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.} Учитывая кривую
r ( t ) = { ( 1 + t 2 , e 2 t , cos t ) | t ∈ R } {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}} в единичный касательный вектор в определяется выражением R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} t = 0 {\displaystyle t=0}
T ( 0 ) = r ′ ( 0 ) ‖ r ′ ( 0 ) ‖ = ( 2 t , 2 e 2 t , − sin t ) 4 t 2 + 4 e 4 t + sin 2 t | t = 0 = ( 0 , 1 , 0 ) . {\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.} Контравариантность [ править ] Если задано параметрически в n -мерной системе координат x i (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) посредством или r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} r ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}
r = x i = x i ( t ) , a ≤ t ≤ b , {\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,} то касательное векторное поле задается формулой T = T i {\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}
T i = d x i d t . {\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.} При смене координат
u i = u i ( x 1 , x 2 , … , x n ) , 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n} касательный вектор в u i -системе координат задается формулой T ¯ = T ¯ i {\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}
T ¯ i = d u i d t = ∂ u i ∂ x s d x s d t = T s ∂ u i ∂ x s {\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}} где мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании . Следовательно, касательный вектор гладкой кривой при изменении координат преобразуется в контравариантный тензор первого порядка. [2]
Определение [ править ] Позвольте быть дифференцируемой функцией и пусть быть вектором в . Определим производную по направлению в точке как f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } v {\displaystyle \mathbf {v} } R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} v {\displaystyle \mathbf {v} } x ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}
D v f ( x ) = d d t f ( x + t v ) | t = 0 = ∑ i = 1 n v i ∂ f ∂ x i ( x ) . {\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.} Тогда касательный вектор в точке может быть определен [3] как x {\displaystyle \mathbf {x} }
v ( f ( x ) ) ≡ ( D v ( f ) ) ( x ) . {\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (D_{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.} Пусть - дифференцируемые функции, пусть - касательные векторы в at , и пусть . потом f , g : R n → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } v , w {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} } R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} x ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
( a v + b w ) ( f ) = a v ( f ) + b w ( f ) {\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)} v ( a f + b g ) = a v ( f ) + b v ( g ) {\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)} v ( f g ) = f ( x ) v ( g ) + g ( x ) v ( f ) . {\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.} .Касательный вектор на многообразиях [ править ] Пусть - дифференцируемое многообразие и пусть - алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на . Тогда касательный вектор к в точке на многообразии задается дифференцированием, которое должно быть линейным, т. Е. Для любого, и мы имеем M {\displaystyle M} A ( M ) {\displaystyle A(M)} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} x {\displaystyle x} D v : A ( M ) → R {\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} } f , g ∈ A ( M ) {\displaystyle f,g\in A(M)} a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
D v ( a f + b g ) = a D v ( f ) + b D v ( g ) . {\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.} Обратите внимание, что вывод по определению будет иметь свойство Лейбница
D v ( f ⋅ g ) ( x ) = D v ( f ) ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ D v ( g ) ( x ) . {\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.} ↑ Дж. Стюарт (2001) ↑ Д. Кей (1988) ↑ А. Грей (1993) Библиография [ править ] Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Бока-Ратон: CRC Press .Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты , Австралия: Томсон / Брукс / Коул .Кей, Дэвид (1988), Обзор теории и проблем тензорного исчисления Шаумсом , Нью-Йорк: Макгроу-Хилл .