В математике , А вывод является функцией на алгебре , обобщающую определенные функции производной оператора. В частности, дается алгебра над кольцом или полем K , A K -дифференцирование является K - линейное отображение D : → , которая удовлетворяет закону Лейбница :
Вообще, если M является - бимодулем , A K -линейного карта D : → M , который удовлетворяет закону Лейбниц также называется дифференцированием. Совокупность всех K -дифференцирований A в себя обозначается Der K ( A ). Набор K -дифференцирований A в A -модуль M обозначается Der K ( A , M ) .
Выводы происходят во многих различных контекстах в различных областях математики. Частная производная по отношению к переменному является R -дифференцированием на алгебре вещественных дифференцируемых функций на R н . Производная Ли по векторному полю является R -дифференцированием алгебры дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод на тензорной алгебре многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является дифференцированием этой алгебры. Производная Пинчерлеявляется примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра некоммутативен, то коммутатор по отношению к элементу алгебры А определяет линейный эндоморфизм от А к самому себе, что дифференцирование над K . Алгебра A с выделенным дифференцированием d образует дифференциальную алгебру и сама по себе является важным объектом изучения в таких областях, как дифференциальная теория Галуа .
Свойства [ править ]
Если A - K -алгебра, для K - кольцо и D : A → A - K- дифференцирование, то
- Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 2 ) = 2 D (1), так что D (1) = 0. Таким образом, по K- линейности D ( k ) = 0 для всех k ∈ K .
- Если A коммутативна, D ( x 2 ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ) и D ( x n ) = nx n −1 D ( x ) по правилу Лейбница.
- Вообще говоря, для любых x 1 , x 2 ,…, x n ∈ A по индукции следует, что
- то есть, если для всех i , D ( x i ) коммутирует с .
- D n не является производным, а удовлетворяет правилу Лейбница более высокого порядка:
- Более того, если M - A -бимодуль, запишем
- для множества K -дифференцированиях от A до M .
- Der К ( , М ) является модулем над K .
- Der K ( A ) - алгебра Ли со скобкой Ли, определяемой коммутатором :
- поскольку легко проверить, что коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием.
- Существует модуль Ом A / K (называемых дифференциалы кэлеровы ) с К -дифференцирование д : → Ом / К , через которые любое дифференцирование D : → M факторы. То есть для любого дифференцирования D существует A -модульное отображение φ с
- Соответствие является изоморфизмом A -модулей:
- Если k ⊂ K - подкольцо , то A наследует структуру k -алгебры, поэтому имеется включение
- поскольку любое K -дифференцирование заведомо является k -дифференцированием.
Градуированные производные [ править ]
Для градуированной алгебры A и однородного линейного отображения D степени | D | на A , D является однородным дифференцированием, если
для любого однородного элемента a и каждого элемента b из A при коммутаторе ε = ± 1 . Градуированный вывод является суммой однородных отведений с тем же е .
Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. Однако если ε = −1 , то
для нечетных | D |, а D называется анти-производным .
Примеры анти-производных включают внешнюю производную и внутренний продукт, действующий на дифференциальные формы .
Градуированные дифференцирования супералгебр (т. Е. Z 2 -градуированных алгебр) часто называют супердифференцированием .
Связанные понятия [ править ]
Дифференцирования Хассе – Шмидта являются гомоморфизмами K -алгебр.
Сочинение далее с картой , которая посылает формальный степенной ряд с коэффициентом дает вывод.
См. Также [ править ]
- В дифференциальной геометрии производными являются касательные векторы
- Kähler дифференциал
- Производная Хассе
- p-вывод
- Производные Виртингера
- Производная экспоненциального отображения
Ссылки [ править ]
- Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
- Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
- Коларж, Иван; Slovák, Jan; Мичор, Питер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии , Springer-Verlag.