Коммутатор

В математике , то коммутатор дает представление о степени , в которой некоторая бинарная операция не может быть коммутативными . В теории групп и теории колец используются разные определения .

Теория групп [ править ]

Коммутатор из двух элементов, г и ч , из группы G , является элементом

[ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh .

Этот элемент равен идентичности группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (из определения gh = hg [ g , h ] , будучи [ g , h ] равным единице тогда и только тогда, когда gh = hg ).

Множество всех коммутаторов группы в общем случае не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа из G генерируется всеми коммутаторы закрыта и называется производной группа или коммутант из G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп и наибольшей абелевой фактор-группы .

Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[ g , h ] = ghg ⁻¹ час ⁻¹ . ^{[1] [2]}

Тождества (теория групп) [ править ]

Коммутаторные тождества - важный инструмент в теории групп . ^[3] Выражение ^х обозначает конъюгат из по й , определенному как х ^-1 ах .

1. ${\ displaystyle x ^ {y} = x [x, y].}$
2. ${\ displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}.}$
3. ${\ displaystyle [x, zy] = [x, y] \ cdot [x, z] ^ {y}}$ и ${\ displaystyle [xz, y] = [x, y] ^ {z} \ cdot [z, y].}$
4. ${\ Displaystyle \ влево [х, у ^ {- 1} \ вправо] = [у, х] ^ {у ^ {- 1}}}$ и ${\ displaystyle \ left [x ^ {- 1}, y \ right] = [y, x] ^ {x ^ {- 1}}.}$
5. ${\ Displaystyle \ влево [\ влево [х, у ^ {- 1} \ вправо], г \ вправо] ^ {у} \ ​​CDOT \ влево [\ влево [у, г ^ {- 1} \ вправо], х \ right] ^ {z} \ cdot \ left [\ left [z, x ^ {- 1} \ right], y \ right] ^ {x} = 1}$ и ${\ displaystyle \ left [\ left [x, y \ right], z ^ {x} \ right] \ cdot \ left [[z, x], y ^ {z} \ right] \ cdot \ left [[y , z], x ^ {y} \ right] = 1.}$

Тождество (5) также известно как тождество Холла – Витта в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. Следующий раздел).

NB, приведенное выше определение конъюгата a с помощью x используется некоторыми теоретиками групп. ^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax ⁻¹ . ^[5] Об этом часто пишут . Подобные тождества имеют место и для этих соглашений.${\ displaystyle {} ^ {x} а}$

Используются многие тождества, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе хорошо себя ведут вторые силы:

${\ displaystyle (xy) ^ {2} = x ^ {2} y ^ {2} [y, x] [[y, x], y].}$

Если производная подгруппа центральная, то

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

Теория колец [ править ]

Коммутатор из двух элементов и б из кольца (включая любую ассоциативную алгебру ) определяются

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

Он равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как скобку Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .

Антикоммутатор из двух элементов и б кольца или ассоциативная алгебра определяется

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем используется для обозначения коммутатора. ^[6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц.${\displaystyle [a,b]_{+}}$${\displaystyle [a,b]_{-}}$

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона – Шредингера . ^[7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функциональных звездных произведений называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.

Тождества (теория колец) [ править ]

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры Ли [ править ]

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) - тождеством Якоби .

Дополнительные удостоверения [ править ]

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Если A - фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для карты, задаваемой . Другими словами, отображение объявления определяет вывод на кольце R . Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выразить Z - билинейность .${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанное выше обозначение ±. ^[8] Например:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
4. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }}$
5. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

Экспоненциальные идентичности [ править ]

Рассмотрим кольцо или алгебра , в которой экспоненциальный может быть осмысленно определено, такие как алгебра Банаха , кольцо формальных степенных рядов , или универсальной обертывающей в виде алгебры Ли .${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. Ниже в сопряженном выводе .) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для log (exp ( A ) exp ( B )).${\displaystyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

Подобное разложение выражает групповой коммутатор выражений (аналогично элементам группы Ли) через серию вложенных коммутаторов (скобки Ли),${\displaystyle e^{A}}$

${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}}$

${\displaystyle =\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$

Градуированные кольца и алгебры [ править ]

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Сопряженное происхождение [ править ]

Другое обозначение оказывается полезным, особенно если речь идет о нескольких коммутаторах в кольце R. Для элемента мы определяем сопряженное отображение следующим образом:${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Это отображение является производным на кольце R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z)}$.

По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)]}$.

Составив такие отображения, мы получаем, например, и${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$

Мы можем рассматривать себя как отображение, где - кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда - гомоморфизм алгебр Ли , сохраняющий коммутатор:${\displaystyle \mathrm {ad} }$${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]~.}$

Напротив, это не всегда гомоморфизм колец: обычно .${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

Общее правило Лейбница [ править ]

Общее правило Лейбница , расширяя повторяющиеся производные продукта, может быть записано с помощью абстрактно присоединенного представления:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

Замена х оператора дифференцирования , а у оператора умножения , мы получаем , и применяя обе стороны к функции г , личность становится обычным правилом Лейбница для п - ^й производной .${\displaystyle \partial }$${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

См. Также [ править ]

• Антикоммутативность
• Ассоциатор
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Каноническое коммутационное отношение
• Центратор, он же коммутант
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Кронштейн Мойял
• Производная Пинчерле
• Скобка Пуассона
• Тройной коммутатор
• Лемма о трех подгруппах

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2-е изд.), John Wiley & Sons
• Либофф, Ричард Л. (2003), Введение в квантовую механику (4-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
• Маккей, Сьюзан (2000), Конечные p-группы , Математические заметки Королевы Марии, 18 , Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, MR  1802994
• МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , США: МакГроу Хилл , ISBN 978-0-07-154382-8

Дальнейшее чтение [ править ]

• Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), "Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутатора", Кудрявцев, В.Б. Розенберг И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра , Springer, стр. 273–329.

Внешние ссылки [ править ]

• "Коммутатор" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]