Сопряженные переменные

Сопряженные переменные - это пары переменных, математически определенные таким образом, что они становятся двойственными преобразованиями Фурье , ^[1]^[2] или, в более общем смысле, связаны через двойственность Понтрягина . Соотношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределенности, которое в физике называется принципом неопределенности Гейзенберга, между ними. С математической точки зрения сопряженные переменные являются частью симплектического базиса, а отношение неопределенности соответствует симплектической форме . Кроме того, сопряженные переменные связаны теоремой Нётер , который гласит, что если законы физики инвариантны относительно изменения одной из сопряженных переменных, то другая сопряженная переменная не изменится со временем (т.е. будет сохраняться).

Примеры [ править ]

Существует множество типов сопряженных переменных в зависимости от типа работы, которую выполняет определенная система (или которой она подвергается). Примеры канонически сопряженных переменных включают следующее:

Время и частота : чем дольше звучит музыкальная нота, тем точнее мы знаем ее частоту, но она охватывает большую продолжительность и, таким образом, является более распределенным событием или «мгновением» во времени. И наоборот, очень короткая музыкальная нота становится просто щелчком и поэтому более локализована во времени, но нельзя очень точно определить ее частоту. ^[3]
Доплер и дальность : чем больше мы знаем о том, как далеко находится радарная цель, тем меньше мы можем знать о точной скорости приближения или отступления, и наоборот. В этом случае двумерная функция доплера и дальности известна как функция неоднозначности радара или диаграмма неоднозначности радара .
Поверхностная энергия: γ d A ( γ = поверхностное натяжение ; A = площадь поверхности).
Упругое растяжение: F d L ( F = сила упругости; длина L в растяжении).

Производные действия [ править ]

В классической физике производные действия - это переменные, сопряженные с величиной, по которой производится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны принципом неопределенности Гейзенберга .

Энергия частицы в определенном случае является отрицательной производной действия вдоль траектории этой частицы , заканчивающейся в этом случае относительно времени проведения мероприятия.
Линейный импульс частицы является производной от его действий по отношению к его положению .
Угловой момент частицы является производной от его действий по отношению к ее ориентациям (угловое положение).
Массового моментом ( ) частицы является отрицательной производной его действия по отношению к его быстроте . ${\ Displaystyle \ mathbf {N} = т \ mathbf {p} -E \ mathbf {r}}$
Электрический потенциал (φ, напряжение ) на мероприятии , является отрицательной производной от действия электромагнитного поля по отношению к плотности (свободной) электрического заряда в этом случае. ^{[ необходима цитата ]}
Магнитный потенциал ( ) на мероприятии , является производным действием электромагнитного поля по отношению к плотности (свободный) электрического тока в этом случае. ^[^{необходима цитата}^]
Электрическое поле ( Е ) на мероприятии , является производным действием электромагнитного поля по отношению к электрической плотности поляризации в этом случае. ^{[ необходима цитата ]}
Магнитная индукция ( В ) на мероприятии , является производным действием электромагнитного поля по отношению к намагниченности в этом случае. ^{[ необходима цитата ]}
Ньютоновский гравитационный потенциал в событии является отрицательной производной действия ньютоновского гравитационного поля по плотности массы в этом событии. ^{[ необходима цитата ]}

Квантовая теория [ править ]

В квантовой механике сопряженные переменные реализуются как пары наблюдаемых, операторы которых не коммутируют. В традиционной терминологии их называют несовместимыми наблюдаемыми . Рассмотрим, например, измеримые величины, заданные положением и импульсом . В квантово-механическом формализме две наблюдаемые и соответствуют операторам и , которые обязательно удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению : ${\ Displaystyle \ влево (х \ вправо)}$ ${\ Displaystyle \ влево (п \ вправо)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {\ widehat {x}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {p \,}}}$

{\ displaystyle [{\ widehat {x}}, {\ widehat {p \,}}] = {\ widehat {x}} {\ widehat {p \,}} - {\ widehat {p \,}} { \ widehat {x}} = я \ hbar}

Для каждого ненулевого коммутатора двух операторов существует «принцип неопределенности», который в нашем настоящем примере может быть выражен в виде:

{\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ geq \ hbar / 2}

В этом неточно определенном обозначении и обозначают «неопределенность» при одновременном указании и . Более точное и статистически полное утверждение о стандартном отклонении гласит: ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq \ hbar / 2}

В более общем смысле , для любых двух наблюдаемых и соответствующих операторов и , обобщенный принцип неопределенности определяются по формуле: ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle {\ widehat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {B}}}$

{\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}

Теперь предположим, что мы должны явно определить два конкретных оператора, присвоив каждому конкретную математическую форму, так что пара удовлетворяет вышеупомянутому соотношению коммутации. Важно помнить, что наш конкретный «выбор» операторов будет просто отражать одно из многих эквивалентных или изоморфных представлений общей алгебраической структуры, которая фундаментально характеризует квантовую механику. Обобщение формально обеспечивается алгеброй Ли Гейзенберга с соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга . ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_{3}$

Механика жидкости [ править ]

В гамильтоновой механике жидкости и квантовой гидродинамике само действие (или потенциал скорости ) является сопряженной переменной плотности (или плотности вероятности ).

См. Также [ править ]

Канонические координаты

Примечания [ править ]

^ Гейзенберг - Квантовая механика, 1925–1927: отношения неопределенности
^ Некоторые замечания о времени и энергии как сопряженных переменных
^ "Чирплет", IEEE Transactions по обработке сигналов, 43 (11), ноябрь 1995, стр 2745-2761

[1] Гейзенберг - Квантовая механика, 1925–1927: отношения неопределенности

[2] Некоторые замечания о времени и энергии как сопряженных переменных

[3] "Чирплет", IEEE Transactions по обработке сигналов, 43 (11), ноябрь 1995, стр 2745-2761

[1]